機能 数学では自動販売機と考えることができます。インプットの形でお金を受け取ると、見返りに缶詰やクッキーをいくつか渡します。同様に、関数は入力数値を受け取り、何らかの出力を返します。実生活では、関数の助けを借りてすべてを定式化し、解決できると言えます。建物の設計や建築から超高層ビルに至るまで、実生活のほとんどすべての数学モデルには関数が必要です。したがって、関数が私たちの生活において非常に重要な意味を持つことは避けられません。ドメインと範囲は、関数を記述するための 1 つの側面です。
例えば： 機械の上に、何かを買うのに使用できるのは Rs.20 紙幣と Rs.50 紙幣のみであると書かれているとします。誰かが 10 ルピー紙幣を使ったらどうなるでしょうか?マシンは何も出力しません。したがって、ドメインは関数内でどのような種類の入力を使用できるかを表します。この場合、20 ルピーと 50 ルピー紙幣は自動販売機の管轄になります。同様に、機械にどれだけお金をつぎ込んでも、そこからサンドイッチが手に入ることはありません。したがって、ここで範囲の概念が登場します。範囲とは、マシンが提供できる出力のことです。
関数の範囲とドメイン
関数のドメイン:
ライオンとトラの比較
ドメインは、有効な出力を与える関数に入力できるすべての値です。これは、関数への可能なすべての入力のセットです。
例えば： 下の図では、f(x) = x2。すべての入力のセットはドメインと呼ばれ、すべての出力のセットは範囲とみなされます。
関数のドメインを見つけるにはどうすればよいでしょうか?
関数の定義域には、分母がゼロになる点と平方根以下の項が負になる点を除くすべての実数が含まれている必要があります。ドメインを見つけるには、関数が定義されていない点または入力値を見つけてみます。
質問1： のドメインを見つけます
答え：
この関数は、x = 1 の場合に未定義の出力を与える可能性があります。つまり、ドメインは次のようになります。 R – {1} 。
質問2： 次の関数のドメインを見つけます。
答え :
関数を無限または未定義にしないことが重要です。したがって、どのようなドメイン値が関数を未定義または無限にできるかを確認する必要があります。
分母を見ると、値 3 と 5 によって分母が 0 になっていることが明らかです。そのため、関数が無限になり、これは望ましくありません。
したがって、値 x=3 および x=5 をここに配置することはできません。
ドメインは次のようになります R – {3,5}。
質問 3: 関数 Y = (2x となるドメイン値を求めます) 2 -1) と Z= (1-3x) は等しい。
答え :
2 つの関数を同等に扱う:
2×2– 1 = 1 – 3 x
2倍2+ 3x – 2 = 0
2倍2+ 4x – x – 2 = 0
2x (x + 2) – 1 (x+2)= 0
(2x – 1) (x + 2) = 0
Javaプログラミング素数x = 1/2、-2。
したがって、ドメイン値は次のようになります。 {1/2、-2}。
機能の範囲
関数の範囲は、その可能なすべての出力のセットです。
例: 関数 ƒ: A⇢A (A = {1,2,3,4}) を考えてみましょう。
セットのドメインの要素はプレイメージと呼ばれ、プレイメージにマッピングされるセットのコドメインの要素はイメージと呼ばれます。関数の範囲は、ドメイン内の要素のすべてのイメージのセットです。この例では、関数の範囲は {2,3} です。
関数の範囲を見つけるにはどうすればよいですか?
範囲は、関数の出力値の広がりです。関数の最大値と最小値を計算できれば、関数の範囲を把握できます。
質問 1: 範囲を求めます。 f(x) =
答え：
ここで、関数は平方根であるため、出力として負の値を与えることはできません。したがって、x = 1 では最小値は 0 しかあり得ません。x を増加し続けると、最大値は無限大まで増加する可能性があります。
したがって、関数の範囲は [0, ∞) です。
質問 2: 関数 ƒ の定義域は次のように定義されます。 f(x) =
答え：
与えられた場合、f(x) =
frac{1}{sqrtx – } 。ドメインのセットを選択する際には、次の 2 つのことを確認する必要があります。
- 分母がゼロになることはありません。
- 平方根内の項は負になりません。
項内に書かれている内容を平方根内で展開してみましょう。
sqrtx= egin{cases} x – x = 0,& ext{if } xgeq 0 2x, & ext{otherwise} end{cases} jsグローバル変数この場合、x ≥ 0 または x <0 のどちらの値も入れることはできません。
したがって、f はどの x ∈ R に対しても定義されません。したがって、定義域は空集合になります。
二次関数の領域と範囲
二次関数は、f(x) = ax の形式の関数です。2+ bx + c。ここで、a、b、c は定数であり、a ≠ 0 です。二次関数のグラフは放物線の形になります。基本的には上下に開く湾曲した形状です。
二次関数をグラフ化する方法を見てみましょう。
したがって、二次関数では
- a> 0 の場合、放物線は上に開きます。
- a <0 の場合、放物線は下に開きます。
ここで、頂点は、二次関数のグラフに応じて曲線の最高点または最低点です。一般的な二次式のグラフの頂点を求めます。
標準の 2 次形式では、頂点は次の式で与えられます。
注記： 各曲線は垂直軸を中心に対称です。
いくつかの例を見てみましょう。
質問: f(x) = 2x のグラフをプロットしてください 2 +4倍+2。
答え：
この式を一般的な二次関数式と比較します。 a = 2、b = -4、c = 2。
a> 0 なので、この放物線は上に開きます。
- 頂点の X 値 =
frac{-b}{2a} = frac{-4}{4} = -1 - 頂点の y 値 = 2(-1)2+ 4(-1) + 2 = 0
したがって、頂点は (-1,0) にあります。放物線は上に開いているので、これは関数の最小値でなければなりません。
グラフがy軸を切る点は(0,2)です。
二次関数の範囲と定義域は、グラフをプロットすることで簡単に知ることができます。グラフ全体をプロットする必要は必ずしもありません。範囲については、放物線の方向 (上向きまたは下向き) と頂点での放物線の値のみがわかっていればよいです。頂点の値は、放物線の方向に応じて常に最小/最大のいずれかになります。このような関数の領域は、どこでも定義されているため、常に整数の実数になります。出力として未定義を与える可能性のある入力値はありません。
放物線の領域と範囲に関する別の例を見てみましょう。
質問： グラフをプロットし、指定された関数 f(x) = -x の定義域と範囲を見つけます。 2 +4。
答え：
したがって、a = -1です。放物線は下向きに開きます。最小値はなく、無限大まで拡張されます。ただし、頂点で発生する最大値が存在します。
頂点の位置を求めるには、前述の公式を使用できます。頂点は位置 (0,4) にあります。
CSS境界線頂点の値 (0,4) = (0)2+ 4 = 4。
したがって、最大値は 4 で、最小値は負の無限大です。
関数の範囲 – (-∞, 4]、定義域は次のとおりです。 R 。
