logo

TechCodeview

分割統治アルゴリズムの概要 - データ構造とアルゴリズムのチュートリアル

分割統治 アルゴリズム 主な問題をサブ問題に分割し、個別に解決してからそれらをマージして元の問題の解決策を見つけることによって問題を解決するために使用される問題解決手法です。この記事では、分割統治アルゴリズムがどのように役立つか、またそれを問題解決にどのように使用できるかについて説明します。



目次

スパークチュートリアル

分割統治 アルゴリズムの定義:

分割統治アルゴリズム これには、大きな問題を小さなサブ問題に分割し、それらを個別に解決し、その後、それらの解決策を組み合わせて元の問題を解決することが含まれます。基本的な考え方は、直接解決できるほど単純になるまで、問題を小さなサブ問題に再帰的に分割することです。部分問題の解決策が得られたら、それらを組み合わせて全体の解決策を生成します。

分割統治アルゴリズムの仕組み:

分割統治アルゴリズムは 3 つのステップに分けることができます。 分ける 、 征服する そして マージ 。



1. 分割:

  • 元の問題をより小さなサブ問題に分割します。
  • 各サブ問題は、問題全体の一部を表す必要があります。
  • 目標は、それ以上分割できなくなるまで問題を分割することです。

2. 征服する:

  • 小さなサブ問題をそれぞれ個別に解決します。
  • 部分問題が十分に小さい場合 (基本ケースと呼ばれることが多い)、それ以上再帰せずに直接解決します。
  • 目標は、これらの部分問題の解決策を個別に見つけることです。

3. マージ:

  • サブ問題を結合して、問題全体の最終的な解決策を取得します。
  • 小さな部分問題が解決されたら、それらの解決策を再帰的に組み合わせて、より大きな問題の解決策を取得します。
  • 目標は、部分問題の結果を結合して、元の問題の解決策を定式化することです。

分割統治アルゴリズムの特徴:

分割統治アルゴリズムでは、問題をより小さく管理しやすい部分に分割し、各部分を個別に解決し、解決策を組み合わせて元の問題を解決します。分割統治アルゴリズムの特徴は次のとおりです。

  • 問題を分割する : 最初のステップは、問題をより小さく、より管理しやすいサブ問題に分割することです。この除算は、部分問題が直接解決できるほど単純になるまで再帰的に行うことができます。
  • 部分問題の独立性 : 各サブ問題は他のサブ問題から独立している必要があります。つまり、1 つのサブ問題の解決が別のサブ問題の解決に依存しないことを意味します。これにより、サブ問題の並列処理または同時実行が可能になり、効率の向上につながる可能性があります。
  • それぞれのサブ問題を克服する : 分割したら、部分問題を個別に解決します。これには、部分問題が直接解決できるほど単純になるまで、同じ分割統治アプローチを再帰的に適用することが含まれる場合もあれば、別のアルゴリズムまたは手法を適用することが含まれる場合もあります。
  • ソリューションの組み合わせ : 部分問題を解決した後、それらの解決策を組み合わせて、元の問題の解決策を取得します。部分問題の解決策はシームレスに組み合わされるように設計する必要があるため、この組み合わせステップは比較的効率的で簡単である必要があります。

分割統治アルゴリズムの例:

1. 配列内の最大要素を検索します。

分割統治アルゴリズムを使用すると、配列を 2 つの同じサイズの部分配列に分割し、さらに 2 つの小さな半分に再度分割することで、その 2 つの個別の半分の最大値を見つけることによって、配列内の最大要素を見つけることができます。これは、サイズ 1 のサブ配列に到達するまで行われます。要素に到達した後、最大の要素を返し、各サブ配列の最大値を返すことによってサブ配列を結合します。



C++ 
// function to find the maximum no. // in a given array. int findMax(int a[], int lo, int hi) {  // If lo becomes greater than hi, then return minimum  // integer possible  if (lo>こんにちは）INT_MINを返します。  // 部分配列に要素が 1 つしかない場合、 // 要素を返します if (lo == hi) return a[lo];  int ミッド = (ロー + ハイ) / 2;  // 左半分から最大要素を取得 int leftMax = findMax(a, lo,mid);  // 右半分から最大要素を取得 int rightMax = findMax(a, Mid + 1, hi);  // 左右から最大の要素を返します // 半分は max(leftMax, rightMax) を返します。 }>>
ジャワ 
// Function to find the maximum number // in a given array. static int findMax(int[] a, int lo, int hi) {  // If lo becomes greater than hi, then return  // minimum integer possible  if (lo>hi) Integer.MIN_VALUE を返します。  // 部分配列に要素が 1 つしかない場合、 // 要素を返します if (lo == hi) return a[lo];  int ミッド = (ロー + ハイ) / 2;  // 左半分から最大要素を取得 int leftMax = findMax(a, lo,mid);  // 右半分から最大要素を取得 int rightMax = findMax(a, Mid + 1, hi);  // 左から最大の要素を返し、 // 右半分を返します Math.max(leftMax, rightMax); }>>
Python3 
# Function to find the maximum number # in a given array. def find_max(a, lo, hi): # If lo becomes greater than hi, then return minimum # integer possible if lo>hi: return float('-inf') # 部分配列に要素が 1 つしかない場合、 # 要素を返す if lo == hi: return a[lo] Mid = (lo + hi) // 2 # 最大値を取得左半分の要素 left_max = find_max(a, lo,mid) # 右半分から最大の要素を取得 right_max = find_max(a,mid + 1, hi) #左半分と右半分から最大の要素を返す #half return max (左最大、右最大)>>
C# 
// Function to find the maximum number // in a given array. static int FindMax(int[] a, int lo, int hi) {  // If lo becomes greater than hi, then return  // minimum integer possible  if (lo>hi) int.MinValue を返します。  // 部分配列に要素が 1 つしかない場合、 // 要素を返します if (lo == hi) return a[lo];  int ミッド = (ロー + ハイ) / 2;  // 左半分から最大要素を取得 int leftMax = FindMax(a, lo,mid);  // 右半分から最大要素を取得 int rightMax = FindMax(a, Mid + 1, hi);  // 左から最大の要素を返し、 // 右半分を返します Math.Max(leftMax, rightMax); }>>
JavaScript 
// Function to find the maximum number // in a given array. function findMax(a, lo, hi) {  // If lo becomes greater than hi, then return minimum  // integer possible  if (lo>hi) Number.MIN_VALUE を返します。  // 部分配列に要素が 1 つしかない場合、 // 要素を返します if (lo === hi) return a[lo];  const mid = Math.floor((lo + hi) / 2);  // 左半分から最大要素を取得 const leftMax = findMax(a, lo,mid);  // 右半分から最大要素を取得 const rightMax = findMax(a, Mid + 1, hi);  // 左と右から最大の要素を返します // 半分は Math.max(leftMax, rightMax) を返します。 }>>

2. 配列内の最小要素を見つけます。

同様に、分割統治アルゴリズムを使用して、配列を 2 つの等しいサイズの部分配列に分割し、再度 2 つの小さな半分に分割することで、それら 2 つの個別の半分の最小値を見つけることにより、配列内の最小要素を見つけることができます。これは、サイズ 1 の部分配列に到達するまで行われます。要素に到達した後、最小要素を返し、各部分配列の最小値を返すことによって部分配列を結合します。

3. 並べ替えを結合:

分割統治アルゴリズムを使用すると、配列を小さなサブ配列に分割し、小さいサブ配列をソートし、ソートされた配列をマージして元の配列をソートすることで、配列を昇順または降順にソートできます。

分割統治アルゴリズムの複雑さの分析:

T(n) = aT(n/b) + f(n)、ここで、n = 入力のサイズ a = 再帰内の部分問題の数 n/b = 各部分問題のサイズ。すべての部分問題は同じサイズであると想定されます。 f(n) = 再帰呼び出しの外部で行われる作業のコスト。これには、問題を分割するコストと解決策をマージするコストが含まれます。

分割統治アルゴリズムの応用:

以下は、分割統治アルゴリズムに従ういくつかの標準アルゴリズムです。

  • クイックソート は、ピボット要素を選択し、選択したピボット要素よりも小さいすべての要素がピボットの左側に移動し、それより大きいすべての要素が右側に移動するように配列要素を再配置する並べ替えアルゴリズムです。最後に、アルゴリズムはピボット要素の左側と右側の部分配列を再帰的に並べ替えます。
  • マージソート もソートアルゴリズムです。このアルゴリズムは、配列を 2 つの半分に分割し、それらを再帰的に並べ替えて、最後に並べ替えられた 2 つの半分をマージします。
  • 最も近い点のペア 問題は、x-y 平面内の一連の点の中から最も近い点のペアを見つけることです。この問題は、すべての点のペアの距離を計算し、その距離を比較して最小値を見つけることで、O(n^2) 時間で解決できます。分割統治アルゴリズムは、O(N log N) 時間で問題を解決します。
  • ストラッセンのアルゴリズム は 2 つの行列を乗算する効率的なアルゴリズムです。 2 つの行列を乗算する簡単な方法には 3 つのネストされたループが必要で、その計算量は O(n^3) です。 Strassen のアルゴリズムは 2 つの行列を O(n^2.8974) 時間で乗算します。
  • Cooley-Tukey 高速フーリエ変換 (FFT) アルゴリズム FFT の最も一般的なアルゴリズムです。これは O(N log N) 時間で動作する分割統治アルゴリズムです。
  • 高速乗算のためのカラツバアルゴリズム 2 つのバイナリ文字列の乗算を O(n1.59) ここで、n はバイナリ文字列の長さです。

分割統治アルゴリズムの利点:

  • 難しい問題を解決する: 分割統治法は、難しい問題を概念的に解決するためのツールです。例えばハノイの塔のパズル。それには、問題をサブ問題に分割し、それらすべてを個別のケースとして解決し、サブ問題を元の問題に結合する方法が必要です。
  • アルゴリズムの効率: 分割統治アルゴリズムは、多くの場合、効率的なアルゴリズムの発見に役立ちます。これは、クイック ソートやマージ ソート、高速フーリエ変換などのアルゴリズムの鍵となります。
  • 並列処理: 通常、分割統治アルゴリズムは、共有メモリ システムを備えたマルチプロセッサ マシンで使用されます。この場合、個別のサブ問題を異なるプロセッサ上で実行できるため、プロセッサ間のデータ通信を事前に計画する必要がありません。
  • メモリアクセス: これらのアルゴリズムでは、当然ながらメモリ キャッシュが効率的に使用されます。副問題は十分小さいため、遅いメイン メモリを使用せずにキャッシュ内で解決できます。キャッシュを効率的に使用するアルゴリズムはすべて、キャッシュ オブリビアスと呼ばれます。

分割統治アルゴリズムの欠点:

  • オーバーヘッド： 問題をサブ問題に分割し、解決策を組み合わせるプロセスには、追加の時間とリソースが必要になる場合があります。このオーバーヘッドは、すでに比較的小さい問題や単純な解決策がある問題では重大になる可能性があります。
  • 複雑： 問題を小さなサブ問題に分割すると、ソリューション全体の複雑さが増す可能性があります。これは、部分問題が相互に依存しており、特定の順序で解決する必要がある場合に特に当てはまります。
  • 実装の難易度: 問題によっては、より小さなサブ問題に分割するのが難しい場合や、分割するために複雑なアルゴリズムが必要になる場合があります。このような場合、分割統治ソリューションを実装するのは困難になる可能性があります。
  • メモリ制限: 大規模なデータ セットを扱う場合、部分問題の中間結果を保存するためのメモリ要件が制限要因になる可能性があります。

分割統治アルゴリズムに関するよくある質問 (FAQ):

1. 分割統治アルゴリズムとは何ですか?

分割統治は、問題をより小さな、より管理しやすいサブ問題に分割する問題解決手法です。これらの部分問題は再帰的に解決され、その後、それらの解決策が結合されて元の問題が解決されます。

2. 分割統治アルゴリズムに含まれる重要な手順は何ですか?

主な手順は次のとおりです。

分ける : 問題を小さなサブ問題に分割します。

征服する : 部分問題を再帰的に解決します。

組み合わせる : 部分問題の解決策をマージまたは組み合わせて、元の問題の解決策を取得します。

3. 分割統治を使用して解決された問題の例にはどのようなものがありますか?

分割統治アルゴリズムは、マージ ソートやクイック ソートなどの並べ替えアルゴリズム、最も近い点のペアの検索、ストラッセンのアルゴリズムなどで使用されます。

4. マージ ソートは分割統治アプローチをどのように使用しますか?

マージ ソートは、配列を 2 つの半分に分割し、それぞれの半分を再帰的に並べ替えてから、並べ替えられた半分をマージして、最終的に並べ替えられた配列を生成します。

5. 分割統治アルゴリズムの時間計算量はどれくらいですか?

時間の複雑さは、特定の問題とその実装方法によって異なります。一般に、多くの分割統治アルゴリズムの時間計算量は O(n log n) 以上です。

6. 分割統治アルゴリズムは並列化できますか?

はい、分割統治アルゴリズムは、独立した部分問題を同時に解決できるため、自然に並列化できることがよくあります。このため、並列コンピューティング環境に適しています。

7. 分割統治アルゴリズムで基本ケースを選択するための戦略にはどのようなものがありますか?

基本ケースは、さらに分割することなく直接解決できるほど単純である必要があります。多くの場合、問題を自明に解決できる最小の入力サイズに基づいて選択されます。

8. Divide and Conquer の使用に欠点や制限はありますか?

分割統治は多くの問題に対して効率的な解決策をもたらす可能性がありますが、すべてのタイプの問題に適しているわけではありません。問題のサイズが非常に大きい場合は、再帰とソリューションの結合によるオーバーヘッドも問題となる可能性があります。

9. 分割統治アルゴリズムの空間の複雑さをどのように分析しますか?

空間の複雑さは、再帰の深さや、ソリューションを組み合わせるために必要な補助空間などの要因に依存します。スペースの複雑さを分析するには、通常、各再帰呼び出しで使用されるスペースを考慮する必要があります。

10. 分割統治アルゴリズムの一般的な利点は何ですか?

分割統治アルゴリズムには多くの利点があります。そのうちのいくつかは次のとおりです。

  • 難しい問題を解決する
  • アルゴリズムの効率
  • 平行度
  • メモリアクセス

分割統治はコンピューター サイエンスで一般的なアルゴリズム手法であり、問​​題を小さなサブ問題に分割し、各サブ問題を個別に解決し、サブ問題の解決策を組み合わせて元の問題を解決します。この手法の背後にある基本的な考え方は、問題をより簡単に解決できる、より管理しやすい小さなサブ問題に分割することです。