ルール2

式の左辺と右辺を交換すると、不等式は逆転します。それを逆性質といいます。

• a> b の場合、b
• もし ある
• a ≥ b の場合、b ≤ a
• a ≤ b の場合、b ≥ a

ルール3

同じ定数 k を不等式の両辺に加算または減算すると、不等式の両辺は等しくなります。

• a> b の場合、a + k> b + k
• a> b の場合、a – k> b – k

他の不等式についても同様です。

• もし
• もし
• a ≤ b の場合、a + k ≤ b + k
• a ≤ b の場合、a – k ≤ b – k
• a ≥ b の場合、a + k ≥ b + k
• a ≥ b の場合、a – k ≥ b – k

定数を加算または減算しても、不等式の方向は変わりません。

ルール4

k が不等式の両側で乗算または除算される正の定数の場合、不等式の方向に変化はありません。

• a> b の場合、ak> bk
• もし
• a ≤ b の場合、ak ≤ bk
• a ≥ b の場合、ak ≥ bk

k が負の定数であり、不等式の両側で乗算または除算される場合、不等式の方向は逆転します。

• a> b の場合、ak
• a> b の場合、ak
• a ≥ b の場合、ak ≤ bk
• a ≤ b の場合、ak ≧ bk

ルール5

任意の数値の 2 乗は常に 0 以上です。

• ある²≧ 0

ルール6

不等式の両側の平方根を取っても、不等式の方向は変わりません。

• a> b の場合、√a> √b
• もし
• a ≥ b の場合、√a ≥ √b
• a ≤ b の場合、√a ≤ √b

不等式のグラフ

不等式は 1 変数または 2 変数のいずれか、または不等式系があり、変数が 2 つしか含まれていない場合、すべてをデカルト平面にグラフ化できます。 1 つの変数の不等式は実数直線上にプロットされ、2 つの変数はデカルト平面上にプロットされます。

不等式の区間表記

不等式の区間を書く際の重要なポイント:

• 以上の場合 ( ≥ ) 以下 ( ≤ )、終了値が含まれるため、閉じ括弧または角括弧 [ ] が使用されます。
• (より大きい場合) > ) またはそれ未満 ( < )、終了値は除外されるため、開き括弧 () が使用されます。
• 正の無限大と負の無限大の両方に、開き括弧 () が使用されます。

次の表は、さまざまな不等式の区間を表しています。

1 つの変数を使用した線形不等式のグラフ

次の表から、1 つの変数によるさまざまな線形不等式を実線上にプロットする方法がわかります。

不平等	間隔	グラフ
x> 1	(1、∞)	1 つの変数による線形不等式
× <1	(-∞、1)
x ≥ 1	[1、∞)
x ≤ 1	(-∞, 1]

2 つの変数を使用した一次不等式のグラフ

2 つの変数を使用した線形不等式の例を見てみましょう。

与えられた不等式の考えられる解は (0, 0)、(0,1)、(0, 2)、(0,3)、(0,4)、(0 であるため、一次不等式 20x + 10y ≤ 60 を考えます。 ,5)、(0,6)、(1,0)、(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,0)、(2,1) )、(2,2)、(3,0)、およびこれらの点を超えるすべての点も不等式の解になります。

与えられた解からグラフをプロットしてみましょう。

グラフ内の影付きの領域は、指定された不等式に対する考えられる解を表します。

こちらもお読みください

• 2 つの変数の一次不等式のグラフィカルな解法

不平等の種類

不平等にはさまざまな種類があり、次のように分類できます。

• 多項式不等式: 多項式不等式は、多項式の形式で表現できる不等式です。例 - 2x + 3 ≤ 10。
• 絶対値の不等式: 絶対値不等式は、絶対値記号内の不等式です。例 - |y + 3| ≤ 4。
• 有理的不等式: 有理不等式は、変数に分数を伴う不等式です。例 - (x + 4) / (x – 5) <5。

不平等を解決する方法

不等式を解決するには、次の手順を使用できます。

• ステップ1： 不等式を方程式の形で書きます。
• ステップ2： 方程式を解き、不等式の根を求めます。
• ステップ 3: 得られた値を数直線上に表現します。
• ステップ 4: 除外された値も白丸の数直線上に表します。
• ステップ5: 数直線から間隔を求めます。
• ステップ6: 各間隔からランダムな値を取得し、これらの値を不等式に代入し、それが不等式を満たすかどうかを確認します。
• ステップ 7: 不等式の解は、不等式を満たす区間です。

多項式不等式を解く方法

多項式不等式には、一次不等式、二次不等式、三次不等式などが含まれます。ここでは、一次不等式と二次不等式の解き方を学びます。

一次不等式を解く

線形不等式は、線形方程式と同様に、不等式の規則に従って解くことができます。線形不等式は、単純な代数演算を使用して解決できます。

1 段階または 2 段階の不等式

コンピュータが発明されたのは何年ですか

一段階不等式とは、一段階で解ける不等式のことです。

例: 解決: 5x <10

解決：

⇒ 5x <10 [両辺を5で割る]

⇒ x <2 または (-∞, 2)

二段階不等式とは、二段階で解ける不等式のことです。

例: 解く: 4x + 2 ≥ 10

解決：

⇒ 4x + 2 ≥ 10

⇒ 4x ≥ 8 [両辺から 2 を引く]

⇒ 4x ≥ 8 [両辺を 4 で割る]

⇒ x ≥ 2 または [2, ∞)

複合不等式

複合不等式は、and または or で区切られた複数の不等式を含む不等式です。複合不等式を解くには、不等式を個別に解き、最終的な解として、不等式が and で区切られている場合は得られた解の積集合を実行し、不等式が or で区切られている場合は得られた解の和集合を実行します。

例: 4x + 6 <10 および 5x + 2 < 12 を解く

解決：

まず 4x + 6 <10 を解きます

⇒ 4x + 6 <10 [両辺から6を引く]

⇒ 4x <4

⇒ x <1 または (-∞, 1) —–(i)

2 番目のソルブ 5x + 2 <12

⇒ 5x + 2 <12 [両辺から 2 を引く]

⇒ 5x < 10

⇒ x < 2 または (-∞, 2) ——-(ii)

(i) と (ii) から、x <1 と x < 2 の 2 つの解が得られます。

不等式は と で区切られているため、最終的な解として交差を採用します。

⇒ (-∞, 1) ∩ (-∞, 2)

⇒ (-∞, 1)

与えられた複合不等式の最終的な解は (-∞, 1) です。

続きを読む

• 複合不等式
• 一次不等式の文章問題
• 三角不等式

二次不等式を解く

絶対値の不等式を解く例を見てみましょう。

例: 不等式を解く: x ² – 7x + 6 ≥ 0

解決：

不等式を解く手順は次のとおりです: x²– 7x + 6 ≥ 0

ステップ1： 不等式を方程式の形で書きます。

バツ²– 7x + 6 = 0

ステップ2： 方程式を解きます。

バツ²– 7x + 6 = 0

バツ²– 6x – x + 6 = 0

x(x – 6) – 1(x – 6) = 0

(x – 6) (x – 1) = 0

x = 6 および x = 1

上記のステップから、値 x = 6 および x = 1 を取得します。

ステップ 3: 上記の値から、間隔は (-∞, 1]、[1, 6]、[6, ∞) となります。

不等式は等しいを含む ≥ であるため、取得された値には閉じ括弧を使用します。

ステップ 4: 上記の間隔を数直線で表したもの。

ステップ5: 各間隔の間に乱数を取得し、それが値を満たしているかどうかを確認します。満足する場合は、解に間隔を含めます。

区間 (-∞, 1] の場合、ランダム値を -1 とします。

不等式 x に x = -1 を代入します。²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ (-1)²– 7(-1) + 6 ≥ 0

⇒ 1 + 7 + 6 ≥ 0

⇒ 14 ≥ 0 (真)

区間 [1, 6] の場合、ランダムな値を 2 とします。

不等式 x に x = 0 を入れる²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 2²– 7(2) + 6 ≥ 0

⇒ 4 – 14 + 6 ≥ 0

⇒ -4 ≥ 0 (偽)

区間 [6, ∞) の場合、ランダムな値を 7 とします。

不等式 x に x = 7 を代入します。²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 7²– 7(7) + 6 ≥ 0

⇒ 49 – 49 + 6 ≥ 0

⇒ 6 ≥ 0 (真)

ステップ6: したがって、絶対値不等式 x の解は²– 7x + 6 ≥ 0 は、数直線上に次のようにプロットできる不等式を満たすため、区間 (-∞, 1] ∪ [6, ∞) です。

絶対値の不等式を解く方法

絶対値の不等式を解く例を見てみましょう。

例: 不等式を解きます: |y + 1| ≤ 2

ブロックされた番号

解決：

不等式を解く手順は次のとおりです: |y + 1| ≤ 2

ステップ1： 不等式を方程式の形で書きます。

|y + 1| = 2

ステップ2： 方程式を解きます。

y + 1 = ∓ 2

y + 1 = 2 および y + 1 = – 2

y = 1 および y = -3

gimpの選択を解除する方法

上記のステップから、値 y = 1 および y = -3 を取得します。

ステップ 3: 上記の値から、間隔は (-∞, -3]、[-3, 1]、[1, ∞) となります。

不等式は ≤ であり、等しいことが含まれるため、取得された値には閉じ括弧を使用します。

ステップ 4: 上記の間隔を数直線で表したもの。

ステップ5: 各間隔の間に乱数を取得し、それが値を満たしているかどうかを確認します。満足する場合は、解に間隔を含めます。

区間 (-∞, -3] の場合、ランダム値を -4 とします。

不等式 |y + 1| に y = -4 を代入します。 ≤ 2

⇒ |-4+1| ≤ 2

⇒ |-3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (偽)

区間 [-3, 1] の場合、ランダムな値を 0 とします。

不等式 |y + 1| に y = 0 を代入します。 ≤ 2

⇒ |0+1| ≤ 2

⇒ |1| ≤ 2

⇒ 1 ≤ 2 (真)

区間 [1, ∞) の場合、ランダムな値を 2 とします。

不等式 |y + 1| に y = 2 を代入します。 ≤ 2

⇒ |2+1| ≤ 2

⇒ |3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (偽)

ステップ6: したがって、絶対値不等式 |y + 1| の解は次のようになります。 ≤ 2 は、数直線上に次のようにプロットできる不等式を満たすため、区間 [-3, -1] です。

合理的不平等を解決する方法

有理的不等式を解く例を見てみましょう。

例: 不等式を解きます: (x + 3) / (x – 1) <2

解決：

不平等を解決する手順は次のとおりです。

ステップ1： 不等式を方程式の形で書きます。 (x + 3) / (x – 1) <2

(x + 3) / (x – 1) = 2

ステップ2： 方程式を解きます。

(x + 3) / (x – 1) = 2

(x + 3) = 2(x – 1)

x + 3 = 2x – 2

2x – x = 3 + 2

x = 5

上記のステップから値 x = 5 を取得します。

ステップ 3: 上記の値から、間隔は (-∞,1)、(1, 5)、(5, ∞) となります。

なぜなら、不等式は

x = 1 の場合、不等式は定義されていないため、x = 1 に対して開き括弧を使用します。

ステップ 4: 上記の間隔を数直線で表したもの。

ステップ5: 各間隔の間に乱数を取得し、それが値を満たしているかどうかを確認します。満足する場合は、解に間隔を含めます。

区間 (-∞, 1) の場合、ランダムな値を 0 とします。

不等式 (x + 3) / (x – 1) に x = 0 を代入します。 <2

⇒ (0 + 3) / (0 – 1) <2

⇒ 3 / (-1) <2

⇒ -3 <2 (真)

間隔 (1, 5) の場合、ランダムな値を 2 とします。

不等式 (x + 3) / (x – 1) に x = 3 を代入します。 <2

⇒ (3 + 3) / (3 – 1) <2

⇒ 6 / 2 <2

⇒ 3 <2 (偽)

区間 (5, ∞) の場合、ランダムな値を 2 とします。

不等式 (x + 3) / (x – 1) に y = 6 を代入します。 <2

⇒ (6 + 3) / (6 – 1) <2

Javaで日付をフォーマットする

⇒ 9/5 <2

⇒ 1.8 <2 (真)

ステップ6: したがって、絶対値不等式 (x + 3) / (x – 1) の解は次のようになります。 <2 は、数直線上に次のようにプロットできる不等式を満たすため、区間 (-∞, 1) ∪ (5, ∞) です。

2 つの変数を使用して一次不等式を解く方法

2 つの変数を使用して線形不等式を解く例を見てみましょう。

例： 解く: 20x + 10y ≤ 60

解決：

x = 0 を考慮し、指定された不等式に代入します。

⇒ 20x + 10y ≤ 60

⇒ 20(0) + 10y ≤ 60

⇒ 10歳 ≤ 60

⇒ かつ ≤ 6 ——(i)

ここで、x = 0 の場合、y は 0 ～ 6 になります。

同様に、不等式に値を入れて、不等式が満たされるかどうかを確認します。

x = 1 の場合、y は 0 ～ 4 になります。

x = 2 の場合、y は 0 ～ 2 になります。

x = 3 の場合、y は 0 になる可能性があります。

与えられた不等式に対する可能な解は、(0, 0)、(0,1)、(0, 2)、(0,3)、(0,4)、(0,5)、(0,6)、( 1,0)、(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,0)、(2,1)、(2,2)、(3、 0)。

不平等体系

不等式系は、1 つ以上の変数を含む 2 つ以上の不等式のセットです。不等式系には、1 つ以上の変数を含む複数の不等式が含まれます。

不等式の系は次のような形式になります。

ある_十一バツ₁+a₁₂バツ₂+a₁₃バツ₃……..+a_1nバツ_{n 1}

ある₂₁バツ₁+a₂₂バツ₂+a₂₃バツ₃……..+a_2nバツ_{n 2}

ある_n1バツ₁+a_n2バツ₂+a_n3バツ₃……..+a_んバツ_{n n}

不等式のグラフ表現

不等式系は複数の不等式をまとめたものです。まず、各不等式を解き、各不等式のグラフをプロットします。すべての不等式のグラフの交点は、不等式系のグラフを表します。

例を考えてみましょう。

例: 不等式系のグラフをプロットする

• 2x + 3y ≤ 6
• x ≤ 3
• y ≤ 2

解決：

2x + 3y ≤ 6 のグラフ

グラフの影付きの領域は 2x + 3y ≤ 6 を表します

x ≤ 3 のグラフ

影付きの領域は x ≤ 3 を表します

y ≤ 2 のグラフ

影付きの領域は y ≤ 2 を表します

与えられた不等式系のグラフ

影付きの領域は、指定された不等式系を表します。

不平等 – よくある質問

不平等の概念とは何ですか?

不等式とは、式の左辺と右辺が等しくない数式です。

不平等を表す記号は何ですか?

不等式の記号は、>、<、≥、≤、≠です。

不等式の推移的性質とは何ですか?

不等式の推移的性質により、a、b、c が 3 つの数値である場合、次のようになります。

• a> b かつ b> c の場合、a> c
• もし
• a ≥ b かつ b ≥ c の場合、a ≥ c
• a ≤ b かつ b ≤ c の場合、a ≤ c