対数ルールまたは対数ルールは、対数関数を含む複雑な定式化を単純化するために重要です。ログ ルールを使用すると、さまざまな数学的および科学的アプリケーションで対数の計算と操作が容易になります。これらすべてのログ ルールのうち、最も一般的な 3 つは、積ルール、商ルール、およびべき乗ルールです。これら以外にも、対数の規則が多数あります。これについては、この記事で詳しく説明します。この記事では、対数ルールの例を使用して、導関数と積分を含む対数のすべてのルールを詳しく説明します。それでは、対数のすべての規則について学び始めましょう。

目次

• ログルールとは何ですか?
• 対数の種類
• 対数規則のリスト
• ナチュラルログのルール
• 対数の応用
• 対数の積の法則
• 対数べき乗則
• 対数の商の法則
• ログルールの解決例
• ログルールに関する練習問題

ログルールとは何ですか?

数学における対数規則は、対数関数式の簡略化と操作に使用される規則と法則です。これらの原理は、指数形式と対数形式の間の関係を作成し、複雑な対数計算を処理する体系的な手法を提供します。

主なルールは次のとおりです。 製品ルール : これにより、対数内の積を個別の対数の合計に分割することができます。 商の法則 : これにより、対数内の商を対数の差に分けることができます。 パワールール: これにより、対数内から指数を抽出できるようになります。 基本ルールの切り替えまたは基本ルールの変更 : これにより、対数の底を変更できます。

これらの法則は多くの数学的および科学的応用において重要であり、対数は方程式を解き、指数関数的な増加をモデル化し、大量のデータを分析するための貴重なツールとなります。

対数の種類

通常、次の 2 種類の対数を扱います。

• 常用対数
• 自然対数

注記： 任意の実数を底とする対数が存在しますが、これら 2 つの対数、つまり常用対数と自然対数が最も一般的で標準的な対数です。

これらのタイプについて詳しく説明します。

常用対数

常用対数は、対数底 10 または単に対数として知られることが多く、特定の数値に到達するために、特定の数値を増加する必要がある指数を表す数学関数です。特定の数値を取得するために必要な 10 の累乗を計算します。

たとえば、ログ₁₀(100) は 2 です。10 の 2 乗は 100 に等しいためです。この場合、100 の常用対数は 2 であり、10 であることがわかります。²= 100。常用対数は、膨大な数の表現を簡素化し、10 の累乗を必要とする計算に役立つために、科学、工学、金融などの多くの分野で使用されています。

自然対数

自然対数は、底を「e」とする対数を表す数学関数です (オイラー数、約 2.71828)。これは指数関数の逆関数であり、数量が一定の係数で増加または減少するのに必要な時間を表します。

たとえば、ln (10) ≈ 2.30259 は、e に 2.30259 を掛けた値が 10 に等しいことを意味します。自然対数は、数学、物理学、金融などの多くの分野で、人口増加などの指数関数的な増加または衰退を示す現象を説明するために使用されます。放射性崩壊と複利計算。

対数則とは何ですか?

対数演算は、特定のルールに従って実行できます。これらのルールは次のように知られています。

• 製品ルール
• 商の法則
• ゼロルール
• アイデンティティルール
• べき乗則または指数則
• 基本ルールの変更
• 相互の法則

これらの一般的なルールの他に、次のような珍しいルールを使用することもできます。

• 対数の逆数特性
• ログの派生
• ログの統合

ログのプロダクトルール

積の法則によれば、積の対数はその要素の対数の合計です。

式： ログ_ある(XY) = ログ_あるX + ログ_あるそして

例： ログ₂(3 × 5) = 対数₂(3) +ログ₂(5)

対数の商の法則

商ルールは、商の対数が分子と分母の対数の差に等しいことを主張します。

式： ログ_ある(X/Y) = 対数_あるX – ログ_あるそして

例： ログ₃(9 / 3) = 対数₃(9) – ログ₃(3)

ログのゼロルール

ゼロの法則によれば、1 を底とする対数は常に 0 になります。

式： ログ_ある(1) = 0

例： ログ₄(1) = 0

ログの同一性ルール

恒等則によれば、底をそれ自体の対数は常に 1 です。

式： ログ_ある(a) = 1

例： ログ₇(7) = 1

相互の法則

対数の逆数の法則によれば、数値の逆数の対数 (1 をその数値で割ったもの) は、元の数値の対数の負の値に等しくなります。数学的表記では次のようになります。

式: ログ_ある(1/X) = – 対数_ある（バツ）

例： ログ_ある(1/2) = – 対数_ある(2)

対数のべき乗則または指数則

べき乗則によれば、指数に乗じた数値の対数は、指数に底の対数を掛けた値に等しくなります。

式： ログ_ある（バツⁿ) = n × log_あるバツ

例： ログ₅(9²) = 2 × 対数₅(9)

ログの基本ルールの変更

底ルールの変更により、常用対数 (通常は底 10 または底 e) を使用して、別の底の数値の対数を計算できるようになります。基本ルールの変更とも呼ばれます ベーススイッチルール。

式： ログ_ある(X) = logᵦ(X) / logᵦ(a)

例： ログ₃(7) = ログ₁₀(7) / ログ₁₀(3)

対数の逆数特性

対数逆特性は、べき乗された値の対数を計算すると元の指数が得られることを主張します。

式： ログ_ある(aⁿ) = n

例： log₄(4²) = 2

ログの派生

関数の自然対数の導関数は、関数の逆数に関数の導関数を乗算したものです。

式： d/dx [ln(f(x))] = f'(x) / f(x)

例： y = ln(x の場合²)、dy/dx = 2x / x²= 2/x

ログの統合

微分以外に対数の積分も計算できます。 Log 関数の積分は次のように与えられます。

式： ∫ln(x) dx = x · ln(x) – x + C = x · (ln(x) – 1) + C

ナチュラルログのルール

自然ログと共通ログはどちらも基数が異なるだけであるため、自然ログのルールはすでに説明した共通ログと同じです。唯一の違いは、自然対数ルールでは、log (底が 10 の一般的な対数の記号) の代わりに、ln (底が e の自然対数の記号) を使用することです。これらのルールは次のように言えます。

• ln (mn) = ln m + ln n
• ln (m/n) = ln m – ln n
• lnメートルⁿ= n ln m
• ln a = (log a) / (log e)
• ln e = 1
• ln1 = 0
• それは^lnx= x

対数の応用

ログの応用例をいくつか見てみましょう。

• 対数を利用して薬液の酸性、アルカリ性を計算します。
• リヒタースケールは地震の強さを計算するために使用されます。
• 騒音の量は、対数スケールのデシベル (dB) で測定されます。
• 対数は、比活性同位体の減衰、細菌の発生、集団内での伝染病の蔓延、死体の冷却などの指数関数的なプロセスを分析するために使用されます。
• ローンの返済期間を計算するには対数が使用されます。
• 対数は、微積分で難しい方程式を微分したり、曲線の下の面積を計算したりするために使用されます。

対数の積の法則

対数の積則によれば、2 つの項の乗算の対数は、それらの個々の項の対数を加算したものと同じになります。つまり、このルールはログとして表現されます。_b(分) = 対数_b(m) + 対数_b(n)。このルールを導き出してみましょう。

導出プロセス:

ログを仮定することから始めましょう_b(m) = x と対数_b(n) = y。両方を指数形式に変換すると、次のようになります。

ログ_b(m) = x は m = b を意味します^バツ… (1)

ログ_b(n) = y は n = b を意味します^そして… (2)

式 (1) と (2) を掛け合わせると、

mn = b^{バツ 。}b^そして

指数を乗算するためのルールを利用して、

mn = b^{x + y}

対数形式に変換し直すと、次のようになります。

ログ_b(mn) = x + y

x と y を元に戻すと、

ログ_b(分) = 対数_b(m) + 対数_b(n)

このようにして、対数の積則を導き出しました。このルールは、次のようなさまざまな方法で利用できます。

log(3a) = log 3 + log a log 10 = log(5×2) = log 5 + log 2 log3(ab) = log3 a + log3 b 対数の積則は log には適用されないことに注意することが重要です(m + n)。これを個別の対数に分割することはできません。この規則は厳密に積の対数 log(mn) に関係します。

対数べき乗則

対数べき乗則は、対数の引数をべき乗するときに、その指数を対数の前に移動できることを示しています。つまり、logb mn = n logb m となります。このルールの導出を調べてみましょう。

導出プロセス:

ログを仮定することから始めます_bmはxに等しい。これを指数形式に変換すると、次のようになります。

b^バツ= m

次に、両辺を n 乗すると、次のようになります。

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(b^バツ)ⁿ= mⁿ

指数乗則を適用すると、次の結果が得られます。

b^nx= mⁿ

対数形式に変換し直すと、次のようになります。

ログ_bメートルⁿ= nx

xをlogに置き換えると_bうーん、次の場所に到着します。

ログ_bメートルⁿ= n ログ_bメートル

これで対数べき乗則の導出は終了です。以下に、このルールがどのように適用されるかを示すいくつかの例を示します。

log 3z = z log 3 log y2 = 2 log y log3 yx = x log3 y

対数の商の法則

対数の商の法則によれば、2 つの数値間の除算の対数は、各数値の対数の減算になります。

具体的には、ルールは次のように述べています。_b(m/n) = 対数_bm – 対数_bn.このルールを導き出してみましょう。

導出プロセス:

ログを仮定します_bm は x と対数に等しい_bnはyに等しい。これらを指数形式で表現します。

ログ_bm = x は m = b を意味します^バツ… (1)

ログ_bn = y は n = b を意味します^そして… (2)

式 (1) を式 (2) で割ると、

m/n = b^バツ/b^そして

指数に商ルールを適用すると、

m/n = b^x–y

対数形式に戻すと、

ログ_b(m/n) = x – y

x と y を元に戻すと、

ログ_b(m/n) = 対数_bm – 対数_bn

したがって、対数の商規則を導き出しました。このルールは次のように利用できます。

log (y/3) = log y – log 3

log 25 = log (125/5) = log 125 – log 5

log7 (a/b) = log7 a – log7 b

商ルールは対数 (m – n) については何も意味しないことに注意することが重要です。

関連トピック：

• 逆対数テーブル
• ログ計算機
• ナチュラルログ
• ログテーブル

ログルールの解決例

例 1: ログを簡略化する ₂ (4×8)。

解決：

積ルールを使用して、積を対数の合計に分割します。

ログ₂(4 × 8) = 対数₂(4) +ログ₂(8) = 2 + 3 = 5。

例 2: ログを簡略化する ₄ (16/2)。

解決：

商ルールを使用して、商を対数の差に分割します。

ログ₄(16 / 2) = 対数₄(16) – ログ₄(2) = 2 – 0.5 = 1.5。

例 3: ログを簡略化する ₅ (25 ³ ）。

解決：

べき乗則を使用すると、指数を係数として求めることができます。

ログ₅(25³) = 3 × 対数₅(25) = 3 × 2 = 6。

例 4: ログの変換 ₃ (7) 基数 10 の式に変換します。

解決：

底切り替えルールを使用して、新しい底の対数で割ります。

ログ₃(7) = log₁₀(7) / log₁₀(3) ≈ 1.7712

例 5: ログの評価 ₇ (49) 基数 2 の基数ルールの変更を使用します。

解決：

ベース 2 でベース ルールの変更を使用する:

ログ₇(49) = ログ₂(49) / ログ₂(7) = 5 / 1.807 = 2.77 (約)

ログルールに関する練習問題

問題 1: 式を単純化します: log₂(4) +ログ₂(8)。

問題 2: 単純化: ログ₅(25) – ログ₅(5)。

問題 3: 式を単純化します: log₃(9²）。

問題 4: エクスプレスログ₄常用対数で表すと (25) となります。

問題 5: ログ ルールの使用を簡素化する: log₇(49) + 2 ログ₇(3)。

問題 6: x を求める: 対数₂(x) = 3。

問題 7: x を解く: 2^{3x – 1}= 8。

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ログルール – よくある質問

対数則とは何ですか?

対数ルールは、対数関数を使用して式を操作および簡略化するための推奨事項をまとめたものです。これらは、複雑な計算と、指数関数と対数の間の相互作用を処理する体系的な方法を提供します。

主要な対数規則はいくつありますか?

積ルール、商ルール、べき乗ルール、底切り替えルール、底変更ルールはすべて主要な対数ルールです。これらの原則により、対数表現の変更と計算が可能になります。

対数積の法則とは何ですか?

積の法則によれば、積の対数は個々の因子の対数の合計に等しくなります: logₐ(xy) = logₐx + logₐy。

2 種類の対数とは何ですか?

最も一般的に使用される対数タイプは次の 2 つです。

• 常用対数または底10の対数
• 自然対数または底 e 対数

拠点変更ログルールとは何ですか?

ログの基本ルールの変更に伴い、ログ_ある(b)=[ログ_c(b)]/[ログ_c(a)]、ここで、c は任意の正の実数です。

ログ0とは何ですか?

ゼロの対数は不明です。値を他の値で累乗して数値 0 を取得することはありません。

ログ1とは何ですか?

ゼロの法則により、1 を底とする対数は常に 0 になります。つまり、log_ある(1) = 0。

数値自体の底となる対数とは何ですか?

恒等則によれば、それ自身に対する底の対数は常に 1、つまり log_ある(a) = 1。

対数と指数の関係は何ですか?

対数と指数は逆演算です。対数は特定の数値に達するために必要な指数を示しますが、指数関数は底を指数に上げます。

対数の 7 原則とは何ですか?

対数の 7 つの規則には次のものが含まれます。

• 製品ルール
• 商の法則
• べき乗則
• 基本ルールの変更
• ゼロルール
• アイデンティティルール
• ネガティブルール

これらのルールは、対数式を簡略化するために使用されます。

対数指数ルールとは何ですか?

対数指数ルールでは、a の底 b を対数計算することが示されています。^バツa の x 倍の対数 b に等しい、つまり log_bある^バツ= x 対数_bａ．

一般的なログと自然なログの主な違いは何ですか?

一般対数と自然対数の主な違いは、一般対数は底 10 を使用するのに対し、自然対数は数学定数「e」を底として使用することです。

ログの微分ルールとは何ですか?

ログ関数の導関数ルールは次のとおりです: d/dx[log_b(x)] = 1 / (x ln(b))、ここで「b」は対数の底です。

ベーススイッチルールとは何ですか?

底切り替えルールに従って、公式 loga(X) = logb(X) / logb(a) を使用して、任意の対数の底を他の任意の底に変更できます。