数値の平方根は、自己乗算により元の数値になる値です。 「√」は、数値の根を表すために使用される根号記号です。平方根とは、その数値の 1/2 乗を意味します。たとえば、x が任意の整数 y の平方根であると仮定します。これは、x=√y を意味します。 eqを乗算するとxも得られます2=y.
正の数の二乗の平方根は元の数を与えます。
この概念を理解するには、4 の 2 乗は 16、16 の平方根、√16 = 4 であることがわかります。ご覧のとおり、16 は完全な平方数です。これにより、そのような数値の平方根を簡単に計算できます。ただし、3、5、7 などの不完全な正方形の平方根を計算するのは難しいプロセスです。
平方根関数は、正の数値を入力として使用し、指定された入力数値の平方根を返す 1 対 1 の関数です。
f(x) = √x
平方根の性質
平方根の重要な特性のいくつかは次のとおりです。
- 完全平方数の場合、完全平方根が存在します。
- 偶数のゼロで終わる数値の場合、平方根が存在します。
- 負の数の平方根は定義されていません。
- 2、3、7、または 8 の数字で終わる数値の場合、完全な平方根は存在しません。
- 1、4、5、6、または 9 の数字で終わる数値の場合、その数値は平方根になります。
平方根を計算するにはどうすればよいですか?
完全平方数は、本質的に正の整数であり、数値を単独で乗算する形で簡単に表現できます。完全平方数は、任意の整数の 2 乗の値として表されます。完全平方数の平方根の計算は比較的簡単です。数値の平方根を求めるには主に 4 つの方法が使用されます。
- 平方根の繰り返し減算法
- 素因数分解法による平方根
- 推定方法による平方根
- 長除法による平方根
上記の 3 つの方法は、完全平方数の平方根の計算に使用できます。ただし、最後の方法は両方のタイプの数値に使用できます。
平方根の繰り返し減算法
この方法は、次の一連のステップに依存します。
ステップ1： 平方根を求める数値から連続する奇数を引きます。
ステップ2： 値が 0 になるまでステップ 1 を繰り返します。
ステップ 3: ステップ 1 が繰り返される回数は、指定された数の必要な平方根です。
注記： この方法は完全な正方形にのみ使用できます。
たとえば、数字 16 の場合、このメソッドは次のように機能します。
16 – 1 = 15
15 – 3 = 12
12 – 5 = 7
7-7 = 0
このプロセスを 4 回繰り返します。したがって、√16 = 4となります。
素因数分解法による平方根
数値の素因数分解は、その数値を素数の積の形式で表現します。この方法は、次の一連のステップに依存します。
ステップ1： 指定された数値を素因数で除算します。
ステップ2： 類似した因子のペアは、形成された各ペアの両方の因子が等しくなるように形成されます。
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ステップ 3: 各ペアから 1 つの因子を取り出します。
ステップ 4: 因子の積は、各ペアから 1 つの因子を取り出すことによって取得されます。
ステップ5: この得られた積は、指定された数の平方根です。
注記： この方法は完全な正方形にのみ使用できます。
たとえば、数字 64 の場合、このメソッドは次のように機能します。
64 = {2 × 2} × {2 × 2} × {2 × 2}
Javaリストが空です
64 = 22×22×22
64 = (2 × 2 × 2)2
64 = (8)2
√64 = 8
推定方法による平方根
推定方法は、指定された数値の平方根を近似するために使用されます。数値の平方根を実際の値の合理的な推測に近似します。この方法の方が計算が簡単です。ただし、これは本当に長くて時間のかかるプロセスです。
ステップ1： 指定された数値の前後にある最も近い完全な正方形を見つけます。
ステップ2： 次に近い整数を見つけて、そのたびに四捨五入して最も近い答えを求めます。
たとえば、数値 15 の場合、このメソッドは次のように機能します。
9 と 16 は、15 に最も近い前後の完全平方数です。
√16 = 4 および √9 = 3。これは、数値 15 の平方根が 3 と 4 の間にあることを意味します。ここで、プロセスには、数値 15 の平方根が 3 に近いか 4 に近いかを評価することが含まれます。
最初のケースは 3.5 と 4 をとります。3.5 の 2 乗 = 12.25、4 の平方根 = 16。したがって、整数 15 の平方根は 3.5 と 4 の間にあり、4 に近くなります。
さらに、3.8 と 3.9 の 2 乗が見つかり、これは 3.8 に相当します。2= 14.44 と 3.92= 15.21 それぞれ。これは、√15 が 3.8 と 3.9 の間にあることを意味します。さらに評価すると、√15 = 3.872 が得られます。
長除法による平方根
数値の平方根を計算する Long Division 法では、大きな数値をステップまたは部分に分割し、問題を一連の簡単なステップに分割します。
たとえば、数値 180 の場合、メソッドは次のように機能します。
ステップ1： 単位の位から始まる数値の各桁の上にバーが配置されます。
ステップ2： 次に、一番左の数値が最大の数値で除算され、平方が一番左のペアの数値以下になります。
ステップ 3: ここで、次のバーの下の剰余の右側の数値が減ります。得られた商の最後の桁が除数に加算されます。次のステップは、取得した合計の右側にある数値を見つけて、合計の結果と合わせて新しい被除数の新しい除数を形成することです。
ステップ 4: 商で得られた数値は、除数で選択した数値と等価です。
ステップ5: 小数点を使用して、ペアのゼロを剰余に追加する同じプロセスが繰り返されます。
ステップ6: 商は数値の平方根を形成します。
質問例
質問 1. 素因数分解法で 144 の平方根を計算しますか?
解決：
egin{array}l llap{2~~~~} 144 hline llap{2~~~~} 72 hline llap{2~~~~} 36 hline llap{2~~~~} 18 hline llap{3~~~~} 9 hline llap{3~~~~} 3 hline 1 end{array} Linuxのコマンドタッチ144 = {2 × 2} × {2 × 2} × {3 × 3}
144 = 22×22×32
144 = (2 × 2 × 3)2
144 = (12)2
√144 = 12
質問2。 平方根を単純化する方法は何ですか?
解決：
指定された数値の素因数分解を計算できます。因子をグループ化できない場合は、平方根記号を使用して因子をグループ化します。簡略化のために次のルールが使用されます。
√xy = √(x × y)、x と y は正の整数です。
たとえば、√12 =
sqrt{2 × 2 × 3} = 23分数の場合、次のルールが使用されます。
frac{ sqrt{x}}{sqrt{y}} = sqrt{frac{x}{y}} 例えば：
frac{sqrt50}{sqrt10} = sqrtfrac{50}{10} = √5
質問 3. 解きます: √(x + 2) = 4
解決：
私たちは知っています、
√(x + 2) = 4
両辺を二乗すると、次のようになります。
x + 2 = √4
x + 2 = ±4
x = ±4 – 2
したがって、私たちは、
x = 2 または x = -6
質問 4. 負の数の平方根は整数になりますか?説明する。
解決：
ご存知のとおり、負の数は平方根を持つことができません。この背後にある理由は、2 つの負の数を乗算すると、得られる結果は常に正の数になるためです。したがって、負の数の平方根は複素数の形式になります。
問題 5. 繰り返し引き算の方法で 25 の平方根を計算しますか?
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解決：
上記の手順に従って、次のようになります。
25 – 1 = 24
24 – 3 = 21
21 – 5 = 16
16 – 7 = 9
9 – 9 = 0
このプロセスが 5 回繰り返されるため、√25 = 5 となります。
質問 6. 次の式で 484 の平方根を計算します。 長い分割法？
解決：
長分割法により、次のようになります。
今、
余りは 0 なので、484 は完全二乗数となり、次のようになります。
√484 = 22
