順列と組み合わせは数学の最も基本的な概念であり、これらの概念により、数学の新しい分野、つまり組み合わせ論が生徒に紹介されます。順列と組み合わせは、オブジェクトを特定の順序で選択し、そのサブセットを形成することにより、オブジェクトのグループを配置する方法です。
ギガバイトとメガバイト
データのグループを特定の順序で配置するには、順列と組み合わせの式が使用されます。特定のグループからデータまたはオブジェクトを選択することを順列といい、一方、データまたはオブジェクトを並べる順序を組み合わせといいます。
順列と組み合わせ
この記事では、順列と組み合わせの概念とその公式を学び、これらを使用して多くのサンプル問題を解決します。
目次
順列の意味
順列とは、指定された数のコンポーネントを 1 つずつ、または一部、またはすべてを一度に保持することを個別に解釈することです。たとえば、2 つのコンポーネント A と B がある場合、AB と BA という 2 つのパフォーマンスが考えられます。
合計 n 個の成分のうち r 個の成分が配置されるときの順列の数は、 n P r 。たとえば、n = 3 (A、B、および C)、r = 2 (サイズ 2 のすべての順列) とします。それから、 3 P 2 これら 6 つの順列は、AB、AC、BA、BC、CA、および CB です。一度に 3 つずつ取得された A、B、および C の 6 つの順列が、以下に追加された画像に示されています。
順列の意味
順列の公式
順列の公式 選択方法の数を見つけるために使用されます r 出たもの n 異なるものを特定の順序で並べ替えることは許可されておらず、次のように指定されます。
順列の公式
順列公式の説明
ご存知のとおり、順列は n 個のうちの r 個の要素を並べたもので、配列の順序が重要です (AB と BA は 2 つの異なる順列です)。 3 つの異なる数字 1、2、3 があり、誰かが 2 の数字を並べ替えようとすると、(1, 2)、(1, 3)、(2, 1)、(2, 3) と表示されます。 )、(3, 1)、および (3, 2)。つまり、6 つの方法で実現できます。
ここで、(1, 2) と (2, 1) は別のものです。繰り返しますが、これら 3 つの数字を一度に処理すると、解釈は (1, 2, 3)、(1, 3, 2)、(2, 1, 3)、(2, 3, 1) になります。 )、(3、1、2)、(3、2、1)、つまり 6 つの方法です。
一般に、r を使用して n 個の異なるものを設定できます (r
したがって、一度に r を運ぶ n 個の異なるものの順列の全体数は、n(n – 1)(n – 2)…[n – (r – 1)] となり、次のように書かれます。nPr。あるいは、言い換えれば、
組み合わせの意味
これは、一度に 1 つずつ、または一部、またはすべてを運ぶ、共有された数のコンポーネントの個別のセクションです。たとえば、2 つのコンポーネント A と B がある場合、2 つのものを選択するには、両方を選択する 1 つの方法しかありません。
たとえば、n = 3 (A、B、および C)、r = 2 (サイズ 2 のすべての組み合わせ) とします。それから、 3 C 2 これら 3 つの組み合わせは、AB、AC、および BC です。
ここで、 組み合わせ A、B、C の 3 つの文字のうちの任意の 2 文字を以下に示します。AB と BA は同じ組み合わせを表すため、組み合わせでは A と B の順序は重要ではないことがわかります。
組み合わせの意味
注記： 同じ例では、順列と組み合わせのための個別のポイントがあります。なぜなら、AB と BA は 2 つの異なる項目、つまり 2 つの異なる順列ですが、選択の場合、AB と BA は同じ、つまり同じ組み合わせです。
配合処方
組み合わせ式は、合計「n」個のコンポーネントから「r」個のコンポーネントを選択するために使用され、次の式で求められます。
配合処方
r と (n-r) に上記の式を使用すると、同じ結果が得られます。したがって、
old{{}^nC_r = {}^nC_{(n-r)}}
配合計算式の説明
一方、コンビネーションはパックの一種です。繰り返しますが、これら 3 つの数字 1、2、および 3 のうち、2 つの数字でセットが作成される場合、その組み合わせは (1, 2)、(1, 3)、および (2, 3) になります。
ここで、(1, 2) と (2, 1) は同一であり、それらが異なる順列とは異なります。これは次のように書かれています3C2。一般に、一度に取得される n 個の異なるものの組み合わせの数は、次のようになります。
old{{}^nC_r = frac{n!}{r! imes(n-r)!} = frac{{}^nP_r}{r!}}
順列と組み合わせの公式の導出
これらの数式は同じものを表すため、基本的な数え方を使用してこれらの順列と組み合わせの数式を導き出すことができます。これらの式の導出は次のとおりです。
順列の公式の導出
順列とは、n 個のオブジェクトから r 個の異なるオブジェクトを置換せずに選択することであり、選択の順序が重要である場合、カウントの基本定理と順列の定義により、次のようになります。
P (n, r) = n 。 (n-1) 。 (n-2) 。 (n-3)。 。 。 。 .(n-(r+1))
上記の (n-r) の乗算と除算によって! = (n-r).(n-r-1).(n-r-2)。 。 。 。 .3。 2.1、わかります
P (n, r) = [n.(n−1).(n−2)….(nr+1)[(n−r)(n−r−1)(n-r)!] / (n-r) ！
⇒ P (n, r) = n!/(n−r)!
したがって、P (n, r) の式が導出されます。
組み合わせ公式の導出
組み合わせとは、選択順序が重要でない場合に、n 個の項目から r 個の項目を選択することです。その式は次のように計算されます。
C(n, r) = 順列の合計数 / r 個の異なるオブジェクトを配置する方法の数。
[数え方の基本定理により、r 個の異なるオブジェクトを r 通りに配置する方法の数 = r! がわかっています。]C(n,r) = P(n,r)/r!
⇒ C(n,r) = n!/(n−r)!r!
したがって、組み合わせの公式、つまり C(n, r) が導出されます。
順列と組み合わせの違い
順列と組み合わせの違い 次の表で理解できます。
順列 | 組み合わせ |
|---|---|
| Permutation では配置順序が重要です。 たとえば、AB と BA は異なる組み合わせです。 | 組み合わせでは、配置順序は重要ではありません。 たとえば、AB と BA は同じ組み合わせです。 |
| 順列は、異なる種類のものを使用する場合に使用されます。 並べ替えたり整理したりする必要があります。 | 組み合わせは同じ種類のものを扱う場合に使用されます。 整理される。 |
| 与えられた 3 つのもののうちの 2 つのものの順列 a、b、c は、ab、ba、bc、cb、ac、ca です。 | 与えられた3つのもののうちの2つのものの組み合わせ a、b、c は ab、bc、ca です。 |
| 順列の公式は次のとおりです。 n P r = n!/(n – r)! | 組み合わせの公式は次のとおりです。 n C r =ん！ /{r! × (n – r)!} |
こちらもチェックして、
- 二項定理
- 二項展開
- 二項確率変数
- 計数の基本定理
順列と組み合わせに関する解決例
例 1: n = 9 と r = 3 の順列と組み合わせの数を求める 。
解決：
n = 9、r = 3 の場合
上記の式を使用すると、次のようになります。
順列の場合:
nPr= (n!) / (n – r)!
⇒nPr= (9!) / (9 – 3)!
⇒nPr= 9! /6！ = (9 × 8 × 7 × 6! )/6!
⇒ n P r = 504
エフムービーズ組み合わせの場合:
nCr= n!/r!(n − r)!
⇒nCr= 9!/3!(9 − 3)!
⇒nCr= 9!/3!(6)!
⇒nCr= 9 × 8 × 7 × 6!/3!(6)!
⇒ n C r = 84
例 2: 男性 4 名、女性 2 名からなる委員会を男性 6 名、女性 5 名から選ぶ方法は何通りありますか?
解決：
6人の中から4人を選ぶ＝6C4方法 = 15 方法
5人の女性の中から2人を選ぶ＝5C2方法 = 10 方法
フレームtkinter委員会は次の方法で選ぶことができます6C4×5C2= 150 通り。
例 3: 5 つの異なる本を棚に配置する方法は何通りありますか?
解決：
本の順序が重要であるため、これは並べ替えの問題です。
順列公式を使用すると、次のようになります。
5P5= 5! / (5 – 5)! = 5! /0! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
したがって、5 つの異なる本を棚に配置する方法は 120 通りあります。
例 4: FABLE という単語の文字を使用して、3 文字の単語は何個できますか?
解決：
文字の順序が重要であるため、これは順列の問題です。
順列公式を使用すると、次のようになります。
5P3= 5! / (5 – 3)! = 5! /2! = 5 × 4 × 3 = 60
したがって、FABLE という単語の文字を使用して形成できる 3 文字の単語は 60 個あります。
例 5: 10 人のグループから 5 人のメンバーからなる委員会が形成されます。これを実現できる方法は何通りありますか?
解決：
メンバーの順序は重要ではないため、これは組み合わせの問題です。
組み合わせ式を使用すると、次のようになります。
10C5= 10! / (5! x (10 – 5)!) = 10! / (5! × 5!)
⇒10C5= (10 x 9 x 8 x 7 x 6) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 252
したがって、10 人のグループから 5 人のメンバーからなる委員会を構成する方法は 252 通りあります。
例 6: ピザ レストランでは、ピザに 4 つの異なるトッピングを提供しています。顧客がトッピングを 2 つだけ乗せたピザを注文したい場合、それを行う方法は何通りありますか?
解決：
トッピングの順序は関係ないので、これは組み合わせの問題です。
組み合わせ式を使用すると、次のようになります。
4C2= 4! / (2! x (4 – 2)!) = 4! / (2! x 2!) = (4 x 3) / (2 x 1) = 6
したがって、4 つの異なるトッピングからちょうど 2 つのトッピングを含むピザを注文する方法は 6 つあります。
例 7: 「LOVE」という用語の 2 文字を使用すると、どれくらい重要な単語を作成できますか?
解決：
「LOVE」という用語には 4 つの異なる文字があります。
したがって、必要な単語数 =4P2= 4! / (4 – 2)!
必要な単語数 = 4! /2! = 24 / 2
⇒ 必要語数＝12語
例 8: 子音 5 個、母音 3 個のうち、子音 3 個、母音 2 個の単語は何個できますか?
解決：
隠れたアプリを表示する
5 つの子音から 3 つの子音を選択する方法の数 =5C3
3 つの母音から 2 つの母音を選択する方法の数 =3C2
2 つの子音から 3 つの子音、3 つの母音から 2 つの母音を選択する方法の数 =5C3×3C2
⇒ 必要数＝10×3
= 30
これは、各グループに合計 5 つの文字 (子音 3 つと母音 2 つ) が含まれるグループを 30 個作成できることを意味します。
5文字同士の並べ方の数
= 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
したがって、必要なウェイ数 = 30 × 120
⇒ 必要ウェイ数＝3600
例 9: 5 つのアイテムがあり、4 つを選択した場合、異なる組み合わせは何通りありますか?
解決：
与えられた数値を組み合わせ方程式に代入して解きます。 n はセット内の項目の数 (この例では 5) です。 r は選択する項目の数です (この例では 4)。
C(n, r) = n! /r! (n – r)!
⇒nCr= 5! /4! (5 – 4)!
⇒nCr= (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (4 × 3 × 2 × 1 × 1)
⇒nCr= 120/24
⇒nCr= 5
解決策は5です。
例 10: 6 つの子音と 3 つの母音のうち、表現はいくつあるか 子音2個と母音1個は作成できますか？
解決：
6 つの子音から 2 つの子音を選択する方法の数 =6C2
3 つの母音から 1 つの母音を選択する方法の数 =3C1
子音を 7 つから 3 つ、母音を 4 つから 2 つ選択する方法の数。
⇒ 必要な方法 =6C2×3C1
⇒ 必要なウェイ数 = 15 × 3
⇒ 必要な方法= 45
これは、各グループに合計 3 文字 (子音 2 文字と母音 1 文字) が含まれるグループを 45 個持つことができることを意味します。
3 つの文字を並べる方法の数 = 3! = 3 × 2 × 1
⇒ 3文字の並べ方＝6通り
したがって、必要なウェイ数 = 45 × 6
⇒ 必要なウェイ数 = 270
例 11: 個別のフォームの数 「PHONE」という用語の母音を一貫して配置できるように文字を整理できますか 一緒に来ますか？
解決：
「PHONE」という単語は5文字です。母音「O」、「E」が含まれており、これら 2 つの母音は一貫して結合する必要があります。したがって、これら 2 つの母音をグループ化して 1 つの文字として見ることができます。つまり、PHN(OE)です。
したがって、合計文字数は 4 のようになり、これらの文字はすべて個別になります。
これらの文字を整理する方法の数 = 4! = 4 × 3 × 2 × 1
⇒ 必要な文字の配置方法 = 24
2 つの母音 (OE) はすべて異なります。
私のコンピュータ画面の寸法はどれくらいですかこれらの母音を相互に配置する方法の数 = 2! = 2 × 1
⇒ 必要な母音の並べ方 = 2
したがって、必要なウェイ数 = 24 × 2
⇒ 必要な方法 = 48。
順列と組み合わせに関するよくある質問
階乗式とは何ですか?
順列と組み合わせの計算には階乗公式が使用されます。 n の階乗式!として与えられます
ん！ = n × (n-1) × 。 。 。 ×4×3×2×1
たとえば、3! = 3 × 2 × 1 = 6 と 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120。
どういうことですか n C r 代表する？
nCrから作ることができる組み合わせの数を表します n オブジェクトを取る r 一度に。
順列と組み合わせとは何を意味しますか?
順列とは、物事を特定の順序で配置する行為です。組み合わせは選択方法です r ～のグループからのオブジェクト n オブジェクトの選択。選択したオブジェクトの順序は全体の組み合わせには影響しません。
順列と組み合わせの例を書きます。
「HELLO」という単語の文字を使用して形成できる 3 文字の単語の数。5P3= 5!/(5-3)!これは順列の例です。
「HELLO」という単語の母音を使用して単語を書くことができる組み合わせの数。5C2=5!/[2! (5-2)!】の組み合わせ例です。
順列と組み合わせを見つけるための式を書きます。
- 順列を計算する式: n Pr = n!/(n-r)!
- 組み合わせを計算する式: n Cr = n!/[r! (n-r)!]
順列と組み合わせの実例をいくつか書きます。
人物、数字、文字、色の並べ替えは、並べ替えの例です。
メニュー、服装、被写体の選択は組み合わせの一例です。
0の値は何ですか!?
値は0です！ = 1 は、順列と組み合わせの問題を解決するのに非常に役立ちます。