含意ステートメントは、「if....then」の形式で表すことができます。記号 ⇒ はその意味を示すために使用されます。 P と Q という 2 つのステートメントがあるとします。この場合、ステートメント「if P then Q」は、P ⇒ Q または P → Q と書くこともでき、「P は Q を暗黙的に示す」と解釈されます。この含意では、ステートメント P は前提条件および前件とも呼ばれる仮説であり、ステートメント Q は結論であり、後件とも呼ばれます。
含意は論理的議論においても重要な役割を果たします。ステートメントの含意が真実であることがわかっている場合、前提が満たされるときはいつでも、結論も真実でなければなりません。このため、含意は条件文とも呼ばれます。
影響の例としては、次のようなものがあります。
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- 「GOAの天気が晴れたら、ビーチに行きます。」
- 「そのクラブに割引制度があるなら、そのクラブに行きます」。
- 「海に行くときに晴れていれば、日焼けしてしまいます。」
論理的な意味はさまざまな方法で表現できます。次のように説明します。
- pならq
- p、qの場合
- q のとき p
- Pの場合のみQ
- ~p を除く q
- q いつでも p
- p は q の十分条件です
- qフォローp
- p は q を意味します
- p の必要条件は q です
- q なら p
- pにはqが必要です
- p は q の必要条件です
ここで、前提 P と結論 Q を使用して、上記のすべての意味の例を説明します。このために、P = 晴れ、Q = ビーチに行くと仮定します。
P ⇒ Q
- 晴れたらビーチに行きます
- 晴れたら、海に行きます
- 晴れたらビーチに行きます
- 晴れた場合にのみビーチに行きます
- 晴れていない限り、私はビーチに行きます
- 晴れたらいつでもビーチに行きます
- 晴れているということは、私がビーチに行くのに十分な条件です
- ビーチに行きます フォローしてください 晴れています
- 晴れたのでビーチに行くことを暗示します
- 晴れるために必要な条件は、ビーチに行くことです
- 晴れたら海に行きます
- ビーチに行きます、晴れているから必要です
- 晴れていることが海に行くための必須条件です
「if p then q」という条件文がある場合、前提 p が true で、結論 q が false の場合、この文 P ⇒ Q は false になります。他のすべてのケースでは、p が false または Q が true の場合、ステートメント P ⇒ Q が true になることを意味します。このステートメントは、偽が F で表され、真が T で表される真理値表を利用して表すことができます。「if P then Q」というステートメントの真理値表は次のように説明されます。
| P | Q | P ⇒ q |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
前提と結論が相互に関連している必要はありません。 P と Q の定式化に基づいて、真理値表の解釈は依存します。
例えば：
- ジャックがプラスチックでできているなら、海は緑色です。
- 声明: ジャックはプラスチック製です
- 声明: 海は緑です
ジャックは人間であり、プラスチックで作ることはできないため、上記の 2 つのステートメントは意味がありません。また、海は常に青であり、オーシャンの色は変更できないため、「オーシャンは緑である」という別のステートメントは決して起こりません。ご覧のとおり、両方のステートメントは互いに関連していません。一方、ステートメント P ⇒ Q の真理値表は有効です。したがって、真理値表が正しいかどうかという問題ではなく、想像力と解釈の問題です。
したがって、P ⇒ Q では、前提と結果の間にいかなる種類の接続も必要ありません。 P と Q の真の値に基づいて、これらの意味のみが決まります。
これらのステートメントは、私たちの世界について両方のステートメントを考慮したとしても、偽になります。
False ⇒ False
したがって、上記の真理値表を見ると、P が偽で Q が偽の場合、P ⇒ Q が真であることがわかります。
つまり、ジャックがプラスチックでできていれば、海は緑色になります。
ただし、前提 p と結論 q は関連しており、どちらの記述も意味を持ちます。
曖昧さ
暗黙の演算子にはあいまいさが存在する可能性があります。したがって、暗黙演算子 (⇒) を使用する場合、この時点では括弧を使用する必要があります。
例えば： この例では、あいまいなステートメント P ⇒ Q ⇒ R があります。 さて、2 つのあいまいなステートメント ((P ⇒ Q) ⇒ R) または (P ⇒ (Q ⇒ R)) があり、これらのステートメントが正しいかどうかを示す必要があります。似ているか似ていない。
解決： これを真理値表を使って証明します。真理値表は次のように説明されます。
| P | Q | R | (P ⇒ Q) | (Q ⇒ R) | P ⇒ (Q ⇒ R) | (P ⇒ Q) ⇒ R |
|---|---|---|---|---|---|---|
| F | F | F | T | T | T | F |
| F | F | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | F | T | F |
| F | T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T |
| T | F | T | F | T | T | T |
| T | T | F | T | F | F | F |
| T | T | T | T | T | T | T |
上の真理値表では、P ⇒ (Q ⇒ R) と (P ⇒ Q) ⇒ R の真理値表は類似していないことがわかります。したがって、両方とも異なる出力または結果を生成します。
含意についての詳細
含意のさらにいくつかの例を以下に説明します。
- 晴れていれば学校に行きます。
- 良い仕事に就けば、お金を稼げるでしょう。
- 私が良い点を取れば、両親は喜ぶでしょう。
上記のすべての例で、含意がいつ真とみなされるのか、いつ偽とみなされるのかがわからないため、混乱してしまいます。この問題を解決し、含意の概念を理解するために、仮説的な例を使用します。この例では、メアリーがボーイフレンドのジャックとバドミントンをすることになっており、ボーイフレンドのジャックはメリーを少しでもやる気にさせたいと考えているため、次のような発言で彼女を誘惑します。
'If you win then I will buy a ring for you'
この発言を通じて、ジャックは、もし結婚が勝てば、当然指輪を買うだろうということを意味しています。この声明を通じて、ジャックはメアリーが勝った場合にのみ自分自身をコミットします。メアリーが負けたとき、彼はいかなる場合でも何も犯さなかった。したがって、試合の終了時に考えられる可能性は次の 4 つだけです。
- 結婚したら勝ちです - 指輪を買いましょう。
- 結婚した方が勝ちです - 指輪は買わないでください。
- 結婚は負けます - 指輪を買いましょう。
- 結婚は負けます - 指輪は買わないでください。
しかし、ジャックは規則 (B) に関連する発言をしませんでした。また、彼は声明の中でルール番号(C)と(D)についても言及していないため、もし結婚が浮気した場合、彼女に指輪を買うか買わないかは完全にジャック次第だ。実際、ジャックが結婚相手に言ったことの結果として、ステートメント (A)、(C)、および (D) が発生する可能性がありますが、(B) は結果ではありません。結果 (B) が発生した場合にのみ、ジャックは嘘をついていることになります。他の 3 つのケースすべて、つまり (A)、(C)、(D) では、彼は真実を話していることになります。
ここで、ジャックのステートメントを次のように象徴的に定義できるように、より単純なステートメントを使用します。
P: you win Q: I will buy a ring for you
この含意では、「暗黙的」と読める論理記号 ⇒ を使用します。この矢印を次のように P から Q に配置して、ジャックの複合ステートメントを作成します。
P ⇒ Q: If you win, then I will buy a ring for you.
結論として、P が true で q が false の場合にのみ含意が false になることがわかりました。この声明によると、メアリーはゲームに勝ちましたが、残念ながらジャックは指輪を購入しませんでした。他のすべてのケース/結果では、この記述は true になります。したがって、含意の真理値表は次のように記述されます。
| P | Q | P ⇒ Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
含意に対応する論理式のリストは次のように説明されます。
T → T = T T → F = F F → T = T F → F = T
影響の例:
影響にはさまざまな例があり、そのうちのいくつかは次のように説明されています。
例 1: P、Q、R、S という 4 つのステートメントがあるとします。
P: ジャックは学校にいます
Q: ジャックが教えています
R: ジャックは寝ています
S: ジャックは病気です
ここで、これらの単純なステートメントに関連するいくつかの記号ステートメントについて説明します。
- P→R
- S→~P
- ~Q → (S ∧ R)
- (P ∨ R) → ~Q
- (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P)
ここでは、これらの象徴的なステートメントの解釈を言葉で表現する必要があります。
解決：
| P→R | ジャックが学校にいるなら、ジャックは教えています。 |
| S→~P | ジャックが病気なら学校に行けません。 |
| ~Q → (S ∧ R) | ジャックが教えていないなら、彼は病気で寝ています。 |
| (P ∨ R) → ~Q | ジャックが学校にいるか寝ている場合、彼は教えていません。 |
| (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P) | ジャックが眠っていなくて病気でもないなら、彼は学校で教えているかどうかに関係ありません。 |
例 2: この例では、含意 P → Q があります。ここでは、この含意に自然に関連付けられた、含意の逆肯定、逆、および逆であるさらに 3 つの複合文もあります。これら 4 つのステートメントすべての関係を表を使って説明すると、次のようになります。
| 含意 | P→Q |
| コンバース | Q→P |
| 逆数 | ~P → ~Q |
| 対比的 | ~Q → ~P |
ここで、「よく勉強すれば、良い成績が得られる」という文言を含む含意の例を考えてみましょう。このステートメントは P → Q の形式になります。
P: よく勉強しますね
Q：良い成績をとりましたね
ここで、P ステートメントと Q ステートメントを使用し、次のような 4 つの関連ステートメントを示します。
含意: しっかり勉強すれば良い成績が取れます。
コンバース: 良い成績を取れば、良い勉強ができます。
逆: しっかり勉強しないと良い成績は取れません。
対偶: 良い点が取れなければ、勉強がうまくできていないことになります。
上記のすべての関連ステートメントの真理値は、真理値表を使用して説明されます。真理値表は次のように説明されます。
| P | Q | ~P | ~Q | P→Q | Q→P | ~P → ~Q | ~Q → ~P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | T | T | F |
| F | T | T | F | T | F | F | T |
| F | F | T | T | T | T | T | T |
上の表では、含意 (P → Q) とその対偶 (~Q → ~P) の列に同じ値があることがわかります。つまり、両方とも同等であるということです。したがって、次のように言えます。
P → Q = ~Q → ~P
同様に、逆数と逆数の両方の列に同様の値があることがわかります。しかし、この逆は逆の逆正であるため、これでは何の違いも生じません。同様に、元の含意は、逆ポジティブの逆ポジティブから得ることができます。 (つまり、P と Q を無効にして矢印の方向を切り替え、その後、再度プロセスを繰り返すことになります。つまり、~P と ~Q を無効にして、再び矢印の方向を切り替えると、この場合、次のようになります。私たちが始めた場所に戻ります）。