2 つの式 X と Y があるとします。X ↔ Y がトートロジーである場合、これらの式は同値として知られます。 2 つの式 X ↔ Y がトートロジーである場合、X ⇔ Y と書くこともでき、この関係は X と Y が同値であると読むことができます。
注: 式の線形等価性を確認する際に留意すべき点がいくつかあります。それについては次のとおりです。
- ⇔は記号を示すだけで接続詞ではありません。
- X ↔ Y がトートロジーである場合、X と Y の真理値は常に等しくなります。
- 同値関係には、対称性と推移性という 2 つの特性が含まれます。
方法 1: 真理値表法:
この方法では、2 つのステートメントからなる式の真理値表を作成し、これらのステートメントが同等であるかどうかを確認します。
例 1: この例では、X ∨ Y ⇔ з(зX ∧ зY) を証明する必要があります。
解決： X ∨ Y ⇔ з(зX ∧ зY) の真理値表は次のように記述されます。
| バツ | そして | X ∨ Y | �X | そして | �X ∧�Y | ￣(￣X∧￣Y) | X ∨ Y ⇔ δ(δX ∧ δY) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | F | F | T | T |
| T | F | T | F | T | F | T | T |
| F | T | T | T | F | F | T | T |
| F | F | F | T | T | T | F | T |
見てわかるように、X ∨ Y と ``(``X ∧ ``Y) はトートロジーです。したがって、X ∨ Y ⇔ з(зX ∧ зY) となります。
例 2: この例では、(X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) を証明する必要があります。
解決： (X → Y) ⇔ (εX ∨ Y) の真理値表は次のように記述されます。
| バツ | そして | X→Y | �X | δX ∨ Y | (X → Y) ⇔ (￣X ∨ Y) |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | T | T |
| T | F | F | F | F | T |
| F | T | T | T | T | T |
| F | F | T | T | T | T |
見てわかるように、X → Y と (ŠX ∨ Y) はトートロジーです。したがって、(X → Y) ⇔ (￣X ∨ Y)
等価式:
等価式を証明するために使用されるさまざまな法則があり、次のように説明されます。
べき等の法則: ステートメント式が 1 つある場合、その式は次のプロパティを保持します。
X ∨ X ⇔ X X ∧ X ⇔ X
結合法則: ステートメント式が 3 つある場合、次のプロパティが保持されます。
(X ∨ Y) ∨ Z ⇔ X ∨ (Y ∨ Z) (X ∧ Y) ∧ Z ⇔ X ∧ (Y ∧ Z)
交換法則: 2 つのステートメント式がある場合、次のプロパティが保持されます。
X ∨ Y ⇔ Y ∨ X X ∧ Y ⇔ Y ∧ X
分配法則: ステートメント式が 3 つある場合、次のプロパティが保持されます。
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X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) X ∧ (Y ∨ Z) ⇔ (X ∧ Y) ∨ (X ∧ Z)
アイデンティティ法: ステートメント式が 1 つある場合、その式は次のプロパティを保持します。
(a) (i) X ∨ F ⇔ X (ii) X ∨ T ⇔ T (b) (i) X ∧ T ⇔ X (ii) X ∧ F ⇔ F
補体の法則: ステートメント式が 1 つある場合、その式は次のプロパティを保持します。
(a) (i) X ∨ ¬X ⇔ T (ii) X ∧ ¬X ⇔ F (b) (i) ¬(¬X) ⇔ X (ii) ¬T ⇔ F , ¬F ⇔ T
吸収の法則: 2 つのステートメント式がある場合、次のプロパティが保持されます。
X ∨ (X ∧ Y) ⇔ X X ∧ (X ∨ Y) ⇔ X
モルガンの法則より: 2 つのステートメント式がある場合、次のプロパティが保持されます。
¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y ¬(X ∧ Y) ⇔ ¬X ∨ ¬Y
方法 2: 交換プロセス
この方法では、式 A : X → (Y → Z) を仮定します。 Y→Zという式は式の一部として知ることができます。式のこの部分、つまり Y → Z を A の等価式 ŠY ∨ Z を使って置き換えると、別の式、つまり B : X → (￣Y ∨ Z) が得られます。与えられた式 A と B が互いに等しいかどうかを検証するのは簡単なプロセスです。置換プロセスの助けを借りて、A から B を得ることができます。
例 1: この例では、{X → (Y → Z) ⇔ X → (￣Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z であることを証明する必要があります。
解決： ここでは、左側の部分を取得して、右側の部分を取得してみます。
X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) [∵ Y → Z ⇔ ¬Y ∨ Z] ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y]
ここで、結合法則を次のように使用します。
⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ Z
ここで、ド・モルガンの法則を次のように使用します。
⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Y) → Z [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y]
したがって証明されました
{X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z 例 2: この例では、{(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) → Y であることを証明する必要があります。
解決： ここでは、左側の部分を取得して、右側の部分を取得してみます。
(X→ Y) ∧ (Z → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) ∧ (¬Z ∨ Y) ⇔ (¬X ∧ ¬Z) ∨ Y ⇔ ¬(X ∨ Z) ∨ Y ⇔ X ∨ Z → Y
したがって証明されました
{(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) → Y
例 3: この例では、X → (Y → X) ⇔ ŠX → (X → Y) であることを証明する必要があります。
解決： ここでは、左側の部分を取得して、右側の部分を取得してみます。
X → (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ X) ⇔ (¬X ∨ X) ∨ ¬Y ⇔ T ∨ ¬Y ⇔ T and ¬X → (X → Y) ⇔ ¬(¬X) ∨ (X → Y) ⇔ X ∨ (¬X ∨ Y) ⇔ (X ∨ ¬X) ∨ Y ⇔ T ∨ Y ⇔ T
したがって証明されました
X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y)
例 4: この例では、(￣X ∧ (￣Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) ⇔ Z であることを証明する必要があります。
解決： ここでは、左側の部分を取得して、右側の部分を取得してみます。
(¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z)
ここで、結合法則と分配法則を次のように使用します。
⇔ ((¬X ∧ ¬Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z)
ここで、ド・モルガンの法則を次のように使用します。
⇔ (¬(X ∨ Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z)
ここで、分配法則を次のように使用します。
⇔ (¬(X ∨ Y) ∨ (X ∨ Y)) ∧ Z ⇔ T ∧ Z [∵ ¬X ∨ X ⇔ T ⇔ R
したがって証明されました
(¬P ∧ (¬Q ∧ R)) ∨ (Q ∧ R) ∨ (P ∧ R) ⇔ R
例 5: この例では、 ((X ∨Y) ∧ з(зX ∧ (зY ∨ зZ))) ∨ (зX ∧ зY) ∨ (зX ∧ зZ) がトートロジーであることを示さなければなりません。
解決： ここでは、小さな部分を取り出して解決していきます。
まず、ド・モルガンの法則を使用して、以下を取得します。
¬X ∧ ¬Y ⇔ ¬(X ∨ Y) ¬X ∨ ¬Z ⇔ ¬(X ∧ Z)
したがって、
(¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ ¬(X ∨ Y) ∨ ¬(X ∧ Z) ⇔ ¬((X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z))
また
.tif ファイル
¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z)) ⇔ ¬(¬X ∧ ¬(Y ∧ Z)) ⇔ X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)
したがって、
((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)
したがって
((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ [(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] ∨ ¬[(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] [∵ ¬X ∨ X ⇔ T] ⇔ T
したがって、与えられた式はトートロジーであると言えます。
例 6: この例では、(X ∧ Y) → (X ∨ Y) がトートロジーであることを示す必要があります。
解決： (X ∧ Y) → (X ∨ Y)
⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ (X ∨ Y) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y]
ここで、ド・モルガンの法則を次のように使用します。
⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ (X ∨ Y)
ここで、結合法則と交換法則を次のように使用します。
⇔ (¬X ∨ X) ∨ (¬Y ∨ Y)
ここで、否定の法則を次のように使用します。
⇔ (T ∨ T) ⇔ T
したがって、与えられた式はトートロジーであると言えます。
例 7: この例では、次のように説明されるいくつかのステートメントの否定を記述する必要があります。
- メアリーは教育を修了するか、XYZ Company への入社通知を受け入れることになります。
- ハリーは明日、車に乗るかランニングに行く予定です。
- 私が良い点を取ったら、いとこは嫉妬するでしょう。
解決： まず、最初のステートメントを次のように解決します。
1. X と仮定します。結婚は教育を完了する予定です。
Y: XYZ 社の入社通知を受諾します。
このステートメントを表現するには、次の記号形式を使用できます。
X ∨ Y
X ∨ Y の否定は次のように説明されます。
¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y
結論として、与えられたステートメントの否定は次のようになります。
¬X ∧ ¬Y: Marry will not complete her education, and she will not accept the joining letter of XYZ Company.
2. X だとします: ハリーは車に乗りに行きます
Y: ハリーは明日走ります
このステートメントを表現するには、次の記号形式を使用できます。
X ∨ Y
X ∨ Y の否定は次のように説明されます。
¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y
結論として、与えられたステートメントの否定は次のようになります。
¬X ∧ ¬Y: Harry will not go for a ride, and he will not run tomorrow
3. X を仮定します。私が良い点をとった場合。
Y: 私のいとこは嫉妬するでしょう。
このステートメントを表現するには、次の記号形式を使用できます。
X → Y
X → Y の否定は次のように説明されます。
¬(X → Y) ¬(X → Y) ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ⇔ X ∧ ¬Y.
結論として、与えられたステートメントの否定は次のようになります。
X ∧ ¬Y: I get good marks, and my cousin will not be jealous.
例 8: この例では、ド モルガンの法則を利用して、いくつかのステートメントの否定を記述する必要があります。これらのステートメントは次のように説明されます。
- ダイヤモンドがセットされていて、金の指輪に相当するものが必要です。
- 良い仕事に就けないと、良いパートナーに恵まれません。
- たくさんの仕事がかかっていて、手に負えません。
- うちの犬が旅行に行ったり、家の中で散らかったりします。
解決： ド・モルガンの法則を利用したすべてのステートメントの否定は、次のように 1 つずつ説明されます。
- ダイヤモンドをセットする必要もなければ、金の指輪の価値もありません。
- 良い仕事に就くことができず、良いパートナーに出会うこともできません。
- あまり手間がかからないというか、こなせるんです。
- 私の犬は旅行にも行きませんし、家の中を散らかしません。
例9: この例では、いくつかのステートメントがあり、それらのステートメントの否定を記述する必要があります。ステートメントは次のように説明されます。
- 雨が降っていたら、ビーチに行く計画はキャンセルされます。
- 一生懸命勉強すれば、試験で良い点が取れるでしょう。
- 夜遅くまでパーティーに行ったら、お父さんにお仕置きされるよ。
- 私と話したくない場合は、私の番号をブロックする必要があります。
解決： すべてのステートメントの否定は、次のように 1 つずつ説明されます。
- 海に行く計画がキャンセルになったら、雨が降っています。
- 試験で良い点を取ったら、一生懸命勉強します。
- お父さんにお仕置きされるなら、夜遅くまでパーティーに行きます。
- 私の番号をブロックしなければならないなら、私と話したくないでしょう。
例 10: この例では、(X → Y) → Z と X → (Y → Z) が論理的に等しいかどうかを確認する必要があります。真理値表を使用し、両方の式を簡素化する論理規則を使用して答えを正当化する必要があります。
解決： まず、方法 1 を使用して、(X → Y) → Z と X → (Y → Z) が論理的に同等であるかどうかを確認します。これは次のように説明されます。
ビンからBCDへ
方法 1: ここでは、次のことを仮定します。
(X → Y) → Z ⇔ (¬X ∨ Y) → Z ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ ¬Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Z) ∨ (¬Y ∧ Z)
そして
X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ ¬Y ∨ Z X → Y) → Z and X → (Y → Z)
方法 2: ここでは 2 番目の方法を使用します。この方法では真理値表を使用します。
| バツ | そして | と | X→Y | (X → Y) → Z | Y→Z | X → (Y → Z) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | F | F | F |
| T | F | T | F | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | F | F | T |
| F | F | T | T | T | T | T |
| F | F | F | T | F | T | T |
この真理値表では、(X → Y) → Z と X → (Y → Z) の列に同じ値が含まれていないことがわかります。