統合 限界の領域内の関数の小さな値を合計するプロセスです。まさに差別化の逆です。統合は反微分とも呼ばれます。三角関数の積分については以下の記事で解説しました。

以下は、特定の機能の統合の例です。

例えば。、 関数 f(y) = y を考えてみましょう。²。

この機能は次のように統合できます。

∫そうだ²あなた=frac{y^{2+1}}{2+1}~+~C

ただし、 不定積分 は、別の関数の逆導関数を取る関数です。積分記号（∫）、関数、最後に関数の微分で表されます。不定積分は、反微分をシンボル化する簡単な方法です。

数学的に積分とは何かを学びましょう。関数 f(x) の積分は F(x) で与えられ、次のように表されます。

∫f(x)dx = F(x) + C

ここでR.H.S.方程式の は x に関する f(x) の積分を意味し、F(x) は逆導関数または原始関数と呼ばれ、f(x) は被積分関数と呼ばれ、dx は積分剤と呼ばれ、C は積分定数または積分定数と呼ばれます。任意の定数であり、x は積分変数です。

三角関数の重要な積分

以下は、基本的な不定積分の重要な公式のリストです。 三角関数 次のように覚えておいてください。

• ∫ sin x dx = -cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C
• ∫秒²x dx = タン x + C
• ∫ コ秒²x dx = -cot x + C
• ∫ 秒 x タン x dx = 秒 x + C
• ∫ cosec x cot x dx = -cosec x + C
• ∫tan x dx = ln |秒 x | +C
• ∫ cot x dx = ln |罪x | +C
• ∫ 秒 x dx = ln |秒 x + タン x | +C
• ∫ cosec x dx = ln | cosec x – cot x | +C

ここで、dx は x、C の導関数です。 は積分定数であり、ln は 対数 モジュラス (| |) 内の関数の。

一般に、三角関数に基づく不定積分の問題は代入法で解きます。そこで、次のように置換法による統合について詳しく説明します。

置換による統合

この方法では、 置換による統合 、任意の与えられた積分は、独立変数を他の変数に置き換えることによって、単純な形式の積分に変換されます。理解を深めるために例を考えてみましょう。

例: ∫ 3x を単純化します。 ² 罪(x ³ ）DX。

答え：

I = ∫ 3x とします²罪(x³）DX。

指定された積分を評価するには、次のように任意の変数を新しい変数に置き換えます。

×にしてみましょう³与えられた積分に対して t になります。

すると、dt = 3x²DX

したがって、

I = ∫ 3x²罪(x³) dx = ∫ sin (x³) (3x²DX）

ここで、x を t に置き換えます³そして3倍のdt²上記の積分では dx になります。

I = ∫ sin (t) (dt)

Pythonは数値です

∫ sin x dx = -cos x + C であるため、

I = -コスト + C

もう一度、x を元に戻します。³式の t については次のようになります。

I = ∫ 3x ² 罪(x ³ ) dx = -cos x ³ +C

これは必要な積分です。

したがって、置換による積分の一般形式は次のようになります。

∫ f(g(x)).g'(x).dx = f(t).dx

ここで、t = g(x)

通常、置換による積分法は、その導関数が被積分関数にも存在する関数を置換する場合に非常に役立ちます。そうすることで関数が単純化され、基本的な積分の公式を使用して関数を積分できるようになります。

微積分学では、置換法による積分法は、逆連鎖規則または U-置換法としても知られています。特別な形式で設定されている場合、この方法を使用して整数値を求めることができます。これは、与えられた積分が次の形式であることを意味します。

続きを読む、

• 数学における微積分
• 積分
• 積分微積分
• 三角関数の微分
• 三角方程式

三角関数の積分に関するサンプル問題

問題 1: 次の関数の積分を求めます: f(x) = cos ³ バツ。

解決：

与えられた関数の積分を次のように考えてみましょう。

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I = ∫ cos³エックスDX

これは次のように書き換えることができます。

I = ∫ (cos x) (cos²x) DX

三角関数恒等式の使用。コス²x = 1 – 罪²×、わかりました

I = ∫ (cos x) (1 – sin²x) DX

⇒ I = ∫ cos x – cos x sin²エックスDX

⇒ I = ∫ cosx dx – ∫ cosx sin²エックスDX

∫ cos x dx = sin x + C として、

したがって、I = sin x – ∫ sin²x cos x dx 。 。 。 (1)

sin x = t としましょう

⇒cos×dx＝dt。

上記の積分の第 2 項の sin x を t に、cos x dx を dt に代入します。

I = sin x – ∫ t²dt

⇒ I = sin x – t³/3 + C

再度、式内の t を back sin x に置き換えます。

したがって、∫ cos ³ x dx = 罪 x – 罪 ³ x / 3 + C.

問題 2: f(x) = sin の場合 ² (x)cos ³ (x) 次に、∫ sin を決定します。 ² (x)cos ³ (x) DX。

解決：

与えられた関数の積分を次のように考えてみましょう。

私 = ∫罪²(x)cos³(x)dx

三角関数恒等式の使用。コス²x = 1 – 罪²×、わかりました

私 = ∫罪²x (1 – 罪²x) cos x dx

sin x = t とすると、

⇒ dt = cos x dx

これらを上記の積分に次のように代入します。

I = ∫ t²(1 – t²) dt

⇒ I = ∫ t²–t⁴dt

⇒ I = t³/ 3 – t⁵/5+C

上記の積分の t の値を次のように代入して戻します。

したがって、私 = 罪 ³ x / 3 – なし ⁵ x / 5 + C.

問題 3: f(x) = sin とします。 ⁴ (x) 次に、∫ f(x)dx を求めます。つまり∫罪 ⁴ (x) DX。

解決：

与えられた関数の積分を次のように考えてみましょう。

私 = ∫罪⁴(x)dx

⇒ I = ∫ (なし²（バツ））²DX

三角関数恒等式を使用します。罪²(x) = (1 – cos (2x)) / 2、次のようになります。

I = ∫ {(1 – cos (2x)) / 2}²DX

⇒ I = (1/4) × ∫ (1+cos²(2x)- 2cos2x) dx

⇒ I = (1/4) × ∫ 1 dx + ∫ cos²(2x) dx – 2 ∫ cos2x dx

⇒ I = (1/4) × [ x + ∫ (1 + cos 4x) / 2 dx – 2 ∫ cos2x dx ]

⇒ I = (1/4) × [ 3x / 2 + sin 4x / 8 – sin 2x ] + C

⇒ I = 3x / 8 + sin 4x / 32 – sin 2x / 4 + C

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したがって、∫ sin ⁴ (x) dx = 3x / 8 + sin 4x / 32 – sin 2x / 4 + C

問題 4: の積分を求めます。 old{intfrac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx} 。

解決：

与えられた関数の積分を次のように考えてみましょう。

I =int frac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx

t = タンとします^-1バツ 。 。 。 (1)

ここで、x に関して両辺を微分します。

dt = 1 / (1+x²) DX

したがって、与えられた積分は次のようになります。

I = ∫ e^tdt

⇒ I = e^t+C. 。 。 (2)

文字列を文字に変換する方法

(1) の値を (2) に代入します。

⇒I = e^{tan^{-1}x} + C

これは、指定された関数に必要な統合です。

問題 5: 次のように定義される関数 f (x) の積分を求めます。

f(x) = 2x cos (x ² – 5) DX

解決：

与えられた関数の積分を次のように考えてみましょう。

I = ∫ 2x cos (x²– 5) DX

(x²– 5) = t 。 。 。 (1)

ここで、x に関して両辺を次のように微分します。

2x dx = dt

これらの値を上記の積分に代入すると、

I = ∫ cos (t) dt

⇒ I = sin t + C 。 。 。 (2)

値の式 (1) を式 (2) に代入すると、次のようになります。

⇒ I = 罪 (x²– 5) +C

これは、特定の関数に必要な統合です。

問題 6: 与えられた不定積分の値 I = ∫ cot (3x +5) dx を求めます。

解決：

与えられた積分は次のように書くことができます。

I = ∫ cot (3x +5) dx

⇒ I = ∫ cos (3x +5) / sin (3x +5) dx

t = sin(3x + 5) としましょう

⇒ dt = 3 cos (3x+5) dx

⇒ cos (3x+5) dx = dt / 3

したがって、

I = ∫ dt / 3 sin t

⇒ I = (1 / 3) ln | t | +C

上の式の t を sin (3x+5) に置き換えます。

I = (1 / 3) ln |罪 (3x+5) | +C

これは、特定の関数に必要な統合です。

三角関数の統合 – FAQ

三角関数の積分とは何ですか?

三角関数の積分はその名の通り、三角関数の積分や逆微分を計算する処理です。これは三角関数の微分の逆の過程です。

基本的な三角関数とは何ですか?

基本的な三角関数は次のとおりです。

C++での継承

• 正弦（なし）、
• コサイン (cos)、
• タンジェント (タンジェント)、
• コタンジェント(エルボ)、
• セカント (秒)、および
• コセカント (csc)。

サイン (sin) 関数とコサイン (cos) 関数を統合するにはどうすればよいですか?

サイン関数とコサイン関数を統合するには、次の式を使用できます。

• ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C
• ∫ cos(x) dx = sin(x) + C

どこ C 積分定数です。

タンジェント(tan)三角関数の積分とは何ですか?

正接関数の積分は次のように与えられます。

∫ Tan(x) dx = -ln|cos(x)| +C

どこ、

• ln 自然対数を表し、
• C 積分定数です。

正割(秒)三角関数の積分を求めるにはどうすればよいですか?

セカント関数の積分は次のように与えられます。

∫ sec(x) dx = ln|sec(x) + Tan(x)| +C

どこ、

• ln 自然対数を表し、
• C 積分定数です。

コタンジェント(cot)三角関数の積分とは何ですか?

コタンジェント関数の積分は、次の式を使用して計算できます。

∫ cot(x) dx = ln|sin(x)| +C

どこ、

• ln 自然対数を表し、
• C 積分定数です。

コセカント (cosec) 関数の積分を求める方法

コセカント関数の積分は次のように与えられます。

∫ cosec(x) dx = ln| cosec x – cot x | +C

どこ、

• ln 自然対数を表し、
• C 積分定数です。