バイナリ正方行列内のすべての 1 によって形成される最大のプラスまたは「+」

与えられた n×n バイナリ行列 とともに からなる 0秒そして 1秒。あなたの仕事は最大のサイズを見つけることです 「+」 だけで形成できる形状 1秒。

あ 「+」 形状は、4 つのアームが 4 方向すべてに伸びた中央セルで構成されます ( 上下左右 ) マトリックスの境界内に留まりながら。のサイズ 「+」 として定義されます セルの総数 センターとすべてのアームを含めて形成します。

タスクは、 最大サイズ 有効な 「+」 で とともに 。いいえの場合 「+」 リターンを形成することができます。

例:

入力： with = [ [0 1 1 0 1] [0 0 1 1 1] [1 1 1 1 1] [1 1 1 0 1] [0 1 1 1 0] ]
出力： 9
説明： マットの中央にアーム長2（各方向2マス+中央1マス）の「+」を形成できます。
0 1 1 0 1
0 0 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 0 1
0 1 1 1 0
合計サイズ = (2 × 4) + 1 = 9

入力： with = [ [0 1 1] [0 0 1] [1 1 1] ]
出力： 1
説明： 腕の長さが 0 の「+」(各方向に 0 個のセル + 中心に 1 個) は、任意の 1 で形成できます。
入力： = [ [0] ] を使用
出力：
説明： いいえ 「+」記号を形成できます。

[素朴なアプローチ] - すべての点を中心として考える - O(n^4) 時間と O(n^4) 空間

マトリックスのセルを 1 つずつ調べます。通過したすべての点をプラスの中心とみなして、+ のサイズを見つけます。すべての要素について、左、右、下、上に移動します。この解決策の最悪のケースは、すべて 1 の場合に発生します。

[予想されるアプローチ] - 4 つの配列を事前計算 - O(n^2) 時間と O(n^2) 空間

の アイデア 4 つの補助行列を維持することです 左[][] 右[][] 上[][] 下[][] 連続した 1 をあらゆる方向に保存します。細胞ごとに (i j) 入力行列では、以下の情報をこれらに保存します。 4 行列 -
左(i j) 連続する 1 の最大数を左セル(i j)を含むセル(i j)の。
右(i j) 連続する 1 の最大数を右セル(i j)を含むセル(i j)の。
トップ(i j) 連続する 1 の最大数を保存します トップ セル(i j)を含むセル(i j)の。
底(i j) 連続する 1 の最大数を保存します底セル(i j)を含むセル(i j)の。

上記の行列の各セルの値を計算した後、 最大の「+」 の最小値を考慮して最大値を持つ入力行列のセルによって形成されます ( 左(i j) 右(i j) 上(i j) 下(i j) )

使用できます 動的プログラミング すべての方向で連続する 1 の合計量を計算するには、次のようにします。

if mat(i j) == 1
左(i j) = 左(i j - 1) + 1
それ以外の場合は左(i j) = 0

if mat(i j) == 1
トップ(i j) = トップ(i - 1 j) + 1;
それ以外の場合、top(i j) = 0;

if mat(i j) == 1
ボトム(i j) = ボトム(i + 1 j) + 1;
それ以外の場合は、bottom(i j) = 0;

if mat(i j) == 1
右(i j) = 右(i j + 1) + 1;
それ以外の場合は右(i j) = 0;

上記のアプローチの実装を以下に示します。

C++

// C++ program to find the largest '+' in a binary matrix // using Dynamic Programming #include    using namespace std; int findLargestPlus(vector<vector<int>> &mat) {    int n = mat.size();    vector<vector<int>> left(n vector<int>(n 0));  vector<vector<int>> right(n vector<int>(n 0));  vector<vector<int>> top(n vector<int>(n 0));  vector<vector<int>> bottom(n vector<int>(n 0));    // Fill left and top matrices  for (int i = 0; i < n; i++) {  for (int j = 0; j < n; j++) {  if (mat[i][j] == 1) {  left[i][j] = (j == 0) ? 1 : left[i][j - 1] + 1;  top[i][j] = (i == 0) ? 1 : top[i - 1][j] + 1;  }  }  }    // Fill right and bottom matrices  for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {  for (int j = n - 1; j >= 0; j--) {  if (mat[i][j] == 1) {  right[i][j] = (j == n - 1) ? 1 : right[i][j + 1] + 1;  bottom[i][j] = (i == n - 1) ? 1 : bottom[i + 1][j] + 1;  }  }  }    int maxPlusSize = 0;    // Compute the maximum '+' size  for (int i = 0; i < n; i++) {  for (int j = 0; j < n; j++) {  if (mat[i][j] == 1) {  int armLength = min({left[i][j] right[i][j]  top[i][j] bottom[i][j]});    maxPlusSize = max(maxPlusSize  (4 * (armLength - 1)) + 1);  }  }  }    return maxPlusSize; } int main() {    // Hardcoded input matrix  vector<vector<int>> mat = {  {0 1 1 0 1}  {0 0 1 1 1}  {1 1 1 1 1}  {1 1 1 0 1}  {0 1 1 1 0}  };    cout << findLargestPlus(mat) << endl;  return 0; }

Java

// Java program to find the largest '+' in a binary matrix // using Dynamic Programming class GfG {    static int findLargestPlus(int[][] mat) {    int n = mat.length;    int[][] left = new int[n][n];  int[][] right = new int[n][n];  int[][] top = new int[n][n];  int[][] bottom = new int[n][n];    // Fill left and top matrices  for (int i = 0; i < n; i++) {  for (int j = 0; j < n; j++) {  if (mat[i][j] == 1) {  left[i][j] = (j == 0) ? 1 : left[i][j - 1] + 1;  top[i][j] = (i == 0) ? 1 : top[i - 1][j] + 1;  }  }  }    // Fill right and bottom matrices  for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {  for (int j = n - 1; j >= 0; j--) {  if (mat[i][j] == 1) {  right[i][j] = (j == n - 1) ? 1 : right[i][j + 1] + 1;  bottom[i][j] = (i == n - 1) ? 1 : bottom[i + 1][j] + 1;  }  }  }    int maxPlusSize = 0;    // Compute the maximum '+' size  for (int i = 0; i < n; i++) {  for (int j = 0; j < n; j++) {  if (mat[i][j] == 1) {  int armLength = Math.min(Math.min(left[i][j] right[i][j])  Math.min(top[i][j] bottom[i][j]));    maxPlusSize = Math.max(maxPlusSize  (4 * (armLength - 1)) + 1);  }  }  }    return maxPlusSize;  }  public static void main(String[] args) {    // Hardcoded input matrix  int[][] mat = {  {0 1 1 0 1}  {0 0 1 1 1}  {1 1 1 1 1}  {1 1 1 0 1}  {0 1 1 1 0}  };    System.out.println(findLargestPlus(mat));  } }

Python

# Python program to find the largest '+' in a binary matrix # using Dynamic Programming def findLargestPlus(mat): n = len(mat) left = [[0] * n for i in range(n)] right = [[0] * n for i in range(n)] top = [[0] * n for i in range(n)] bottom = [[0] * n for i in range(n)] # Fill left and top matrices for i in range(n): for j in range(n): if mat[i][j] == 1: left[i][j] = 1 if j == 0 else left[i][j - 1] + 1 top[i][j] = 1 if i == 0 else top[i - 1][j] + 1 # Fill right and bottom matrices for i in range(n - 1 -1 -1): for j in range(n - 1 -1 -1): if mat[i][j] == 1: right[i][j] = 1 if j == n - 1 else right[i][j + 1] + 1 bottom[i][j] = 1 if i == n - 1 else bottom[i + 1][j] + 1 maxPlusSize = 0 # Compute the maximum '+' size for i in range(n): for j in range(n): if mat[i][j] == 1: armLength = min(left[i][j] right[i][j] top[i][j] bottom[i][j]) maxPlusSize = max(maxPlusSize (4 * (armLength - 1)) + 1) return maxPlusSize if __name__ == '__main__': # Hardcoded input matrix mat = [ [0 1 1 0 1] [0 0 1 1 1] [1 1 1 1 1] [1 1 1 0 1] [0 1 1 1 0] ] print(findLargestPlus(mat))

// C# program to find the largest '+' in a binary matrix // using Dynamic Programming using System; class GfG {    static int FindLargestPlus(int[] mat) {    int n = mat.GetLength(0);    int[] left = new int[n n];  int[] right = new int[n n];  int[] top = new int[n n];  int[] bottom = new int[n n];    // Fill left and top matrices  for (int i = 0; i < n; i++) {  for (int j = 0; j < n; j++) {  if (mat[i j] == 1) {  left[i j] = (j == 0) ? 1 : left[i j - 1] + 1;  top[i j] = (i == 0) ? 1 : top[i - 1 j] + 1;  }  }  }    // Fill right and bottom matrices  for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {  for (int j = n - 1; j >= 0; j--) {  if (mat[i j] == 1) {  right[i j] = (j == n - 1) ? 1 : right[i j + 1] + 1;  bottom[i j] = (i == n - 1) ? 1 : bottom[i + 1 j] + 1;  }  }  }    int maxPlusSize = 0;    // Compute the maximum '+' size  for (int i = 0; i < n; i++) {  for (int j = 0; j < n; j++) {  if (mat[i j] == 1) {  int armLength = Math.Min(Math.Min(left[i j] right[i j])  Math.Min(top[i j] bottom[i j]));    maxPlusSize = Math.Max(maxPlusSize  (4 * (armLength - 1)) + 1);  }  }  }    return maxPlusSize;  }  public static void Main() {    // Hardcoded input matrix  int[] mat = {  {0 1 1 0 1}  {0 0 1 1 1}  {1 1 1 1 1}  {1 1 1 0 1}  {0 1 1 1 0}  };    Console.WriteLine(FindLargestPlus(mat));  } }

JavaScript

// JavaScript program to find the largest '+' in a binary matrix // using Dynamic Programming function findLargestPlus(mat) {    let n = mat.length;    let left = Array.from({ length: n } () => Array(n).fill(0));  let right = Array.from({ length: n } () => Array(n).fill(0));  let top = Array.from({ length: n } () => Array(n).fill(0));  let bottom = Array.from({ length: n } () => Array(n).fill(0));    // Fill left and top matrices  for (let i = 0; i < n; i++) {  for (let j = 0; j < n; j++) {  if (mat[i][j] === 1) {  left[i][j] = (j === 0) ? 1 : left[i][j - 1] + 1;  top[i][j] = (i === 0) ? 1 : top[i - 1][j] + 1;  }  }  }    // Fill right and bottom matrices  for (let i = n - 1; i >= 0; i--) {  for (let j = n - 1; j >= 0; j--) {  if (mat[i][j] === 1) {  right[i][j] = (j === n - 1) ? 1 : right[i][j + 1] + 1;  bottom[i][j] = (i === n - 1) ? 1 : bottom[i + 1][j] + 1;  }  }  }    let maxPlusSize = 0;    // Compute the maximum '+' size  for (let i = 0; i < n; i++) {  for (let j = 0; j < n; j++) {  if (mat[i][j] === 1) {  let armLength = Math.min(left[i][j] right[i][j]  top[i][j] bottom[i][j]);    maxPlusSize = Math.max(maxPlusSize  (4 * (armLength - 1)) + 1);  }  }  }    return maxPlusSize; } // Hardcoded input matrix let mat = [  [0 1 1 0 1]  [0 0 1 1 1]  [1 1 1 1 1]  [1 1 1 0 1]  [0 1 1 1 0] ]; console.log(findLargestPlus(mat));

出力

時間計算量: O(n²) これは、方向行列を計算するための 4 つのパスと、最大の「+」を決定するための最後の 1 つのパスによるものです。各パスには O(n²) 時間がかかり、全体的な複雑さは O(n²) になります。
空間の複雑さ: O(n²) 4 つの補助行列 (左、右、上、下) が O(n²) の余分なスペースを消費するためです。