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パスカルの三角形

パスカルの三角形 三角形の形に配置された数字パターンです。この三角形は、三角形を形成する方法で編成された数値を使用して、任意の二項式の展開の係数を提供します。つまり、パスカルの三角形の 2 行目は (x+y) の係数を表します。2等々。

パスカルの三角形では、各数値は上記の 2 つの数値の合計です。パスカルの三角形は、確率論、組合せ論、代数学、その他の数学のさまざまな分野でさまざまな用途があります。



についてもっと学びましょう パスカルの三角形、その構造、およびパスカルの三角形のさまざまなパターンについては、この記事で詳しく説明します。

目次

パスカルの三角形とは何ですか?

この名前は、1 から始まり、下の数字は上記の数字の合計であるパターンを開発した有名な哲学者で数学者のバリーズ「パスカル」にちなんで名付けられました。まず、数字の 1 を書き留めて、パスカルの三角形を作り始めます。 2 行目にも 2 つの 1 が書き込まれます。前の行を使用して他の行が生成され、三角形の数字が作成されます。各行は 1 で始まり 1 で終わります。



パスカルの三角形の基本構造は、以下に追加された画像に示されています。

パスカルの三角形とは何ですか?

パスカルの三角形を、パスカルの三角形の各要素がその上の 2 つの数値の合計となるように三角形の配列に配置された基本的な数値セットとして定義します。パスカルの三角形は 1 から始まり、これは有名なフランスの数学者バリーズ パスカルによって最初に提案されたため、パスカルの三角形と名付けられました。

この三角形は、さまざまなべき乗の二項展開の係数を表します。 (二項展開の累乗が自然数のみであることを確認する必要があるため、パスカルの三角形のみが二項展開の係数を表します)。



パスカルの三角形の定義

パスカルの三角形は、各数値がそのすぐ上の 2 つの数値の合計である三角形の数値配列です。

パスカルの三角形の構造

上の行の 2 つの数値を加算して、下の行の次の数値を取得するだけで、Pad=scal の三角形を簡単に作成できます。 0 行目は 1 つの要素 1 で始まり、2 行目の要素は 1+0 と 1+0 を加算して形成される 1 1 であると仮定できます。同様に、２行目の要素は、１＋０、１＋１、１＋０の加算により１ ２ １ ２ｈとなり、３行目の要素が得られる。この概念を n 行目に拡張すると、n+1 行のパスカルの三角形が得られます。

パスカルの三角形の 3 行目までを下の画像に示します。

上の図から、各行の最初と最後の要素が 1 であることが簡単にわかります。

パスカルの三角形の公式

パスカル三角公式は、m 列目、n 行目に入力される数値を求めるために使用される公式です。ご存知のとおり、パスカルの三角形の項は上の行の項の合計です。したがって、m 番目の列と n 行目に必要な数を取得するには、(n-1) 番目の行、(m-1) 番目と n 番目の列の要素が必要です。

詳細を読む: パスカルの三角形の公式

パスカルの三角形の n 行目の要素は次のように与えられます。nC0、nC1、nC2、…、nCn。

パスカルの三角形の数値を求める公式は次のとおりです。

n センチメートル = n-1 C m-1 + n-1 C メートル

どこ、

  • n C メートル は、n 行目の (m+1) 番目の要素を表します。
  • n は負ではない整数 [0 ≤ m ≤ n]

この式は、以下で説明する例を使用して理解できます。

例: パスカルの三角形の 3 行目の 3 番目の要素を見つけます。

解決：

パスカルの三角形の 3 行目の 3 番目の要素を見つけなければなりません。

パスカルの三角公式は、

nCk=n-1Ck-1+n-1Ck

どこnCk(k+1) を表す番目n の要素番目行。

したがって、3 行目の 3 番目の要素は、

3C2=2C1+2C2

⇒3C2= 2 + 1

⇒3C2= 3

したがって、パスカルの三角形の 3 行目の 3 番目の要素は 3 になります。

パスカルの三角形二項展開

の係数を簡単に見つけることができます。 二項展開 パスカルの三角形を使用します。パスカル三角形の (n+1) 行目の要素は、多項式 (x + y) の展開式の係数を表します。n。

(x + y) の展開はわかっています。nは、

(x + y)n= a0バツn+a1バツn-1そして+2バツn-2そして2+ … + an-1xyn-1+anそしてn

ここで0、1、2、3、…、nパスカルの三角形の (n+1) 行目の項です

たとえば、(x+y) の展開を参照してください。4

(x + y)4=4C0バツ4+4C1バツ3そして+4C2バツ2そして2+4C3xy3+4C4バツ0そして4

⇒ (x + y)4= (1)x4+(4)x3y + (6)x2そして2+(4)xy3+(1)y4

ここで、係数 1、4、6、4、1 は、パスカルの三角形の 4 行目の要素です。

パスカルの三角形の使い方

パスカルの三角形を使用して、確率条件で考えられる結果のさまざまなケースを見つけます。これは、次の例で理解できます。コインを 1 回投げると、H と T という 2 つの結果が得られます。これは、パスカルの三角形の最初の行の要素で表されます。

同様にコインを 2 回投げると、{H, H}、{H, T}、{T, H}、および {T, T} という 3 つの結果が得られます。この条件は、パスカルの三角形の 2 行目の要素で表されます。

したがって、パスカルの三角形のそれぞれの要素を観察するだけで、コインを投げる実験で考えられる結果の数を簡単に知ることができます。

以下の表は、コインを 1 回、2 回、3 回、4 回投げた場合のケースと、パスカルの三角形との一致を示しています。

トス数
または
パスカルの三角形の列

考えられる結果

パスカル三角形の要素

1

{H}、

{T}

十一

2

{HH}、

{HT}、{TH}、

{TT}

1 2 1

3

{ハッハッ}、

{HHT}、{HTH}、{THH}

{HTT}、{THT}、{TTH}、

{TT}

1 3 3 1

4

{ハッハッハッ}、

{HHHT}、{HHTH}、{HTHH}、{THHH}、

{HHTT}、{HTHT}、{HTTH}、{THHT}、{THTH}、{TTHH}、

{HTTP}、{THTT}、{TTHT}、{TTTH}、

{TTTT}

1 4 6 4 1

パスカルの三角形パターン

パスカルの三角形には次のようなさまざまなパターンが観察されます。

  • 行の追加
  • 三角形の素数
  • パスカルの三角形の対角線
  • フィボナッチパターン

行の追加

パスカルの三角形を詳​​しく観察すると、パスカルの三角形の任意の行の合計は 2 の累乗に等しいと結論付けることができます。同じことを表す式は、任意の (n+1) について次のようになります。番目パスカルの三角形の行すべての要素の合計は 2 ですn

この式をパスカルの三角形の最初の 4 行に適用すると、次のようになります。

1 = 1 = 20

JavaScriptのコメント

1 + 1 = 2 = 21

1 + 2 + 1 = 4 = 22

1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23

パスカルの三角形の素数

パスカルの三角形のもう 1 つの非常に興味深いパターンは、行が素数で始まる場合 (各行の先頭の 1 を無視する)、その行のすべての要素がその素数で割り切れることです。このパターンは合成数には当てはまりません。

たとえば、パスカルの三角形の 8 行目は次のようになります。

1 7 21 35 35 21 7 1

ここで、すべての要素は 7 で割り切れます。

5行目などの合成数で始まる行の場合、

1 4 6 4 1

4 は 6 を除算しないため、このパターンは当てはまりません。

パスカルの三角形の対角線

パスカルの三角形の各右方向の対角線は、シーケンスとして異なる数を表します。たとえば、最初の右方向の対角線は一連の数字 1 を表し、2 番目の右方向の対角線は三角数を表し、3 番目の右方向の対角線は四面体の数を表し、4 番目の右方向の対角線は四面体数を表します。はペネロペの数字などを表します。

パスカルの三角形のフィボナッチ数列

フィボナッチ数列は、パスカルの三角形の対角の数値を加算するだけで簡単に取得できます。このパターンは、以下に追加された画像に示されています。

パスカルの三角形の性質

パスカルの三角形のさまざまな性質は、

  • パスカルの三角形内のすべての数値は、その上の数値の合計です。
  • パスカルの三角形の開始番号と終了番号は常に 1 です。
  • パスカルの三角形の最初の対角線は、自然数または数え数を表します。
  • パスカルの三角形の各行の要素の合計は、2 のべき乗を使用して求められます。
  • 各行の要素は 11 のべき乗の桁です。
  • パスカルの三角形は対称な三角形です。
  • パスカルの三角形の任意の行の要素を使用して、二項展開の係数を表すことができます。
  • パスカルの三角形の対角に沿って、フィボナッチ数列を観察します。
  • 二項定理
  • 二項確率変数と二項分布

パスカルの三角形の例

例 1: を見つける パスカルの三角形の 5 行目。

解決：

下の画像は 5 行のパスカル三角形を示しています。

例 2: Pascal Triangle (a + b) を使用した展開 2 。

解決：

まず、係数を付けずに一般的な式を記述します。

(a + b)2=c0ある2b0+c1ある1b1+c2ある0b2

次に、係数を見つけるために 3 行のパスカルの三角形を作成しましょう。

最後の行の値から係数の値が得られます。

c0= 1、c1= 2、c2=1

(a + b)2= a2b0+2a1b1+a0b2

こうして検証されました。

例 3: Pascal Triangle (a + b) を使用した展開 6 。

解決：

まず、係数を付けずに一般的な式を記述します。

(a + b)6= c0ある6b0+c1ある5b1+c2ある4b2+c3ある3b3+c4ある2b4+c5ある1b5+c6ある0b6

次に、係数を見つけるために 7 行のパスカルの三角形を作成しましょう。

最後の行の値から係数の値が得られます。

c0= 1、c1= 6、c2= 15、c3= 20、c4=15、c5= 6 と c6= 1。

(a + b)6= 1a6b0+6a5b1+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6a1b5+1a0b6

例 4: パスカルの三角形の 3 行目の 2 番目の要素を見つけます。

解決：

パスカルの三角形の 3 行目の 2 番目の要素を見つけなければなりません。

パスカルの三角形の n 行目は次のとおりであることがわかっています。nC0、nC1、nC2、nC3…

パスカルの三角形の公式は、

nCk=n-1Ck-1+n-1Ck

どこnCk(k+1) を表す番目n の要素番目行。

したがって、3 行目の 2 番目の要素は、

3C1=2C0+2C1

= 1 + 2

= 3

したがって、パスカルの三角形の 3 行目の 2 番目の要素は 3 になります。

例 5: コインを 4 回投げ、ちょうど 2 枚の裏が出る確率を求めます。

解決：

パスカルの三角形公式を使用すると、

結果の合計数 = 24= 16 (1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16)

ここでは 2 つの尾を取得する 4 つのケースが得られます。

したがって、

尾が 2 つになる確率 = 有利な結果 / 合計結果

= 4/16 = 1/4

したがって、ちょうど 2 つの尾が得られる確率は 1/4、つまり 25% です。

要約 – パスカルの三角形

パスカルの三角形は、各数値がそのすぐ上の 2 つの数値の合計である、数値の三角形の配置です。数学者ブレーズ パスカルにちなんで名付けられたこの三角形は、上部の 1 つの 1 で始まり、各行は 1 で始まり 1 で終わります。パスカルの三角形の数字は二項展開の係数に対応しており、代数学、確率、数学で役立ちます。組み合わせ論。三角形内のパターンには、2 のべき乗である行の合計、フィボナッチ数列への接続、および素数の存在が含まれます。パスカルの三角形は、組み合わせを計算し、コイン投げなどの確率実験の結果を理解するのにも役立ちます。

パスカルの三角形に関するよくある質問

パスカルの三角形とは何ですか?

有名な数学者バリーズ・パスカルによって提案された三角形の数の配列は、パスカルの三角形と呼ばれます。この三角形は 1 で始まり、次の行では開始番号と終了番号が 1 に固定され、上の 2 つの数値の合計を取ることで中間の数値が生成されます。

パスカルの三角形の用途は何ですか?

パスカルの三角形にはさまざまな用途がありますが、

  • これは、二項展開の二項係数を見つけるために使用されます。
  • これは、二項項を拡張するための代替方法を提供します。
  • 代数、確率論、順列と組み合わせ、その他の数学分野で使用されます。

二項展開におけるパスカルの三角形の使用法は何ですか?

パスカルの三角形を使用して、二項展開の項の係数を簡単に見つけます。パスカルの三角形の任意の行 (たとえば n 番目) は、(x+y) の二項展開の係数を表します。n。たとえば、パスカルの三角形の 2 行目は、1 2 1 と (x+y) の展開です。2

(x+y)2= x2+ 2xy + y2

ここで、各項の係数は 1 2 1 で、パスカルの三角形の 2 行目に似ています。

パスカルの三角形に見られるさまざまなパターンとは何ですか?

パスカルの三角形で簡単に見つけられるさまざまなパターンは次のとおりです。

  • 三角模様
  • 奇数と偶数のパターン
  • フィボナッチパターン
  • 対称パターン

5は何ですか番目パスカルの三角形の列？

パスカルの三角形の 5 行目は以下のように表されます。

1 5 10 10 5 1

任意の行のすべての要素の合計は 2 を使用して与えられることがわかります。nここで、n は行数を表します。したがって、5 行目のすべての項の合計は次のようになります。

25= 32

パスカルの三角形の各行の最初の要素は何ですか?

パスカルの三角形の各行の最初の要素は 1 です。この項を行の 0 番目の項と呼びます。