有名な数学者 ドモーガン ブール代数の 2 つの最も重要な定理を発明しました。ドモルガンの定理は、NOR ゲートと負の AND ゲート、および負の OR ゲートと NAND ゲートの等価性を数学的に検証するために使用されます。これらの定理は、さまざまなブール代数式を解く際に重要な役割を果たします。以下の表では、入力変数の組み合わせごとに論理演算が定義されています。
| 入力変数 | 出力条件 | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| あ | B | そして | NAND | または | または |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
ド・モルガンの定理のルールは、2 つの入力変数 x と y を使用して、 OR 、 AND 、および NOT のブール式から生成されます。ドモルガンの第 1 定理は、2 つの入力変数の AND 演算を実行し、その結果の NOT 演算を実行すると、結果はその変数の補数の OR 演算と同じになるというものです。ドモルガンの第 2 定理は、2 つの入力変数の OR 演算を実行し、 ない 結果を演算すると、結果はその変数の補数の AND 演算と同じになります。
ド・モルガンの第一定理
最初の定理によれば、AND 演算の補数の結果は、その変数の補数の OR 演算と等しくなります。したがって、これは NAND 関数と同等であり、(A.B)' = A'+B' を証明する負の OR 関数であり、次の表を使用してこれを示すことができます。
| 入力 | 各期間の出力 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| あ | B | AB | (A.B)」 | あ' | B' | A'A+B' |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
ド・モルガンの第 2 定理
2 番目の定理によれば、OR 演算の補数の結果は、その変数の補数の AND 演算と等しくなります。したがって、これは NOR 関数と同等であり、(A+B)' = A'.B' を証明する負の AND 関数であり、次の真理値表を使用してこれを示すことができます。
| 入力 | 各期間の出力 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| あ | B | A+B | (A+B)' | あ' | B' | A'.B' |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
いくつかの式を取り上げてドモルガンの定理を適用する例をいくつか挙げてみましょう。
例 1: (A.B.C)'
(A.B.C)'=A'+B'+C'
例 2: (A+B+C)'
(A+B+C)'=A'.B'.C
例 3: ((A+BC')'+D(E+F')')'
この式にドモルガンの定理を適用するには、次の式に従う必要があります。
1) 完全な表現では、まず、ドモルガンの定理を適用できる項を見つけ、各項を単一の変数として扱います。
それで、
2) 次に、ドモルガンの第 1 定理を適用します。それで、
3) 次に、ルール番号 9、つまり (A=(A')') を使用して二重バーをキャンセルします。
4) 次に、ドモルガンの第 2 定理を適用します。それで、
5) ルール番号 9 を再度適用して、二重バーをキャンセルします。
さて、この式には規則や定理を適用できる項がありません。ということで、これが最後の表現です。
例 3: (AB'.(A + C))'+ A'B.(A + B + C')'
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