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X と Y という 2 つの複合ステートメントがあるとします。これらは、両方の真理値表の列に同じ真理値が含まれている場合にのみ、論理的等価であると認識されます。 = または ⇔ という記号を使用すると、論理的等価性を表すことができます。したがって、X = Y または X ⇔ Y がこれらのステートメントの論理的等価性となります。

論理同値定義の助けを借りて、複合文 X と Y が論理同値である場合、この場合、X ⇔ Y はトートロジーでなければならないことがわかりました。

論理等価の法則

この法則では、論理等価性の法則を説明するために「AND」と「OR」の記号を使用します。ここで、AND は∧ 記号で示され、OR は∨ 記号で示されます。論理的等価性に関するさまざまな法則があり、次のように説明されます。

べき等の法則:

冪等法では、単一のステートメントのみを使用します。この法則によれば、2 つの同じステートメントを記号 ∧(and) と ∨(or) で結合すると、結果として得られるステートメントはステートメントそのものになります。複合ステートメント P があるとします。冪等の法則を示すために次の表記が使用されます。

 P ∨ P ? P P ∧ P ? P 

この法則の真理値表は次のように説明されます。

この表には、P、P ∨ P、および P ∧ P の列に同じ真理値が含まれています。

したがって、P ∨ P = P および P ∧ P = P と言えます。

交換法則:

2 つのステートメントは、交換法則を示すために使用されます。この法則によれば、2 つのステートメントを記号 ∧(and) または ∨(or) で結合すると、ステートメントの位置を変えても、結果として得られるステートメントは同じになります。 2 つのステートメント P と Q があるとします。ステートメント P と Q の両方が偽の場合、これらのステートメントの命題は偽になります。他のすべての場合、それは true になります。交換法則を示すために次の表記が使用されます。

 P ∨ Q ? Q ∨ P P ∧ Q ? Q ∧ P 

これらの表記法の真理値表は次のように説明されます。

この表には、P ∨ Q と Q ∨ P の列に同じ真理値が含まれています。

したがって、 P ∨ Q ? と言えます。 Q ∨ P.

P ∧ Q ? を証明できるのと同じです。 Q∧P.

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結合法則:

3 つのステートメントは結合法則を示すために使用されます。この法則によれば、∧(and) または ∨(or) という記号を使って 3 つのステートメントを結合すると、カッコの順序を変えても、結果として得られるステートメントは同じになります。つまり、この法律はグループ化や連合から独立しているということです。 3 つのステートメント P、Q、および R があるとします。P、Q、および R が偽の場合、これらのステートメントの命題は偽になります。他のすべてのケースでは、これは true になります。結合法則を示すために次の表記が使用されます。

 P ∨ (Q ∨ R) ? (P ∨ Q) ∨ R P ∧ (Q ∧ R) ? (P ∧ Q) ∧ R 

これらの表記法の真理値表は次のように説明されます。

この表の P ∨ (Q ∨ R) と (P ∨ Q) ∨ R の列には同じ真理値が含まれています。

したがって、P ∨ (Q ∨ R) ? と言えます。 (P ∨ Q) ∨ R。

P ∧ (Q ∧ R) を証明できるのと同じですか? (P ∧ Q) ∧ R

分配法則:

3 つのステートメントは分配法則を示すために使用されます。この法則によれば、∨(OR) 記号によるステートメントと、記号 ∧(AND) で結合された他の 2 つのステートメントを組み合わせた場合、結果として得られるステートメントは、たとえそれらのステートメントを別々に組み合わせたとしても同じになります。記号 ∨(OR) と、結合されたステートメントを ∧(AND) で組み合わせます。 3 つのステートメント P、Q、および R があるとします。分配法則を示すために次の表記が使用されます。

P ∨ (Q ∧ R) ? (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)

P ∧ (Q ∨ R) ? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)

これらの表記法の真理値表は次のように説明されます。

この表の P ∨ (Q ∧ R) と (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) の列には同じ真理値が含まれています。

したがって、P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) と言えます。

P ∧ (Q ∨ R) を証明できるのと同じですか? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)

アイデンティティ法:

単一のステートメントを使用してアイデンティティ法を示します。この法則によれば、ステートメントと True 値を記号 ∨(or) で結合すると、True 値が生成されます。ステートメントと False 値を記号 ∧(and) で組み合わせると、ステートメント自体が生成されます。同様に、反対のシンボルでもこれを行います。つまり、ステートメントと True 値を記号 ∧(and) で組み合わせるとステートメント自体が生成され、ステートメントと False 値を記号 ∨(or) で組み合わせるとステートメント自体が生成されます。偽の値。複合ステートメント P、真の値 T、および偽の値 F があるとします。恒等則を示すために次の表記が使用されます。

 P ∨ T ? T and P ∨ F ? P P ∧ T ? P and P ∧ F ? F 

これらの表記法の真理値表は次のように説明されます。

この表には、P ∨ T と T の列に同じ真理値が含まれています。したがって、P ∨ T = T と言えます。同様に、この表も P ∨ F と P の列に同じ真理値が含まれています。 P ∨ F = P と言えます。

P ∧ T を証明できるのと同じです ? P と P ∧ F ? F

補体の法則:

単一ステートメントは補完則で使用されます。この法則によれば、ステートメントとその補文を記号 ∨(or) で組み合わせると True の値が生成され、これらのステートメントを記号 ∧(and) で組み合わせると False の値が生成されます。価値。 true 値を否定すると false 値が生成され、false 値を否定すると true 値が生成されます。

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補数則を示すために次の表記が使用されます。

 P ∨ ¬P ? T and P ∧ ¬P ? F ¬T ? F and ¬F ? T 

これらの表記法の真理値表は次のように説明されます。

この表には、P ∨ зP と T の列に同じ真理値が含まれています。したがって、P ∨ зP = T と言えます。同様に、この表も P ∧ зP と T の列に同じ真理値が含まれています。 F. したがって、P ∧ ¬P = F と言えます。

この表には、 ``T と F の列に同じ真理値が含まれています。したがって、``T = F'' と言えます。同様に、この表には、``F と T の列には同じ真理値が含まれています。したがって、次のように言えます。 εF = T.

二重否定の法則またはインボリューションの法則

二重否定の法則を示すために 1 つのステートメントが使用されます。この法則によれば、否定されたステートメントの否定を行うと、結果として得られるステートメントはステートメントそのものになります。ステートメント P と否定ステートメント £P があるとします。二重否定の法則を示すために次の表記が使用されます。

 ¬(¬P) ? P 

これらの表記法の真理値表は次のように説明されます。

この表には、 ``(``P) と P の列に同じ真理値が含まれています。したがって、````(````P) = P であると言えます。

モルガンの法則より:

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2 つのステートメントは、ド モルガンの法則を示すために使用されます。この法則によれば、2 つのステートメントを記号 ∧(AND) で結合し、これらの結合したステートメントの否定を行うと、両方のステートメントの否定を記号 ∨(または）。 2 つの複合ステートメント P と Q があるとします。ド モルガンの法則を示すために次の表記が使用されます。

 ¬(P ∧ Q) ? ¬P ∨ ¬Q ¬(P ∨ Q) ? ¬P ∧ ¬Q 

これらの表記法の真理値表は次のように説明されます。

この表には、 ``(P ∧ Q) および ``P ∨ ``Q の列に同じ真理値が含まれています。したがって、 ``(P ∧ Q) = ``P ∨ ``Q と言えます。

を証明できるのと同じです。 �P ∧�Q

吸収の法則:

2 つのステートメントは、吸収則を示すために使用されます。この法則によれば、∨(OR) 記号でステートメント P を結合した場合、同じステートメント P ともう 1 つのステートメント Q を記号 ∧(AND) で結合すると、結果として得られるステートメントは最初のステートメント P になります。シンボルを交換しても同じ結果が生成されます。 2 つの複合ステートメント P と Q があるとします。吸収則を示すために次の表記が使用されます。

 P ∨ (P ∧ Q) ? P P ∧ (P ∨ Q) ? P 

これらの表記法の真理値表は次のように説明されます。

この表には、P ∨ (P ∧ Q) と P の列に同じ真理値が含まれています。したがって、P ∨ (P ∧ Q) ? と言えます。 P.

同様に、この表には P ∧ (P ∨ Q) と P の列にも同じ真理値が含まれています。したがって、P ∧ (P ∨ Q) ? と言えます。 P.

論理的等価性の例

論理的等価性にはさまざまな例があります。それらのいくつかは次のように説明されています。

例 1: この例では、ステートメントの等価性プロパティを確立します。これは次のように説明されます。

p → q ? εp ∨ q

解決：

これを真理値表を使って証明します。真理値表は次のように説明されます。

この表には、p → q と Šp ∨ q の列に同じ真理値が含まれています。したがって、 p → q ? と言えます。 εp∨q。

例 2: この例では、ステートメントの等価性プロパティを確立します。これは次のように説明されます。

P ↔ Q ? ( P → Q ) ∧ ( Q → P )

解決：

この表の P ↔ Q と (P → Q) ∧ (Q → P) の列には同じ真理値が含まれています。したがって、P ↔ Q ? と言えます。 (P → Q) ∧ (Q → P)。

例 3: この例では、同等のプロパティを使用して次のステートメントを証明します。

p ↔ q ? ( p ∧ q ) ∨ ( зp ∧ зq )

解決：

これを証明するために、上記の法則のいくつかを使用します。この法則から次のことがわかります。

p ↔ q ? (εp ∨ q) ∧ (εq ∨ p) ......(1)

ここで、上記の方程式で交換法則を使用すると、次の結果が得られます。

? (p ∨ q) ∧ (p ∨ зq)

ここで、この方程式に分配法則を使用すると、次の結果が得られます。

? (￣ p ∧ (p ∨ зq)) ∨ (q ∧ (p ∨ зq))

ここで、この方程式に分配法則を使用すると、次の結果が得られます。

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? (p ∧ p) ∨ (p ∧ зq) ∨ (q ∧ p) ∨ (q ∧ зq)

ここで、この方程式で補数の法則を使用すると、次の結果が得られます。

? F ∨ (￣p ∧ ￣q) ∨ (q ∧ p) ∨ F

ここで、アイデンティティ法を使用して、以下を取得します。

? (￣p∧￣q)∨(q∧p)

ここで、この方程式に交換法則を使用すると、次の結果が得られます。

? (p ∧ q) ∨ (￣p ￣q)

最終的に、式 (1) は次のようになります。

p ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (￣p ￣q)

最終的に、式 (1) は p ↔ q ? となると言えます。 (p ∧ q) ∨ (ε p ∧ зq)