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クイックソート

分割統治型のアルゴリズムです。

分ける： 要素を再配置し、配列を 2 つのサブ配列とその間の要素に分割し、左側のサブ配列の各要素が平均要素以下であり、右側のサブ配列の各要素が中央の要素より大きいことを検索します。

征服する: 2 つの部分配列を再帰的に並べ替えます。

組み合わせる： すでにソート済みの配列を結合します。

アルゴリズム：

 QUICKSORT (array A, int m, int n) 1 if (n > m) 2 then 3 i ← a random index from [m,n] 4 swap A [i] with A[m] 5 o ← PARTITION (A, m, n) 6 QUICKSORT (A, m, o - 1) 7 QUICKSORT (A, o + 1, n)

パーティションアルゴリズム:

パーティション アルゴリズムは、サブ配列を同じ場所に再配置します。

 PARTITION (array A, int m, int n) 1 x &#x2190; A[m] 2 o &#x2190; m 3 for p &#x2190; m + 1 to n 4 do if (A[p] <x) 1 5 6 7 8 then o &larr; + swap a[o] with a[p] a[m] return < pre> <p> <strong>Figure: shows the execution trace partition algorithm</strong> </p> <img src="//techcodeview.com/img/daa-tutorial/50/quick-sort.webp" alt="DAA Quick sort"> <h3>Example of Quick Sort: </h3> <pre> 44 33 11 55 77 90 40 60 99 22 88 </pre> <p>Let <strong>44</strong> be the <strong>Pivot</strong> element and scanning done from right to left</p> <p>Comparing <strong>44</strong> to the right-side elements, and if right-side elements are <strong>smaller</strong> than <strong>44</strong> , then swap it. As <strong>22</strong> is smaller than <strong>44</strong> so swap them.</p> <pre> <strong>22</strong> 33 11 55 77 90 40 60 99 <strong>44</strong> 88 </pre> <p>Now comparing <strong>44</strong> to the left side element and the element must be <strong>greater</strong> than 44 then swap them. As <strong>55</strong> are greater than <strong>44</strong> so swap them.</p> <pre> 22 33 11 <strong>44</strong> 77 90 40 60 99 <strong>55</strong> 88 </pre> <p>Recursively, repeating steps 1 &amp; steps 2 until we get two lists one left from pivot element <strong>44</strong> &amp; one right from pivot element.</p> <pre> 22 33 11 <strong>40</strong> 77 90 <strong>44</strong> 60 99 55 88 </pre> <p> <strong>Swap with 77:</strong> </p> <pre> 22 33 11 40 <strong>44</strong> 90 <strong>77</strong> 60 99 55 88 </pre> <p>Now, the element on the right side and left side are greater than and smaller than <strong>44</strong> respectively.</p> <p> <strong>Now we get two sorted lists:</strong> </p> <img src="//techcodeview.com/img/daa-tutorial/50/quick-sort-2.webp" alt="DAA Quick sort"> <p>And these sublists are sorted under the same process as above done.</p> <p>These two sorted sublists side by side.</p> <img src="//techcodeview.com/img/daa-tutorial/50/quick-sort-3.webp" alt="DAA Quick sort"> <br> <img src="//techcodeview.com/img/daa-tutorial/50/quick-sort-4.webp" alt="DAA Quick sort"> <h3>Merging Sublists:</h3> <img src="//techcodeview.com/img/daa-tutorial/50/quick-sort-5.webp" alt="DAA Quick sort"> <p> <strong> SORTED LISTS</strong> </p> <p> <strong>Worst Case Analysis:</strong> It is the case when items are already in sorted form and we try to sort them again. This will takes lots of time and space.</p> <h3>Equation:</h3> <pre> T (n) =T(1)+T(n-1)+n </pre> <p> <strong>T (1)</strong> is time taken by pivot element.</p> <p> <strong>T (n-1)</strong> is time taken by remaining element except for pivot element.</p> <p> <strong>N:</strong> the number of comparisons required to identify the exact position of itself (every element)</p> <p>If we compare first element pivot with other, then there will be 5 comparisons.</p> <p>It means there will be n comparisons if there are n items.</p> <img src="//techcodeview.com/img/daa-tutorial/50/quick-sort-6.webp" alt="DAA Quick sort"> <h3>Relational Formula for Worst Case:</h3> <img src="//techcodeview.com/img/daa-tutorial/50/quick-sort-7.webp" alt="DAA Quick sort"> <h3>Note: for making T (n-4) as T (1) we will put (n-1) in place of &apos;4&apos; and if <br> We put (n-1) in place of 4 then we have to put (n-2) in place of 3 and (n-3) <br> In place of 2 and so on. <p>T(n)=(n-1) T(1) + T(n-(n-1))+(n-(n-2))+(n-(n-3))+(n-(n-4))+n <br> T (n) = (n-1) T (1) + T (1) + 2 + 3 + 4+............n <br> T (n) = (n-1) T (1) +T (1) +2+3+4+...........+n+1-1</p> <p>[Adding 1 and subtracting 1 for making AP series]</p> <p>T (n) = (n-1) T (1) +T (1) +1+2+3+4+........ + n-1 <br> T (n) = (n-1) T (1) +T (1) + <img src="//techcodeview.com/img/daa-tutorial/50/quick-sort-8.webp" alt="DAA Quick sort">-1</p> <p> <strong>Stopping Condition: T (1) =0</strong> </p> <p>Because at last there is only one element left and no comparison is required.</p> <p>T (n) = (n-1) (0) +0+<img src="//techcodeview.com/img/daa-tutorial/50/quick-sort-8.webp" alt="DAA Quick sort">-1</p> <img src="//techcodeview.com/img/daa-tutorial/50/quick-sort-9.webp" alt="DAA Quick sort"> <p> <strong>Worst Case Complexity of Quick Sort is T (n) =O (n<sup>2</sup>)</strong> </p> <h3>Randomized Quick Sort [Average Case]:</h3> <p>Generally, we assume the first element of the list as the pivot element. In an average Case, the number of chances to get a pivot element is equal to the number of items.</p> <pre> Let total time taken =T (n) For eg: In a given list p 1, p 2, p 3, p 4............pn If p 1 is the pivot list then we have 2 lists. I.e. T (0) and T (n-1) If p2 is the pivot list then we have 2 lists. I.e. T (1) and T (n-2) p 1, p 2, p 3, p 4............pn If p3 is the pivot list then we have 2 lists. I.e. T (2) and T (n-3) p 1, p 2, p 3, p 4............p n </pre> <p>So in general if we take the <strong>Kth</strong> element to be the pivot element.</p> <p> <strong>Then,</strong> </p> <img src="//techcodeview.com/img/daa-tutorial/50/quick-sort-10.webp" alt="DAA Quick sort"> <p>Pivot element will do n comparison and we are doing average case so,</p> <img src="//techcodeview.com/img/daa-tutorial/50/quick-sort-11.webp" alt="DAA Quick sort"> <p> <strong>So Relational Formula for Randomized Quick Sort is:</strong> </p> <pre> <img src="//techcodeview.com/img/daa-tutorial/50/quick-sort-12.webp" alt="DAA Quick sort"> = n+1 +<img src="//techcodeview.com/img/daa-tutorial/50/quick-sort-13.webp" alt="DAA Quick sort">(T(0)+T(1)+T(2)+...T(n-1)+T(n-2)+T(n-3)+...T(0)) <br> = n+1 +<img src="//techcodeview.com/img/daa-tutorial/50/quick-sort-13.webp" alt="DAA Quick sort">x2 (T(0)+T(1)+T(2)+...T(n-2)+T(n-1)) </pre> <pre> n T (n) = n (n+1) +2 (T(0)+T(1)+T(2)+...T(n-1)........eq 1 </pre> <p>Put n=n-1 in eq 1</p> <pre> (n -1) T (n-1) = (n-1) n+2 (T(0)+T(1)+T(2)+...T(n-2)......eq2 </pre> <p>From eq1 and eq 2</p> <p>n T (n) - (n-1) T (n-1)= n(n+1)-n(n-1)+2 (T(0)+T(1)+T(2)+?T(n-2)+T(n-1))-2(T(0)+T(1)+T(2)+...T(n-2)) <br> n T(n)- (n-1) T(n-1)= n[n+1-n+1]+2T(n-1) <br> n T(n)=[2+(n-1)]T(n-1)+2n <br> n T(n)= n+1 T(n-1)+2n</p> <img src="//techcodeview.com/img/daa-tutorial/50/quick-sort-14.webp" alt="DAA Quick sort"> <p>Put n=n-1 in eq 3</p> <img src="//techcodeview.com/img/daa-tutorial/50/quick-sort-15.webp" alt="DAA Quick sort"> <p>Put 4 eq in 3 eq</p> <img src="//techcodeview.com/img/daa-tutorial/50/quick-sort-16.webp" alt="DAA Quick sort"> <p>Put n=n-2 in eq 3</p> <img src="//techcodeview.com/img/daa-tutorial/50/quick-sort-17.webp" alt="DAA Quick sort"> <p>Put 6 eq in 5 eq</p> <img src="//techcodeview.com/img/daa-tutorial/50/quick-sort-18.webp" alt="DAA Quick sort"> <p>Put n=n-3 in eq 3</p> <img src="//techcodeview.com/img/daa-tutorial/50/quick-sort-19.webp" alt="DAA Quick sort"> <p>Put 8 eq in 7 eq</p> <img src="//techcodeview.com/img/daa-tutorial/50/quick-sort-20.webp" alt="DAA Quick sort"> <br> <img src="//techcodeview.com/img/daa-tutorial/50/quick-sort-21.webp" alt="DAA Quick sort"> <p>From 3eq, 5eq, 7eq, 9 eq we get</p> <img src="//techcodeview.com/img/daa-tutorial/50/quick-sort-22.webp" alt="DAA Quick sort"> <br> <img src="//techcodeview.com/img/daa-tutorial/50/quick-sort-23.webp" alt="DAA Quick sort"> <p>From 10 eq</p> <img src="//techcodeview.com/img/daa-tutorial/50/quick-sort-24.webp" alt="DAA Quick sort"> <p>Multiply and divide the last term by 2</p> <img src="//techcodeview.com/img/daa-tutorial/50/quick-sort-25.webp" alt="DAA Quick sort"> <p> <strong>Is the average case complexity of quick sort for sorting n elements.</strong> </p> <p> <strong>3. Quick Sort [Best Case]:</strong> In any sorting, best case is the only case in which we don&apos;t make any comparison between elements that is only done when we have only one element to sort.</p> <img src="//techcodeview.com/img/daa-tutorial/50/quick-sort-26.webp" alt="DAA Quick sort"> <hr></h3></x)>

させて 44 になる ピボット 要素と右から左へのスキャンが行われる

比較する 44 右側の要素に、右側の要素が 小さい よりも 44 、交換してください。として 22 よりも小さいです 44 それで交換してください。

 <strong>22</strong> 33 11 55 77 90 40 60 99 <strong>44</strong> 88

ただいま比較中 44 左側の要素に追加し、その要素は次のようにする必要があります。 より大きな 44 よりも大きい場合は交換してください。として 55 より大きい 44 それで交換してください。

 22 33 11 <strong>44</strong> 77 90 40 60 99 <strong>55</strong> 88

ピボット要素から 1 つ左側の 2 つのリストを取得するまで、ステップ 1 とステップ 2 を再帰的に繰り返します。 44 & ピボット要素から右に 1 つ。

 22 33 11 <strong>40</strong> 77 90 <strong>44</strong> 60 99 55 88

77 と交換: 

 22 33 11 40 <strong>44</strong> 90 <strong>77</strong> 60 99 55 88

さて、右側と左側の要素は、より大きく、より小さくなります。 44 それぞれ。

これで、2 つのソートされたリストが得られます。

DAAクイックソート

そして、これらのサブリストは、上記で行われたのと同じプロセスでソートされます。

これら 2 つのソートされたサブリストを並べて表示します。

DAAクイックソート
DAAクイックソート

サブリストの結合:

DAAクイックソート

ソートされたリスト

最悪の場合の分析: これは、アイテムがすでに並べ替えられた形式であり、それらを再度並べ替えようとする場合です。これには多くの時間とスペースが必要になります。

方程式:

 T (n) =T(1)+T(n-1)+n

た(1) ピボット要素にかかる時間です。

T(n-1) ピボット要素を除く残りの要素にかかる時間です。

N: それ自体 (すべての要素) の正確な位置を特定するために必要な比較の数

最初の要素ピボットを他の要素と比較すると、5 つの比較が行われます。

n 個の項目がある場合、n 回の比較が行われることを意味します。

DAAクイックソート

最悪の場合の関係式:

DAAクイックソート

注: T (n-4) を T (1) にするには、「4」の代わりに (n-1) を置きます。
4 の代わりに (n-1) を置くと、3 の代わりに (n-2) を置き、(n-3) を置く必要があります。
2 などの代わりに。

T(n)=(n-1) T(1) + T(n-(n-1))+(n-(n-2))+(n-(n-3))+(n-( n-4))+n
T (n) = (n-1) T (1) + T (1) + 2 + 3 + 4+....n
T (n) = (n-1) T (1) +T (1) +2+3+4+......................+n+1-1

【1を足して1を引いてAPシリーズを作る場合】

T (n) = (n-1) T (1) +T (1) +1+2+3+4+.... + n-1
T (n) = (n-1) T (1) +T (1) + DAAクイックソート-1

停止条件: T (1) =0

なぜなら、最終的に残っている要素は 1 つだけであり、比較する必要がないからです。

T (n) = (n-1) (0) +0+ DAAクイックソート-1

DAAクイックソート

クイックソートの最悪の場合の複雑さは T (n) =O (n2)

ランダム化されたクイックソート [平均ケース]:

一般に、リストの最初の要素がピボット要素であると想定します。平均的なケースでは、ピボット要素を取得できるチャンスの数はアイテムの数と同じです。

 Let total time taken =T (n) For eg: In a given list p 1, p 2, p 3, p 4............pn If p 1 is the pivot list then we have 2 lists. I.e. T (0) and T (n-1) If p2 is the pivot list then we have 2 lists. I.e. T (1) and T (n-2) p 1, p 2, p 3, p 4............pn If p3 is the pivot list then we have 2 lists. I.e. T (2) and T (n-3) p 1, p 2, p 3, p 4............p n

したがって、一般的に、 K番目 要素をピボット要素にします。

それから、

DAAクイックソート

ピボット要素は比較を行い、平均的なケースを実行しているため、

DAAクイックソート

したがって、ランダム化されたクイックソートの関係式は次のようになります。 

 <img src="//techcodeview.com/img/daa-tutorial/50/quick-sort-12.webp" alt="DAA Quick sort"> = n+1 +<img src="//techcodeview.com/img/daa-tutorial/50/quick-sort-13.webp" alt="DAA Quick sort">(T(0)+T(1)+T(2)+...T(n-1)+T(n-2)+T(n-3)+...T(0)) <br> = n+1 +<img src="//techcodeview.com/img/daa-tutorial/50/quick-sort-13.webp" alt="DAA Quick sort">x2 (T(0)+T(1)+T(2)+...T(n-2)+T(n-1)) 
 n T (n) = n (n+1) +2 (T(0)+T(1)+T(2)+...T(n-1)........eq 1

式 1 に n=n-1 を入れます

 (n -1) T (n-1) = (n-1) n+2 (T(0)+T(1)+T(2)+...T(n-2)......eq2

eq1 と eq2 から

n T (n) - (n-1) T (n-1)= n(n+1) - n(n-1)+2 (T(0)+T(1)+T(2)+? T(n-2)+T(n-1))-2(T(0)+T(1)+T(2)+...T(n-2))
n T(n)- (n-1) T(n-1)= n[n+1-n+1]+2T(n-1)
n T(n)=[2+(n-1)]T(n-1)+2n
n T(n)= n+1 T(n-1)+2n

js セットタイムアウト
DAAクイックソート

式 3 に n=n-1 を入れます

DAAクイックソート

4当量を3当量に入れる

DAAクイックソート

式 3 に n=n-2 を入れます

DAAクイックソート

5当量に6当量を入れます

DAAクイックソート

式 3 に n=n-3 を入れます

DAAクイックソート

8当量を7当量に入れる

DAAクイックソート
DAAクイックソート

3eq、5eq、7eq、9eq から次のようになります。

DAAクイックソート

10当量から

最後の項を 2 で乗算して除算します。

n 個の要素をソートする場合のクイック ソートの平均ケース複雑度です。

3. クイックソート [ベストケース]: どの並べ替えにおいても、要素間の比較を行わない唯一のケースがベストケースであり、並べ替える要素が 1 つだけの場合にのみ行われます。