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格子:

L を、∧ と ∨ で示される、meet および join と呼ばれる 2 つの二項演算で閉じられる空でない集合とします。次に、a、b、c が L の要素である場合に次の公理が成り立つ場合、L は格子と呼ばれます。

1) 交換法則: -
(a) a ∧ b = b ∧ a (b) a ∨ b = b ∨ a

2) 結合法則:-
(a) (a ∧ b)∧ c = a ∧(b∧ c) (b) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)

3) 吸収則: -
(a) a ∧ ( a ∨ b) = a (b) a ∨ ( a ∧ b) = a

二重性:

格子 (L,∧ ,∨ ) 内の任意のステートメントの双対は、 ∧ と ∨ を交換することによって得られるステートメントとして定義されます。

例えば 、 a ∧ (b ∨ a) = a ∨ a の双対は a ∨ (b ∧ a )= a ∧ a

有界格子:

格子 L が最大要素 1 と最小要素 0 を持つ場合、その格子 L は有界格子と呼ばれます。

例：

  1. ∅ が P(S) の最小要素であり、集合 S が P(S) の最大要素であるため、交差および和集合の演算の下での集合 S のべき乗集合 P(S) は有界格子です。
  2. +ve 整数 I の集合+≦ の通常の順序では、最小要素 1 を持つが最大要素が存在しないため、有界格子ではありません。

有界格子のプロパティ:

L が有界格子の場合、任意の要素 a ∈ L に対して、次の恒等式が得られます。

  1. a ∨ 1 = 1
  2. a ∧1= a
  3. a ∨0=a
  4. a ∧0=0

定理： すべての有限格子 L = {a であることを証明します。1、あ2、あ3....an} は有界です。

証拠： 有限格子を与えました:

シス

L = {a1、あ2、あ3....an}

したがって、格子 L の最大の要素は、1∨ a2∨ a3∨....∨an。

また、格子 L の最小要素は、1∧2∧あ3∧....∧an。

したがって、最大要素と最小要素はすべての有限格子に存在します。したがって、L は有界です。

部分格子:

空ではないサブセット L を考えます。1格子 L の場合、L1L の場合、 は L の部分格子と呼ばれます1それ自体は格子、つまり L の演算、つまり a ∨ b ∈ L1そして a ∧ b ∈ L1a ∈ L のときはいつでも1そして b ∈ L1。

例： すべての +ve 整数 I の格子を考えます。+可分性の操作の下で。格子Dnn > 1 のすべての約数のうち、I の部分格子+。

D のすべての部分格子を決定します。30少なくとも 4 つの要素 D を含む30={1,2,3,5,6,10,15,30}。

解決： D の部分格子30少なくとも 4 つの要素が含まれるものは次のとおりです。

1. {1、2、6、30} 2. {1、2、3、30}
3. {1、5、15、30} 4. {1、3、6、30}
5. {1、5、10、30} 6. {1、3、15、30}
7. {2、6、10、30}

同型格子:

2格子L1私も2L からの全単射がある場合、同型格子と呼ばれます。1Lへ2つまり、f:L1⟶L2、 f (a ∧ b) =f(a)∧ f(b) および f (a ∨ b) = f (a) ∨ f (b) となる

例： 図に示されている格子が同形であるかどうかを判断します。

解決： 図に示す格子は同形です。マッピング f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)} を考えてみましょう。たとえば、f (b ∧ c) = f (a) = 1 です。 f (b) ∧ f(c) = 2 ∧ 3 = 1 がある

格子

分配格子:

格子 L の要素 a、b、c が次の分布特性を満たす場合、その格子 L は分布格子と呼ばれます。

  1. a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
  2. a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

格子 L が上記の特性を満たさない場合、その格子は非分布格子と呼ばれます。

例：

  1. 積集合および和集合の操作の下での集合 S のべき集合 P (S) は分配関数です。以来、
    a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∪ c)
    また、P(S) の任意の集合 a、b、c に対して、a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪c) となります。
  2. 図 II に示す格子は分配格子です。これは、1、2、3、および 4 から取得されるすべての順序付きトリプルの分配特性を満たしているためです。
格子

補数と補数ラティス:

L を下限 o と上限 I を持つ有界格子とします。L の場合、a を要素とします。a ∨ x = I および a ∧ x = 0 の場合、L の要素 x は a の補数と呼ばれます。

格子 L が有界であり、L 内のすべての要素が補数を持つ場合、その格子 L は補数であると言われます。

例： 図の a と c の補数を求めます。

格子

解決： a の補数は d です。 a ∨ d = 1 および a ∧ d = 0 であるため、

c の補数は存在しません。したがって、c ∨ c'=1 および c ∧ c'= 0 となる要素 c は存在しません。

モジュラーラティス:

a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c であり、a ≦ c の場合、格子 (L, ∧,∨) はモジュール格子と呼ばれます。

格子の直接積:

しましょう (L1∨1∧1）私も2∨2∧2) 2 つの格子であること。この場合、(L, ∧,∨) は格子の直積になります。ここで、L = L1×L2ここで、L 上の二項演算 ∨(join) と ∧(meet) は、任意の (a1、b1) と (2、b2）Lで。

(1、b1)∨(2、b2)=(1∨1ある2、b1∨2b2)
そして（1、b1) ∧ (2、b2)=(1∧1ある2、b1∧2b2）。

例： 図に示すような格子 (L, ≦) を考えます。ここで、L = {1, 2}。格子 (L) を決定します。2, ≦)、ここで L2=長さ×長さ。

格子

解決： 格子 (L2, ≦) を図に示します。

格子