三角関数や微積分を勉強している場合、またはその準備をしている場合は、単位円についてよく理解しておく必要があります。 単位円は 角度のサイン、コサイン、タンジェントを求めるために使用される重要なツールです。 しかし、それはどのように機能するのでしょうか?また、それを使用するにはどのような情報を知っておく必要がありますか?

この記事では、単位円とは何か、そしてそれを知っておくべき理由について説明します。単位円の使い方を覚えるための3つのヒントも紹介します。

注目の画像: グスタフ /ウィキメディア

ユニットサークル: 基本的な紹介

単位円は半径1の円です。 これは、円の中心点から円の端に沿った任意の点まで引かれた直線について、その線の長さは常に 1 に等しいことを意味します (これは、円の直径が 2 に等しいことも意味します。直径は半径の長さの 2 倍に等しい)。

通常、 単位円の中心点は、x 軸と y 軸が交差する場所、または座標 (0, 0) にあります。

単位円 (別名三角円) は、知っておくと役に立ちます。 これにより、0° ～ 360° (または 0 ～ 2π ラジアン) の任意の角度のコサイン、サイン、タンジェントを簡単に計算できます。

上の図でわかるように、任意の角度で半径を描くと (画像の∝でマーク)、直角三角形が作成されます。 この三角形では、コサインが水平線、サインが垂直線になります。言い換えると、 コサイン =x 座標、および サイン = y 座標。 (三角形の最長の線、つまり斜辺が半径であるため、1 に等しくなります。)

これらすべてがなぜ重要なのでしょうか?三角形の辺の長さは、 ピタゴラスの定理、または $a^2+b^2=c^2$ （その中で ある そして b は三角形の辺の長さであり、 c は斜辺の長さです)。

角度の余弦は水平線の長さに等しく、正弦は垂直線の長さに等しく、斜辺は 1 に等しいことがわかっています。したがって、次のように言えます。 単位円内の直角三角形の公式は次のとおりです。

$$cos^2θ+sin^2θ=1^2$$

^2=1$ なので、この方程式は次のように簡略化できます。

$$cos^2θ+sin^2θ=1$$

np.linspace

を注意 これらの値は負の値になる可能性があります 形成される角度と、x 座標と y 座標がどの象限に該当するかによって異なります (これについては後で詳しく説明します)。

以下は、単位円上のすべての主角度の度数とラジアンの概要です。

単位円 — 度

単位円 — ラジアン

しかし、三角形が形成されなかったらどうなるでしょうか?を見ようよ 角度が 0° の場合、x 軸に沿って水平の直線が作成されるとどうなるか:

この線上では、x 座標は 1 に等しく、y 座標は 0 に等しいことがわかります。 コサインは x 座標に等しく、サインは y 座標に等しく、 したがって、次のように書くことができます。

• $cos0°=1$
• $sin0°=0$

もしも 角度は 90°で、y 軸に沿って完全に垂直な線になりますか?

ここで、x 座標が 0 に等しく、y 座標が 1 に等しいことがわかります。これにより、サインとコサインの次の値が得られます。

• $cos90°=0$
• $sin90°=1$

このスローガンは、数学が好きでなくても当てはまります。

単位円を知っておくべき理由

上で述べたように、単位円は次の理由で役立ちます。 これにより、任意の次数またはラジアンのサイン、コサイン、またはタンジェントを簡単に解くことができます。 数学の宿題で特定の三角値を解く必要がある場合、または微積分の勉強の準備をしている場合、単位円グラフを知っていると特に役立ちます。

しかし、単位円を知ることは具体的にどのように役立つのでしょうか?数学のテストで次の問題が出されたとします。 ない 計算機を使用して解くことができます。

$$sin30°$$

どこから始めますか?今度は単位円グラフをもう一度見てみましょう すべての主角度 (度およびラジアンの両方) とそれに対応する座標:

ジム・ベルク /ウィキメディア

圧倒されないでください！覚えておいてください、あなたが解決しているのは $sin30°$ だけです。このグラフを見ると、次のことがわかります。 y 座標は 30 度の /2$ に等しくなります。 そして、y 座標は正弦に等しいため、答えは次のようになります。

$$sin30°=1/2$$

しかし、度の代わりにラジアンを使用する問題が発生した場合はどうなるでしょうか?それを解決するためのプロセスは今も同じです。たとえば、次のような問題が発生したとします。

$$cos{{3π}/4}$$

もう一度上のグラフを使用すると、${3π}/4$ (135°に等しい) の x 座標 (またはコサイン) が $-{√2}/2$ であることがわかります。この問題に対する私たちの答えは次のようになります。

$$cos({3π}/4)=-{√2}/2$$

上記の単位円グラフを参照として使用できる場合、これらはすべて非常に簡単です。しかし、ほとんどの場合 (すべてではないにしても) そうではなく、この種の数学の質問には頭だけを使って答えることが求められます。

では、どうやって単位円を覚えることができるのでしょうか？重要なヒントを読んでください。

単位円を覚える方法: 3 つの重要なヒント

このセクションでは、三角円を覚えるための重要なヒントを紹介します。これにより、三角円が必要な数学の問題で簡単に三角円を使用できるようになります。

ポストイットを使って単位円を練習することはお勧めしませんが、まあ、それは始まりです。

#1: 一般的な角度と座標を記憶する

単位円を効果的に使用するには、次のことが必要です。 最も一般的な角度 (度およびラジアンの両方) と、それに対応する X 座標と Y 座標を記憶します。

上の図は、X 軸と Y 軸に沿った対応する座標点に加えて、すべての主角度が度およびラジアンの両方で含まれているため、見るのに役立つ単位円グラフです。

これと同じ情報を表形式でリストしたグラフを次に示します。

さて、これらすべての座標と角度を覚えてみることは大歓迎ですが、これは たくさん 覚えておくべきことの。

幸いなことに、単位円の最も重要な部分を思い出すのに役立つ裏技があります。

上の座標を見ると、すべての点 (0°、90°、270°、および 360° の点を除く) という明確なパターンに気づくでしょう。 3 つの値 (正または負) を交互に切り替えます。

• /2$
• ${√2}/2$
• ${√3}/2$

それぞれの値は以下に対応します コサインとサインの両方の短い、中程度、または長い線:

これらの長さの意味は次のとおりです。

短い水平線または垂直線= /2$ 中くらいの水平線または垂直線= ${√2}/2$ 長い水平線または垂直線= ${√3}/2$

たとえば、$cos{π/3}$ を解こうとしている場合、この角度 (60° に等しい) が次のことを示していることがすぐにわかるはずです。 単位円上の短い水平線。 したがって、 対応する x 座標は /2$ に等しくなければなりません ($π/3$ は座標系の第 1 象限に点を作成するため、正の値です)。

最後に、上の表のすべての角度を覚えておくと便利ですが、次の点に注意してください。 覚えておくべき最も重要な角度は次のとおりです。

• 30° / $p/
• 45° / $p/4$
• 60° / $p/3$

マイナスとプラスは、正しく接続しないと死亡する可能性があるケーブルと同じように扱ってください。

#2: 何がネガティブで何がポジティブかを学ぶ

三角関数の問題の正しい値を見つけるためには、X 座標と Y 座標の正と負を区別できることが重要です。思い出してください。 で 単位円上の座標が正になるか負になるかは、 ポイントがどの象限 (I、II、III、または IV) に該当するか:

以下は、特定の角度 (度またはラジアン) が属する象限に基づいて、座標が正か負かを示すグラフです。

たとえば、数学のテストで次の問題が出されたとします。

$$cos210°$$

解決しようとする前から、答えは次のとおりであることが認識できるはずです。 負の数 角度 210° は象限 III に該当するため (x 座標は いつも ネガティブ）。

ここで、ヒント 1 で学んだトリックを使用すると、210° の角度によって次のことがわかります。 長い水平線。 したがって、私たちの答えは次のとおりです。

$$cos210°=-{√3}/2$$

#3: 接線の解決方法を知る

最後に、次のことを行うには、三角円とサインとコサインに関するすべての情報の使用方法を知ることが不可欠です。 角度の正接を解きます。

trig では、角度 θ の正接 (度またはラジアンで) を見つけるには、次のようにします。 サインをコサインで割ります。

$$ anθ={sinθ}/{cosθ}$$

たとえば、次の問題に答えようとしているとします。

$$ an300°$$

最初のステップは、サインとコサインに関して方程式を設定することです。

$$ an300°={sin300°}/{cos300°}$$

ここで、タンジェントを解決するには、サインを見つける必要があります。 そして 300°の余弦。角度 300° が第 4 象限に該当することはすぐにわかるはずです。つまり、 コサイン (x 座標) は正となり、サイン (y 座標) は負になります。

それもすぐにわかるはずです 300°の角度が作り出す 短い水平線と長い垂直線。 したがって、コサイン (水平線) は /2$ に等しく、サイン (垂直線) は $-{√3}/2$ に等しくなります (この点は象限 IV にあるため、負の y 値)。 。

さて、接線を見つけるには、次のようにプラグインして解くだけです。

$$ an300°={-{√3}/2}/{1/2}$$

$$ an300°=-√3$$

数学のスキルを鍛えましょう!

ユニットサークル練習問題セット

単位円がどのようなもので、その使用方法がわかったので、いくつかの練習問題で学んだことをテストしてみましょう。

質問

1. $sin45°$
2. $cos240°$
3. $cos{5π}/3$
4. $ an{2π}/3$

答え

1. ${√2}/2$
2. $-1/2$
3. /2$
4. $-√3$

解答解説

#1: $sin45°$

この問題に関しては、すぐに特定できる必要がある 2 つの情報があります。

答えは肯定的なものになりますが、角度 45° は象限 I にあり、角度の正弦は y 座標に等しいため

• 角度 45° が生み出す 中くらいの長さの縦ライン (彼らのために)

45°は正の中程度の長さの線を示すため、 正しい答えは ${√2}/2$。

これを理解する方法がわからない場合は、線の長さが短いか、中程度か、長いかを判断するのに役立つ図を描きます。

#2: $cos240°$

上記の問題 #1 と同様、この問題ではすぐに把握できる情報が 2 つあります。

答えは否定的になりますが、角度 240° は象限 III にあり、角度の余弦は x 座標に等しいため

• 角度 240° が生み出す 短い水平線 (コサインの場合)

240°はマイナスの短い線を示しますので、 正しい答えは $-1/2$。

#3: $cos{5π}/3$

上記の問題とは異なり、この問題では ラジアン 度の代わりに。これにより、問題の解決が難しく見えるかもしれませんが、実際には、他の 2 つの問題と同じ基本手順が使用されます。

まず、角度 ${5π}/3$ が象限 IV にあることを認識する必要があります。そのため、x 座標、つまりコサインは次のようになります。 正の数。 それはあなたにも言えるはずです${5π}/3$作成します 短い水平線。

これにより、それを判断するのに十分な情報が得られます。 の 答えは 1/2ドル。

#4: $ an{2π}/3$

この問題はサインやコサインではなくタンジェントを扱っているため、こちら側でもう少し計算が必要になります。まず、思い出してください 接線を見つけるための基本的な公式:

$$ an θ={sin θ}/{cos θ}$$

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さて、与えられた学位を考えてみましょう - ${2π}/3$—そしてそれを次の方程式に代入します。

$$ an {2π}/3={sin {2π}/3}/{cos {2π}/3}$$

これで、単位円について覚えたことを使用して、サインとコサインを別々に解くことができるようになります。角度 ${2π}/3$ は第 II 象限にあるので、 x 座標 (またはコサイン) は負になり、y 座標 (またはサイン) は正になります。

次に、角度だけで水平線がどのような方向であるかを判断できるはずです。 短い行、 そして縦の線は 長い行列。 これは、コサインが $-1/2$ に等しく、サインが ${√3}/2$ に等しいことを意味します。

これらの値を把握したので、後はそれらを最初の方程式に代入して接線を解くだけです。

$$ an {2π}/3={{√3}/2}/{-1/2}$$

$$ an {2π}/3=-√3$$

次は何ですか？

SAT または ACT をすぐに受験する場合は、数学セクションで良い成績を収めるために、いくつかの三角関数を知る必要があります。 SAT と ACT をトリガーするための専門ガイドを参照して、試験当日に知っておくべきことを正確に学ぶことができます。

単位円を覚えるだけでなく、 数字を代入する方法と答えを代入する方法を学ぶことをお勧めします。 私たちのガイドを読んで、SAT や ACT を含むあらゆる数学テストで使用できるこれら 2 つの便利な戦略について学びましょう。