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ベイズの定理

ベイズの定理 イベントの条件付き確率を決定するために使用されます。英国の統計学者にちなんで名付けられました。 トーマス・ベイズ ベイズの定理は数学における非常に重要な定理であり、ベイズの定理と呼ばれる独自の統計的推論アプローチの基礎を築きました。 ベイズの推論。これは、イベントに関連する可能性のある条件に関する事前の知識に基づいて、イベントの確率を見つけるために使用されます。



例えば、 白いビー玉がすでに引き出されているとして、ランダムに引き出された白いビー玉が最初の袋から出てくる確率を知りたい場合、 それぞれ白と黒のビー玉が入った 3 つの袋がある場合、ベイズの定理を使用できます。

この記事では、ベイズの定理について、その記述、証明、導出、定理の公式、およびさまざまな例を使用した応用を含めて説明します。

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ベイズの定理とは何ですか?

ベイズの定理 (ベイズ ルールまたはベイズの法則とも呼ばれる) は、イベント B がすでに発生している場合にイベント A の条件付き確率を決定するために使用されます。



ベイズの定理の一般的な記述は次のとおりです。 別のイベント B が発生した場合のイベント A の条件付き確率は、A が与えられた場合の B のイベントと A の確率をイベント B の確率で割ったものとの積に等しくなります。 つまり

P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)

どこ、



  • P(A) そして P(B) はイベント A と B の確率です
  • P(A|B) はイベント B が発生したときにイベント A が発生する確率です
  • P(B|A) はイベント A が起こったときにイベント B が起こる確率です

チェック： 条件付き確率のベイズの定理

ベイズの定理のステートメント

n セットのイベントに対するベイズの定理は次のように定義されます。

E にしましょう1、 そして2、…、 そしてnサンプル空間 S に関連付けられたイベントのセットであり、すべてのイベント E1、 そして2、…、 そしてn発生確率がゼロではありません。すべてのイベント E1、 そして2,…, E は S の分割を形成します。 A を確率を求めなければならない空間 S からのイベントとすると、ベイズの定理によれば、

P(E 私 |A) = P(E 私 )P(A|E 私 ) / ∑ P(E k )P(A|E k )

k = 1、2、3、…、n の場合

ベイズの定理の公式

任意の 2 つのイベント A と B について、ベイズの定理の式は次のようになります。(以下の画像はベイズの定理の式を示しています)

ベイズの定理の公式

ベイズの定理の公式

どこ、

  • P(A) そして P(B) はイベント A と B の確率であり、P(B) は決してゼロにはなりません。
  • P(A|B) はイベント B が発生したときにイベント A が発生する確率です
  • P(B|A) はイベント A が起こったときにイベント B が起こる確率です

ベイズの定理の導出

ベイズの定理の証明は、条件付き確率の公式に従って次のように与えられます。

P(E 私 |A) = P(E 私 ∩A) / P(A)…..(i)

次に、確率の乗算規則を使用すると、次のようになります。

P(E 私 ∩A) = P(E 私 )P(A|E 私 )……(ii)

さて、総確率定理により、

P(A) = ∑ P(E k )P(A|E k )…..(iii)

P(E の値を代入する私∩A) と P(A) は、式 (i) の式 (ii) と式 (iii) から得られます。

P(E 私 |A) = P(E 私 )P(A|E 私 ) / ∑ P(E k )P(A|E k )

ベイズの定理は、次の式としても知られています。 原因の確率 。 ご存知のとおり、E 私 はサンプル空間 S のパーティションであり、常にイベント E の 1 つだけが発生します。 私 が発生します。 したがって、ベイズの定理公式は特定の E の確率を与えると結論付けます。私、イベント A が発生したとします。

ベイズの定理について詳しく学習した後、公式と導出で説明した概念に関連するいくつかの重要な用語を理解しましょう。

  • 仮説: サンプル空間で起こる出来事 そして 1 、 そして 2 、… そして n 仮説と呼ばれます
  • 先験的確率: 事前確率は、新しいデータが考慮される前にイベントが発生する初期確率です。 P(E私) は仮説 E の事前確率です。私。
  • 事後確率: 事後確率は、新しい情報を考慮した後のイベントの更新された確率です。確率 P(E私|A) は仮説 E の事後確率と見なされます。私。

条件付き確率

  • 別のイベント B の発生に基づくイベント A の確率は、 条件付き確率 。
  • と表記されます P(A|B) イベント B がすでに発生したときに A が発生する確率を表します。

同時確率

さらに 2 つのイベントが同時に発生する確率が測定される場合、それは同時確率としてマークされます。 2 つのイベント A と B について、結合確率は次のように表されます。 P(A∩B)。

ランダム変数

可能な値がランダム実験によって決定される実数値変数は、確率変数と呼ばれます。このような変数が見つかる確率は実験確率です。

ベイズの定理の応用

ベイズ推論は非常に重要であり、医学、科学、哲学、工学、スポーツ、法律などを含むさまざまな活動に応用されています。ベイズ推論はベイズの定理から直接導出されます。

例： ベイズの定理は、人が病気に罹患する可能性がどの程度か、および検査の全体的な精度がどの程度かを考慮して、医療検査の精度を定義します。

条件付き確率とベイズの定理の違い

条件付き確率とベイズの定理の違いは、以下の表を参照すると理解できます。

ベイズの定理 条件付き確率
ベイズの定理は、条件付き確率の定義を使用して導出されます。逆確率を求めるために使用されます。 条件付き確率は、イベント B がすでに発生しているときにイベント A が発生する確率です。
式： P(A|B) = [P(B|A)P(A)] / P(B) 式： P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

総確率の定理

E にしましょう1、 そして2、。 。 。、 そしてnはランダムな実験に関連付けられた相互に排他的かつ網羅的なイベントであり、E をいくつかの E で発生するイベントとします。私。次に、それを証明してください

P(E) = n ∑ i=1 P(E/E 私 ）。 P(E j )

証拠：

S をサンプル空間とします。それから、

S = E1∪E2∪E3∪ 。 。 。 ∪ ワンとエ私∩Ej= ∅ i ≠ j の場合。

E = E ∩ S

⇒ E = E ∩ (E1∪E2∪E3∪ 。 。 。 ∪En)

⇒ E = (E ∩ E1) ∪ (E ∩ E2) ∪ 。 。 。 ∪ (E ∩ En)

P(E) = P{(E ∩ E1) ∪ (E ∩ E2)∪ 。 。 。 ∪(E ∩ En)}

⇒ P(E) = P(E ∩ E1) + P(E ∩ E2) + . 。 。 + P(E ∩ En)

{したがって、(E ∩ E1)、(E ∩ E2）、。 。 。 ,(E ∩ En)} はペアごとに素です}

⇒ P(E) = P(E/E1）。 P(E1) + P(E/E2）。 P(E2) + . 。 。 +P(E/En）。 P(En) [乗算定理による]

⇒ P(E) =n∑i=1P(E/E私）。 P(E私)

ベイズの定理に関連する記事

  • 確率分布
  • 条件付き確率のベイズの定理
  • 順列と組み合わせ
  • 二項定理

結論 – ベイズの定理

ベイズの定理は、新しい証拠や情報に基づいて仮説の確率を更新するための強力なフレームワークを提供します。ベイズの定理は、事前の知識を組み込み、観察データで更新することにより、統計、機械学習、医学、金融などの幅広い分野で、より正確で情報に基づいた意思決定を可能にします。その用途は、医療診断やリスク評価からスパム フィルタリングや自然言語処理まで多岐にわたります。

ベイズの定理を理解して適用することで、より適切な予測を立て、不確実性を推定し、データから有意義な洞察を引き出すことが可能になり、最終的には複雑で不確実な状況において情報に基づいた意思決定を行う能力が強化されます。

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ベイズの定理の例

例 1: ある人が仕事を引き受けました。雨が降った場合と降らなかった場合に仕事が時間通りに完了する確率は、それぞれ 0.44 と 0.95 です。雨が降る確率が 0.45 の場合、仕事が時間通りに完了する確率を決定します。

解決：

E にしましょう1マイニングジョブが時間通りに完了するイベントであり、E2雨が降るという出来事があります。我々は持っています、

P(A) = 0.45、

P(雨が降っていない場合) = P(B) = 1 − P(A) = 1 − 0.45 = 0.55

確率の乗算法則により、

P(E1) = 0.44、および P(E2) = 0.95

イベント A と B はサンプル空間 S の分割を形成するため、全確率定理により、次のようになります。

P(E) = P(A) P(E1) + P(B) P(E2)

⇒ P(E) = 0.45 × 0.44 + 0.55 × 0.95

⇒ P(E) = 0.198 + 0.5225 = 0.7205

したがって、ジョブが時間通りに完了する確率は 0.7205 です。

例 2: 3 つの白いボールと 2 つの黒いボールが入った 3 つの壺があります。白ボール2個と黒ボール3個。黒ボール1個と白ボール4個。各骨壷が選択される確率は等しいです。 1 つのボールが等確率でランダムに選ばれます。白球が出る確率はどれくらいですか?

解決：

E にしましょう1、 そして2、およびE3それぞれ、1 つ目、2 つ目、3 つ目の骨壷を選択するイベントになります。それから、

P(E1) = P(E2) = P(E3) =1/3

E を白球が描かれたイベントとする。それから、

P(E/E1) = 3/5、P(E/E2) = 2/5、P(E/E3) = 4/5

全確率定理により、次のようになります。

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P(E) = P(E/E1）。 P(E1) + P(E/E2）。 P(E2) + P(E/E3）。 P(E3)

⇒ P(E) = (3/5 × 1/3) + (2/5 × 1/3) + (4/5 × 1/3)

⇒ P(E) = 9/15 = 3/5

例 3: 52 枚のカードのパックから 1 枚のカードが失われます。パックの残りのカードから 2 枚のカードが引き出され、どちらもハートであることがわかります。紛失したカードがハートである確率を求めます。

解決：

E にしましょう1、 そして2、 そして3、そしてE4それぞれハート、クラブ、スペード、ダイヤのカードを失うイベントです。

次に、P(E1) = P(E2) = P(E3) = P(E4) = 13/52 = 1/4。

残りの 51 枚のカードからハートを 2 つ引くイベントを E とします。それから、

P(E|E1) = ハートのカードが 1 枚欠けている場合に、ハートを 2 つ引く確率

⇒ P(E|E1) =12C2/51C2= (12 × 11)/2! × 2!/(51 × 50) = 22/425

P(E|E2) = クラブのカードが 1 枚欠けている場合に、2 つのクラブを引く確率

⇒ P(E|E2) =13C2/51C2= (13 × 12)/2! × 2!/(51 × 50) = 26/425

P(E|E3) = ハートのカードが欠けている場合に、スペード 2 枚を引く確率

⇒ P(E|E3) =13C2/51C2= 26/425

P(E|E4) = ダイヤモンドのカードが 1 枚欠けている場合に、2 つのダイヤモンドを引く確率

⇒ P(E|E4) =13C2/51C2= 26/425

したがって、

P(E1|E) = 残りの 51 枚のカードから 2 つのハートが引かれると仮定した場合、紛失したカードがハートである確率

⇒ P(E1|E) = P(E1）。 P(E|E1)/P(E1）。 P(E|E1) + P(E2）。 P(E|E2) + P(E3）。 P(E|E3) + P(E4）。 P(E|E4)

⇒ P(E1|E) = (1/4 × 22/425) / {(1/4 × 22/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425)}

⇒ P(E1|E) = 22/100 = 0.22

したがって、必要な確率は 0.22 です。

例 4: 男性 300 人中 15 人、女性 1000 人中 25 人が優れた雄弁家であると仮定します。演説者はランダムに選ばれます。男性が選ばれる確率を求めよ。男性と女性の数が同数だと仮定します。

解決：

ギブン

  • 男性の合計 = 300
  • 女性の合計 = 1000
  • 男性の中で優れた弁論者 = 15
  • 女性の中で優れた弁論者 = 25

優れた弁論者の総数 = 15 (男性) + 25 (女性) = 40

男性の弁論者を選択する確率:

P(男性弁論者) = 男性弁論者の数 / 弁論者の総数 = 15/40

例 5: ある男性は 4 回に 1 回嘘をつくことが知られています。彼はサイコロを投げて、それが６であると報告しました。実際に 6 になる確率を求めます。

解決：

サイコロを投げて、

そして1= 6 を獲得するイベント、

そして2= 6 を獲得できなかったイベントと

E = 男性がそれが 6 であると報告するイベント。

すると、P(E1) = 1/6、および P(E2) = (1 – 1/6) = 5/6

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P(E|E1) = 実際に 6 が発生したときに、その男性が 6 が発生したと報告する確率

⇒ P(E|E1) = その人が真実を話す確率

⇒ P(E|E1) = 3/4

P(E|E2) = 実際には 6 が発生していないのに、男性が 6 が発生したと報告する確率

⇒ P(E|E2) = その人が真実を話さない確率

⇒ P(E|E2) = (1 – 3/4) = 1/4

男性が 6 だと報告した場合、6 になる確率

P(E1|E) = P(E|E1) × P(E1)/P(E|E1) × P(E1) + P(E|E2) × P(E2) [ベイズの定理による]

⇒ P(E1|E) = (3/4 × 1/6)/{(3/4 × 1/6) + (1/4 × 5/6)}

⇒ P(E1|E) = (1/8 × 3) = 3/8

したがって、必要な確率は 3/8 です。

ベイズの定理に関する FAQ

ベイズの定理とは何ですか?

ベイズの定理は、その名前が示すように、イベントの条件付き確率を見つけるために使用される数学的な定理です。条件付き確率とは、将来に起こる出来事の確率です。これは、イベントの以前の結果に基づいて計算されます。

ベイズの定理はいつ使用されますか?

ベイズの定理は、特に新しいデータに基づいて確率を更新する分野で、幅広い用途があります。ベイズ ルールを使用すると、 事後（または更新された）確率。 イベントの条件付き確率を計算するために使用されます。

ベイズの定理を理解するための重要な用語は何ですか?

重要な用語の一部は次のとおりです。

  • 事前確率 (P(A))
  • 事後確率 (P(A | B))
  • 尤度 (P(B | A))
  • 限界確率 (P(B))

ベイズの定理をいつ使用するか?

ベイズの定理は、イベントの条件付き確率が与えられた場合に適用でき、イベントの逆確率を見つけるために使用されます。

ベイズの定理は条件付き確率とどう違うのですか?

ベイズの定理は、イベントの前の条件に基づいてイベントの確率を定義するために使用されます。一方、ベイズの定理では、条件付き確率を使用してイベントの逆確率を求めます。

ベイズの定理の公式は何ですか?

ベイズの定理公式を以下に説明します。

P(A|B) = [P(B|A) P(A)] / P(B)