有向オイラー グラフが与えられた場合、タスクは次の結果を出力することです。 オイラー回路 。オイラー回路は、グラフのすべてのエッジを 1 回だけ横断し、開始頂点で終了するパスです。
注記： 指定されたグラフにはオイラー回路が含まれています。
例：
入力 : 有向グラフ
出力： 0 3 4 0 2 1 0
前提条件:
- 私たちは次のことについて議論しました 与えられたグラフがオイラーグラフであるかどうかを調べる問題 無向グラフの場合
- Directed Grpag におけるオイラー回路の条件: (1) すべての頂点が単一の強く接続されたコンポーネントに属します。 (2) すべての頂点の入次数と出次数が同じです。無向グラフの場合は条件が異なることに注意してください (すべての頂点の次数が等しい)
アプローチ：
- 任意の開始頂点 v を選択し、その頂点から v に戻るまでエッジの軌跡をたどります。軌跡が別の頂点に入るとき、すべての頂点の入次数と出次数が同じでなければならないため、v 以外の頂点でスタックすることはできません。w から出る未使用のエッジが存在する必要があります。この方法で形成されたツアーは閉じたツアーですが、最初のグラフのすべての頂点とエッジをカバーしていない可能性があります。
- 現在のツアーに属しているが、隣接するエッジがツアーの一部ではない頂点 u が存在する限り、u から別のトレイルを開始し、未使用のエッジをたどって u に戻るまで、このようにして形成されたツアーを前のツアーに結合します。
図：
5 つのノードを持つ上記のグラフの例: adj = {{2 3} {0} {1} {4} {0}}。
- 頂点 0 から開始 :
- 現在のパス: [0]
- 回路: []
- 頂点0→3 :
- 現在のパス: [0 3]
- 回路: []
- 頂点 3 → 4 :
- 現在のパス: [0 3 4]
- 回路: []
- 頂点 4 → 0 :
- 現在のパス: [0 3 4 0]
- 回路: []
- 頂点 0 → 2 :
- 現在のパス: [0 3 4 0 2]
- 回路: []
- 頂点 2 → 1 :
- 現在のパス: [0 3 4 0 2 1]
- 回路: []
- 頂点 1 → 0 :
- 現在のパス: [0 3 4 0 2 1 0]
- 回路: []
- 頂点 0 にバックトラック ：回路に0を追加します。
- 現在のパス: [0 3 4 0 2 1]
- 回路: [0]
- 頂点 1 にバックトラック ：回路に1を加えます。
- 現在のパス: [0 3 4 0 2]
- 回路: [0 1]
- 頂点 2 に戻る ：回路に2を加えます。
- 現在のパス: [0 3 4 0]
- 回路: [0 1 2]
- 頂点 0 にバックトラック ：回路に0を追加します。
- 現在のパス: [0 3 4]
- 回路: [0 1 2 0]
- 頂点 4 に戻る : 回路に 4 を追加します。
- 現在のパス: [0 3]
- 回路: [0 1 2 0 4]
- 頂点 3 に戻る : 回路に 3 を追加します。
- 現在のパス: [0]
- 回路: [0 1 2 0 4 3]
- 頂点 0 にバックトラック ：回路に0を追加します。
- 現在のパス: []
- 回路: [0 1 2 0 4 3 0]
上記のアプローチの実装を以下に示します。
C++// C++ program to print Eulerian circuit in given // directed graph using Hierholzer algorithm #include
// Java program to print Eulerian circuit in given // directed graph using Hierholzer algorithm import java.util.*; class GfG { // Function to print Eulerian circuit static List<Integer> printCircuit(List<List<Integer>> adj) { int n = adj.size(); if (n == 0) return new ArrayList<>(); // Maintain a stack to keep vertices // We can start from any vertex here we start with 0 List<Integer> currPath = new ArrayList<>(); currPath.add(0); // list to store final circuit List<Integer> circuit = new ArrayList<>(); while (currPath.size() > 0) { int currNode = currPath.get(currPath.size() - 1); // If there's remaining edge in adjacency list // of the current vertex if (adj.get(currNode).size() > 0) { // Find and remove the next vertex that is // adjacent to the current vertex int nextNode = adj.get(currNode).get(adj.get(currNode).size() - 1); adj.get(currNode).remove(adj.get(currNode).size() - 1); // Push the new vertex to the stack currPath.add(nextNode); } // back-track to find remaining circuit else { // Remove the current vertex and // put it in the circuit circuit.add(currPath.get(currPath.size() - 1)); currPath.remove(currPath.size() - 1); } } // reverse the result vector Collections.reverse(circuit); return circuit; } public static void main(String[] args) { List<List<Integer>> adj = new ArrayList<>(); adj.add(new ArrayList<>(Arrays.asList(2 3))); adj.add(new ArrayList<>(Arrays.asList(0))); adj.add(new ArrayList<>(Arrays.asList(1))); adj.add(new ArrayList<>(Arrays.asList(4))); adj.add(new ArrayList<>(Arrays.asList(0))); List<Integer> ans = printCircuit(adj); for (int v : ans) System.out.print(v + ' '); System.out.println(); } }
# Python program to print Eulerian circuit in given # directed graph using Hierholzer algorithm # Function to print Eulerian circuit def printCircuit(adj): n = len(adj) if n == 0: return [] # Maintain a stack to keep vertices # We can start from any vertex here we start with 0 currPath = [0] # list to store final circuit circuit = [] while len(currPath) > 0: currNode = currPath[-1] # If there's remaining edge in adjacency list # of the current vertex if len(adj[currNode]) > 0: # Find and remove the next vertex that is # adjacent to the current vertex nextNode = adj[currNode].pop() # Push the new vertex to the stack currPath.append(nextNode) # back-track to find remaining circuit else: # Remove the current vertex and # put it in the circuit circuit.append(currPath.pop()) # reverse the result vector circuit.reverse() return circuit if __name__ == '__main__': adj = [[2 3] [0] [1] [4] [0]] ans = printCircuit(adj) for v in ans: print(v end=' ') print()
// C# program to print Eulerian circuit in given // directed graph using Hierholzer algorithm using System; using System.Collections.Generic; class GfG { // Function to print Eulerian circuit static List<int> printCircuit(List<List<int>> adj) { int n = adj.Count; if (n == 0) return new List<int>(); // Maintain a stack to keep vertices // We can start from any vertex here we start with 0 List<int> currPath = new List<int> { 0 }; // list to store final circuit List<int> circuit = new List<int>(); while (currPath.Count > 0) { int currNode = currPath[currPath.Count - 1]; // If there's remaining edge in adjacency list // of the current vertex if (adj[currNode].Count > 0) { // Find and remove the next vertex that is // adjacent to the current vertex int nextNode = adj[currNode][adj[currNode].Count - 1]; adj[currNode].RemoveAt(adj[currNode].Count - 1); // Push the new vertex to the stack currPath.Add(nextNode); } // back-track to find remaining circuit else { // Remove the current vertex and // put it in the circuit circuit.Add(currPath[currPath.Count - 1]); currPath.RemoveAt(currPath.Count - 1); } } // reverse the result vector circuit.Reverse(); return circuit; } static void Main(string[] args) { List<List<int>> adj = new List<List<int>> { new List<int> { 2 3 } new List<int> { 0 } new List<int> { 1 } new List<int> { 4 } new List<int> { 0 } }; List<int> ans = printCircuit(adj); foreach (int v in ans) { Console.Write(v + ' '); } Console.WriteLine(); } }
// JavaScript program to print Eulerian circuit in given // directed graph using Hierholzer algorithm // Function to print Eulerian circuit function printCircuit(adj) { let n = adj.length; if (n === 0) return []; // Maintain a stack to keep vertices // We can start from any vertex here we start with 0 let currPath = [0]; // list to store final circuit let circuit = []; while (currPath.length > 0) { let currNode = currPath[currPath.length - 1]; // If there's remaining edge in adjacency list // of the current vertex if (adj[currNode].length > 0) { // Find and remove the next vertex that is // adjacent to the current vertex let nextNode = adj[currNode].pop(); // Push the new vertex to the stack currPath.push(nextNode); } // back-track to find remaining circuit else { // Remove the current vertex and // put it in the circuit circuit.push(currPath.pop()); } } // reverse the result vector circuit.reverse(); return circuit; } let adj = [[2 3] [0] [1] [4] [0]]; let ans = printCircuit(adj); for (let v of ans) { console.log(v ' '); }
出力
0 3 4 0 2 1 0
時間計算量 : O(V + E) ここで、V はグラフ内の頂点の数、E はエッジの数です。その理由は、アルゴリズムが深さ優先検索 (DFS) を実行し、各頂点と各エッジを 1 回だけ訪問するためです。したがって、各頂点の訪問には O(1) 時間がかかり、各エッジの横断には O(1) 時間がかかります。
空間の複雑さ : O(V + E) アルゴリズムでは、スタックを使用して現在のパスを保存し、リストを使用して最終回路を保存します。スタックの最大サイズは最悪でも V + E になる可能性があるため、空間の複雑さは O(V + E) になります。
クイズの作成