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ニュートン・ラフソン法

ニュートン ラフソン法またはニュートン法は、方程式を数値的に解く強力な手法です。実数値関数の根の近似に最もよく使用されます。ニュートン・ラプソン法はアイザック・ニュートンとジョセフ・ラフソンによって開発されたため、ニュートン・ラプソン法と呼ばれています。

ニュートン ラフソン法では、初期推定値を繰り返し調整して、目的の根に向かって収束します。ただし、この方法は、高次の多項式または方程式の根を計算するのには効率的ではありませんが、低次の方程式の場合、この方法は非常に迅速に結果をもたらします。この記事では、ニュートン ラフソン法と、この方法を使用してルートを計算する手順について学びます。



目次

ニュートン・ラフソン法とは何ですか?

ニュートン法としても知られるニュートン・ラフソン法は、実数値関数の根を求めるために使用される反復数値法です。このフォーミュラは、サー アイザック ニュートンとジョセフ ラフソンが独自にその開発に貢献したことにちなんで名付けられました。ニュートン ラフソン法またはニュートン法は、最初の反復 (x) に推測を使用して、実数値関数のゼロの根を近似するアルゴリズムです。0) そして次の反復を近似します(x1) 次の式を使用して、根に近い値を計算します。

バツ 1 = x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )



どこ、

  • バツ 0 は x の初期値、
  • f(x 0 ) は初期値における方程式の値であり、
  • f'(x 0 ) 初期値 x における方程式または関数の一次導関数の値です。0.

注記： f'(x0) はゼロであってはなりません。そうでない場合、式の小数部分は無限大に変化します。これは、f(x) が定数関数であってはいけないことを意味します。

ニュートン・ラフソン法の公式

一般形式では、ニュートン・ラフソン法の式は次のように記述されます。



バツ n = x n-1 – f(x n-1 )/f'(x n-1 )

どこ、

  • バツ n-1 推定値 (n-1)番目関数のルート、
  • f(x n-1 ) (n-1) における方程式の値です。番目推定ルート、および
  • f'(x n-1 ) x における方程式または関数の一次導関数の値です。n-1。

ニュートン・ラフソン法の計算

方程式または関数の根が f(x) = 0 として計算されると仮定します。

Newton Raphson 法の有効性を証明するには、次の手順に従います。

ステップ1： 以下に示すように、x のさまざまな値に対する f(x) のグラフを描画します。

リナックスメイク

ニュートン・ラフソン法の計算

ステップ2： x で f(x) に接線が引かれます0。これが初期値です。

ステップ 3: この接線は、ある固定点 (x1,0) f(x) の 1 次導関数がゼロでない場合、つまり f'(x 0 )≠0。

ステップ 4: この方法は根の反復を前提としているため、この x1は根の次の近似であると考えられます。

ステップ5: 実際の根 x に到達するまで、ステップ 2 ～ 4 が繰り返されます。*。

これで、任意の直線の傾きと切片の方程式が y = mx + c として表されることがわかりました。

どこ メートル は線の傾きであり、 c は直線の x 切片です。

同じ式を使用すると、次のようになります。

y = f(x 0 ) + f'(x 0 ) (x − x 0 )

ここで f(x0) は c と f'(x0) は接線 m の傾きを表します。この方程式は x のすべての値に当てはまりますので、x にも当てはまります。1。したがって、x を x に置き換えます1根を計算する必要があるため、方程式をゼロにすると、次のようになります。

0 = f(x 0 ) + f'(x 0 ） （バツ 1 −× 0 )

バツ 1 = x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )

これがニュートン・ラフソン法の公式です。

したがって、ニュートン・ラフソンの方法は数学的に証明され、有効であることが認められました。

ニュートン・ラフソン法の収束

ニュートン・ラフソン法は、次の条件が当てはまる場合に収束する傾向があります。

|f(x).f(x)| <|f'(x)|2

これは、x での関数の値と x での関数の 2 次導関数の積の法が、x での関数の 1 次導関数の法の 2 乗より小さいときに、この方法が収束することを意味します。ニュートン・ラフソン法には次数 2 の収束があり、これは二次収束があることを意味します。

注記：

ニュートン ラフソンの方法は、関数の一次導関数が 0 (f'(x) = 0 を意味する) の場合は無効です。指定された関数が定数関数である場合にのみ可能です。

  • ニュートンの根を見つける方法
  • ニュートン・ラフソン法と通常のファルシ法との違い
  • 二分法とニュートン・ラフソン法の違い
  • ルート探索アルゴリズム

ニュートン・ラフソン法の例

実数値関数の根を見つけるプロセスについて詳しく学ぶために、次の例を考えてみましょう。

例：初期値xの場合 0 = 3、f(x)=x の根を近似します。 3 +3x+1。

解決：

与えられた場合、x0= 3 および f(x) = x3+3x+1

f'(x) = 3x2+3

f'(x0) = 3(9) + 3 = 30

f(x0) = f(3) = 27 + 3(3) + 1 = 37

ニュートン・ラフソン法を使用:

バツ1= x0– f(x0)/f'(x0)

= 3 – 37/30

= 1.767

ニュートン・ラフソン法の解決された問題点

問題 1: 初期値 x について 0 = 1、f(x)=x の根を近似します。 2 −5倍+1。

解決：

与えられた場合、x0= 1 および f(x) = x2-5x+1

f'(x) = 2x-5

f'(x0) = 2 – 5 = -3

f(x0) = f(1) = 1 – 5 + 1 = -3

ニュートン・ラフソン法を使用:

バツ1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ ×1= 1 – (-3)/-3

⇒ ×1= 1 -1

⇒ ×1= 0

問題 2: 初期値 x について 0 = 2、f(x)=x の根を近似します。 3 −6x+1。

解決：

与えられた場合、x0= 2 および f(x) = x3-6x+1

f'(x) = 3x2– 6

スプリング ブートの注釈

f'(x0) = 3(4) – 6 = 6

f(x0) = f(2) = 8 – 12 + 1 = -3

ニュートン・ラフソン法を使用:

バツ1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ ×1= 2 – (-3)/6

⇒ ×1= 2 + 1/2

⇒ ×1= 5/2 = 2.5

問題 3: 初期値 x について 0 = 3、f(x)=x の根を近似します。 2 −３．

解決：

与えられた場合、x0= 3 および f(x) = x2-3

f'(x) = 2x

f'(x0) = 6

f(x0) = f(3) = 9 – 3 = 6

ニュートン・ラフソン法を使用:

バツ1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ ×1= 3 – 6/6

gimpフォントリスト

⇒ ×1= 2

問題 4: 方程式 f(x) = x の根を求めます。 3 – 初期値が 2 の場合、3 = 0。

解決：

x が与えられた場合0= 2 および f(x) = x3- 3

f'(x) = 3x2

f'(x0= 2) = 3 × 4 = 12

f(x0) = 8 – 3 = 5

ニュートン・ラフソン法を使用:

バツ1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ ×1= 2 – 5/12

⇒ ×1= 1,583

ニュートン・ラフソン法を再度使用します。

バツ2= 1.4544

バツ3= 1.4424

バツ4= 1.4422

したがって、方程式の根はおよそ x = 1.442 となります。

問題 5: 方程式 f(x) = x の根を求めます。 3 – 初期値が 3 の場合、5x + 3 = 0。

解決：

x が与えられた場合0= 3 および f(x) = x3– 5x + 3 = 0

f'(x) = 3x2- 5

f'(x0= 3) = 3 × 9 – 5 = 22

f(x0= 3) = 27 – 15 + 3 = 15

ニュートン・ラフソン法を使用:

バツ1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ ×1= 3 – 15/22

Linuxでフォルダーの名前を変更する

⇒ ×1= 2.3181

ニュートン・ラフソン法を再度使用します。

バツ2= 1.9705

バツ3= 1.8504

バツ4= 1.8345

バツ5= 1.8342

したがって、方程式の根はおよそ x = 1.834 となります。

ニュートン・ラフソン法のよくある質問

Q1: ニュートン・ラフソン法を定義します。

答え：

ニュートン ラフソン法は、任意の実数値関数の根を近似する数値手法です。この方法では、さまざまな反復を使用して根を近似しました。反復回数が増えるほど、計算された根の値の誤差が少なくなります。

Q2: ニュートン・ラフソン法の利点は何ですか?

答え：

ニュートン ラフソン法には、次数の小さい方程式の根を非常に効率的かつ迅速に推測できるという利点があります。

Q3: ニュートン・ラフソン法の欠点は何ですか?

答え：

ニュートン ラフソン法の欠点は、多項式の次数が非常に大きくなると、非常に複雑になる傾向があることです。

Q4: ニュートン・ラフソン法の実生活への応用について述べてください。

答え：

ニュートン ラフソン法は、実際の配水ネットワークにおける水の流れを解析するために使用されます。

Q5: ニュートン・ラフソン法はどの理論に基づいていますか?

答え：

ニュートン ラフソン法は、微積分と曲線の接線の理論に基づいています。