含意ステートメントは、「if....then」の形式で表すことができます。記号 ⇒ はその意味を示すために使用されます。 P と Q という 2 つのステートメントがあるとします。この場合、ステートメント「if P then Q」は、P ⇒ Q または P → Q と書くこともでき、「P は Q を暗黙的に示す」と解釈されます。この含意では、ステートメント P は前提条件および前件とも呼ばれる仮説であり、ステートメント Q は結論であり、後件とも呼ばれます。

含意は論理的議論においても重要な役割を果たします。ステートメントの含意が真実であることがわかっている場合、前提が満たされるときはいつでも、結論も真実でなければなりません。このため、含意は条件文とも呼ばれます。

影響の例としては、次のようなものがあります。

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• 「GOAの天気が晴れたら、ビーチに行きます。」
• 「そのクラブに割引制度があるなら、そのクラブに行きます」。
• 「海に行くときに晴れていれば、日焼けしてしまいます。」

論理的な意味はさまざまな方法で表現できます。次のように説明します。

1. pならq
2. p、qの場合
3. q のとき p
4. Pの場合のみQ
5. ~p を除く q
6. q いつでも p
7. p は q の十分条件です
8. qフォローp
9. p は q を意味します
10. p の必要条件は q です
11. q なら p
12. pにはqが必要です
13. p は q の必要条件です

ここで、前提 P と結論 Q を使用して、上記のすべての意味の例を説明します。このために、P = 晴れ、Q = ビーチに行くと仮定します。

P ⇒ Q

1. 晴れたらビーチに行きます
2. 晴れたら、海に行きます
3. 晴れたらビーチに行きます
4. 晴れた場合にのみビーチに行きます
5. 晴れていない限り、私はビーチに行きます
6. 晴れたらいつでもビーチに行きます
7. 晴れているということは、私がビーチに行くのに十分な条件です
8. ビーチに行きます フォローしてください 晴れています
9. 晴れたのでビーチに行くことを暗示します
10. 晴れるために必要な条件は、ビーチに行くことです
11. 晴れたら海に行きます
12. ビーチに行きます、晴れているから必要です
13. 晴れていることが海に行くための必須条件です

「if p then q」という条件文がある場合、前提 p が true で、結論 q が false の場合、この文 P ⇒ Q は false になります。他のすべてのケースでは、p が false または Q が true の場合、ステートメント P ⇒ Q が true になることを意味します。このステートメントは、偽が F で表され、真が T で表される真理値表を利用して表すことができます。「if P then Q」というステートメントの真理値表は次のように説明されます。

前提と結論が相互に関連している必要はありません。 P と Q の定式化に基づいて、真理値表の解釈は依存します。

例えば：

• ジャックがプラスチックでできているなら、海は緑色です。
• 声明: ジャックはプラスチック製です
• 声明: 海は緑です

ジャックは人間であり、プラスチックで作ることはできないため、上記の 2 つのステートメントは意味がありません。また、海は常に青であり、オーシャンの色は変更できないため、「オーシャンは緑である」という別のステートメントは決して起こりません。ご覧のとおり、両方のステートメントは互いに関連していません。一方、ステートメント P ⇒ Q の真理値表は有効です。したがって、真理値表が正しいかどうかという問題ではなく、想像力と解釈の問題です。

したがって、P ⇒ Q では、前提と結果の間にいかなる種類の接続も必要ありません。 P と Q の真の値に基づいて、これらの意味のみが決まります。

これらのステートメントは、私たちの世界について両方のステートメントを考慮したとしても、偽になります。

 False ⇒ False 

したがって、上記の真理値表を見ると、P が偽で Q が偽の場合、P ⇒ Q が真であることがわかります。

つまり、ジャックがプラスチックでできていれば、海は緑色になります。

ただし、前提 p と結論 q は関連しており、どちらの記述も意味を持ちます。

曖昧さ

暗黙の演算子にはあいまいさが存在する可能性があります。したがって、暗黙演算子 (⇒) を使用する場合、この時点では括弧を使用する必要があります。

例えば： この例では、あいまいなステートメント P ⇒ Q ⇒ R があります。 さて、2 つのあいまいなステートメント ((P ⇒ Q) ⇒ R) または (P ⇒ (Q ⇒ R)) があり、これらのステートメントが正しいかどうかを示す必要があります。似ているか似ていない。

解決： これを真理値表を使って証明します。真理値表は次のように説明されます。

上の真理値表では、P ⇒ (Q ⇒ R) と (P ⇒ Q) ⇒ R の真理値表は類似していないことがわかります。したがって、両方とも異なる出力または結果を生成します。

含意についての詳細

含意のさらにいくつかの例を以下に説明します。

• 晴れていれば学校に行きます。
• 良い仕事に就けば、お金を稼げるでしょう。
• 私が良い点を取れば、両親は喜ぶでしょう。

上記のすべての例で、含意がいつ真とみなされるのか、いつ偽とみなされるのかがわからないため、混乱してしまいます。この問題を解決し、含意の概念を理解するために、仮説的な例を使用します。この例では、メアリーがボーイフレンドのジャックとバドミントンをすることになっており、ボーイフレンドのジャックはメリーを少しでもやる気にさせたいと考えているため、次のような発言で彼女を誘惑します。

 'If you win then I will buy a ring for you' 

この発言を通じて、ジャックは、もし結婚が勝てば、当然指輪を買うだろうということを意味しています。この声明を通じて、ジャックはメアリーが勝った場合にのみ自分自身をコミットします。メアリーが負けたとき、彼はいかなる場合でも何も犯さなかった。したがって、試合の終了時に考えられる可能性は次の 4 つだけです。

• 結婚したら勝ちです - 指輪を買いましょう。
• 結婚した方が勝ちです - 指輪は買わないでください。
• 結婚は負けます - 指輪を買いましょう。
• 結婚は負けます - 指輪は買わないでください。

しかし、ジャックは規則 (B) に関連する発言をしませんでした。また、彼は声明の中でルール番号(C)と(D)についても言及していないため、もし結婚が浮気した場合、彼女に指輪を買うか買わないかは完全にジャック次第だ。実際、ジャックが結婚相手に言ったことの結果として、ステートメント (A)、(C)、および (D) が発生する可能性がありますが、(B) は結果ではありません。結果 (B) が発生した場合にのみ、ジャックは嘘をついていることになります。他の 3 つのケースすべて、つまり (A)、(C)、(D) では、彼は真実を話していることになります。

ここで、ジャックのステートメントを次のように象徴的に定義できるように、より単純なステートメントを使用します。

 P: you win Q: I will buy a ring for you 

この含意では、「暗黙的」と読める論理記号 ⇒ を使用します。この矢印を次のように P から Q に配置して、ジャックの複合ステートメントを作成します。

 P ⇒ Q: If you win, then I will buy a ring for you. 

結論として、P が true で q が false の場合にのみ含意が false になることがわかりました。この声明によると、メアリーはゲームに勝ちましたが、残念ながらジャックは指輪を購入しませんでした。他のすべてのケース/結果では、この記述は true になります。したがって、含意の真理値表は次のように記述されます。

含意に対応する論理式のリストは次のように説明されます。

 T → T = T T → F = F F → T = T F → F = T 

影響の例:

影響にはさまざまな例があり、そのうちのいくつかは次のように説明されています。

例 1: P、Q、R、S という 4 つのステートメントがあるとします。

P: ジャックは学校にいます

Q: ジャックが教えています

R: ジャックは寝ています

S: ジャックは病気です

ここで、これらの単純なステートメントに関連するいくつかの記号ステートメントについて説明します。

1. P→R
2. S→~P
3. ~Q → (S ∧ R)
4. (P ∨ R) → ~Q
5. (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P)

ここでは、これらの象徴的なステートメントの解釈を言葉で表現する必要があります。

解決：

例 2: この例では、含意 P → Q があります。ここでは、この含意に自然に関連付けられた、含意の逆肯定、逆、および逆であるさらに 3 つの複合文もあります。これら 4 つのステートメントすべての関係を表を使って説明すると、次のようになります。

ここで、「よく勉強すれば、良い成績が得られる」という文言を含む含意の例を考えてみましょう。このステートメントは P → Q の形式になります。

P: よく勉強しますね

Q：良い成績をとりましたね

ここで、P ステートメントと Q ステートメントを使用し、次のような 4 つの関連ステートメントを示します。

含意: しっかり勉強すれば良い成績が取れます。

コンバース: 良い成績を取れば、良い勉強ができます。

逆: しっかり勉強しないと良い成績は取れません。

対偶: 良い点が取れなければ、勉強がうまくできていないことになります。

上記のすべての関連ステートメントの真理値は、真理値表を使用して説明されます。真理値表は次のように説明されます。

上の表では、含意 (P → Q) とその対偶 (~Q → ~P) の列に同じ値があることがわかります。つまり、両方とも同等であるということです。したがって、次のように言えます。

 P → Q = ~Q → ~P 

同様に、逆数と逆数の両方の列に同様の値があることがわかります。しかし、この逆は逆の逆正であるため、これでは何の違いも生じません。同様に、元の含意は、逆ポジティブの逆ポジティブから得ることができます。 (つまり、P と Q を無効にして矢印の方向を切り替え、その後、再度プロセスを繰り返すことになります。つまり、~P と ~Q を無効にして、再び矢印の方向を切り替えると、この場合、次のようになります。私たちが始めた場所に戻ります）。