微積分の導関数 微積分の公式は、さまざまな関数の導関数を簡単に見つけるために広く使用されており、数学や工学などのさまざまな分野を探索するのにも役立つため、微積分の重要なツールの 1 つです。

この記事では、すべてのことについて説明します。 微分公式 一般的な微分公式、対数関数および指数関数の微分公式、三角比の微分公式、逆三角比の微分公式、および双曲線関数の微分公式が密接に含まれます。微分公式は、クラス 12 の生徒にとってボード試験のために重要です。また、さまざまな導関数公式を使用して導関数の例をいくつか解きます。微分公式のトピックを詳しく見てみましょう。

目次

• デリバティブとは何ですか?
• 微分公式とは何ですか?
• 基本的な微分公式 – 微積分における微分規則
• 導関数一覧
• 他のいくつかの導関数式
• デリバティブを見つけるにはどうすればよいですか?
• 微分公式の応用

デリバティブとは何ですか?

の デリバティブ 任意の変数に対する関数の割合を表します。関数 f(x) の導関数は、f'(x) または (d/dx) [f(x)] と表されます。導関数を見つけるプロセスは微分と呼ばれます。

最も基本的な導関数の公式は導関数の定義であり、次のように定義されます。

f'(x) = lim _h→0 [(f(x + h) – f(x))/h]

微分公式には、一般的な微分公式、三角関数の微分公式、逆三角関数の微分公式などがあります。

詳細を読む: 数学における微積分

微分公式とは何ですか?

微分公式は、独立変数に関する特定の関数の導関数を計算するのに役立つ数式です。簡単に言うと、導関数を見つけるのに役立つ式を導関数式と呼びます。さまざまな関数に対して複数の微分公式があります。

微分式の例

導関数の式の例をいくつか次に示します。

• 力の法則: f(x) = x の場合ⁿここで、n が定数である場合、導関数は次のように求められます。

f'(x) = nx ^n-1

• 定数ルール: f(x) = c (c が定数) の場合、導関数はゼロになります。

f'(x) = 0

• 指数関数: f(x) = e の場合^バツ、 それから：

f'(x) = e ^バツ

デリバティブに関連するすべての公式を体系的に説明しましょう。

基本的な微分公式 – 微積分における微分規則

導関数を求めるための最も基本的な公式のいくつかは次のとおりです。

• 定数ルール
• べき乗則
• 差の和のルール
• 製品ルール
• 商の法則
• 連鎖法則

これらのルールについて詳しく説明します。

デリバティブの定数規則

導関数の定数規則は次のように与えられます。

(d/dx) 定数 = 0

デリバティブのべき乗則

導関数のべき乗則は次のように与えられます。

(d/dx) x ⁿ = nx ^n-1

デリバティブの和差ルール

導関数の和と差の規則は次のように与えられます。

(d/dx) [f(x) ± g(x)] = (d/dx) f(x) ± (d/dx) g(x)

デリバティブ商品ルール

デリバティブの積則は次のように与えられます。

(d/dx) [f(x). g(x)] = f'(x)。 g(x) + f(x)。 g'(x)

デリバティブの商ルール

導関数の商規則は次のように与えられます。

(d/dx) [f(x)/g(x)] = [f'(x). g(x) – f(x)。 g'(x)]/[g(x)] ²

デリバティブの連鎖ルール

導関数の連鎖規則は次のように与えられます。

(d/dx) [f(g(x))] = (d/dx) [f(g(x))] × (d/dx) [g(x)]

導関数一覧

さまざまな関数の導関数を以下に示します。

指数関数と対数微分の公式

指数関数と対数関数の微分公式を以下に示します。

• (d/dx) e^バツ= そして^バツ
• (d/dx)a^バツ= a^バツで
• (d/dx) ln x = (1/x)
• (d/dx) ログ_あるx= (1/x lna)

続きを読む、

• 対数
• 指数関数の導関数

三角関数の微分公式

三角関数の微分公式を以下に示します。

• (d/dx) sin x = cos x
• (d/dx) cos x = -sin x
• (d/dx) タン x = 秒²バツ
• (d/dx) cot x = -cosec²バツ
• (d/dx) 秒 x = 秒 x タン x
• (d/dx) cosec x = – cosec x cot x

詳しくはこちら 三角関数の導関数 。

逆三角関数の微分式

逆三角関数の微分公式を以下に示します。

• (d/dx) なし^-1x = 1/[√(1 – x²)]
• (d/dx) cos^-1x = 1/[√(1 – x²)]
• (d/dx) それで^-1x = 1/(1 + x²)
• (d/dx) ベビーベッド^-1x = -1/(1 + x²)
• (d/dx) 秒^-1x = 1/[|x|√(x²- 1)]
• (d/dx) コ秒^-1x = -1/[|x|√(x²- 1)]

続きを読む、 逆三角関数の導関数 。

双曲線関数の導関数

三角関数の微分公式を以下に示します。

• (d/dx) シン x = コシュ x
• (d/dx) コッシュ x = シン x
• (d/dx) Tanh x = それ自体²バツ
• (d/dx) coth x = -cosech²バツ
• (d/dx) 自己 x = -自己 x タンハ x
• (d/dx) cosech x = -cosech x coth x

他のいくつかの導関数式

他にも、陰関数、パラメトリック関数、高次導関数などの関数がいくつかあり、その導関数の公式を以下に示します。

暗黙的な導関数式

陰関数の導関数を求める方法は、陰的微分と呼ばれます。導関数を暗黙的に求める方法を理解するために例を見てみましょう。

例: xy = 2 の導関数を求める

解決：

(d/dx) [xy] = (d/dx) 2

⇒ x(dy/dx) + y(dx/dx) = 0

⇒ x(dy/dx) + y(1) = 0

⇒ x(dy/dx) + y = 0

⇒ x(dy/dx) = -y

⇒ (dy/dx) = -y/x

与えられた方程式から y = 2/x

(dy/dx) = -(2/x)/x

⇒ (dy/dx) = -(2/x²)

詳しくはこちら 暗黙的な微分 。

パラメトリック微分公式

関数 y(x) が 3 番目の変数 t と x の項で表現され、y が x = f(t) および y = g(t) で表現できる場合、このタイプの関数はパラメトリック関数と呼ばれます。

y が x の関数であり、x = f(t) と y = g(t) がパラメーター t の 2 つの微分可能な関数である場合、パラメトリック関数の導関数は次のように求められます。

(dy/dx) = (dy/dt)/(dx/dt)、ただし (dx/dt) ≠ 0

詳しくはこちら パラメトリック微分 。

高次の微分公式

関数の導関数を複数回求めると、関数の高次導関数が得られます。

n ^番目 導関数 = d ⁿ y/(dx) ⁿ

詳しくはこちら 高次導関数 。

デリバティブを見つけるにはどうすればよいですか?

関数の導関数を見つけるには、次の手順に従います。

• まず、関数の型が代数関数であるか、三角関数であるかなどを確認します。
• 型を見つけたら、対応する微分公式を関数に適用します。
• 結果の値は、導関数の公式を使用して関数の導関数を与えます。

微分公式の応用

微分公式には多くの応用があります。これらのアプリケーションの一部を以下に示します。

• 微分関数は、任意の量の変化率を求めるために使用されます。
• 最大値と最小値を見つけるために使用できます。
• 関数の増減に使用します。

他の人はこちらも見ています:

• 微分公式
• 微分・積分の公式
• 対数微分

微分公式の解答例

例 1: x の導関数を求める ⁵ 。

解決：

y = x とします⁵

ディクストラ

⇒ y’ = (d/dx) [x⁵]

⇒ y’ = 5(x^5-1)

⇒ y' = 5x⁴

例 2: log の導関数を求める ₂ バツ。

解決：

y = 対数とします₂バツ

⇒ y’ = (d/dx) [log₂バツ]

⇒ y’ = 1/ [x ln2]

例 3: 関数 f(x) = 8 の導関数を求めます。 6 ^バツ

解決：

f(x) = 8 。 6^バツ

⇒ f'(x) = (d/dx) [8 . 6^バツ]

⇒ f'(x) = 8 。 (d/dx) [6^バツ]

⇒ f'(x) = 8[6x ln 6]

例 4: 関数 f(x) = 3sinx + 2x の導関数を求めます。

解決：

f(x) = 3 sinx + 2x

⇒ f'(x) = (d/dx)[3 sinx + 2x]

⇒ f'(x) = (d/dx)[3 sinx] + (d/dx)[2x]

⇒ f'(x) = 3(d/dx)[sinx] + 2(d/dx)(x)

⇒ f'(x) = 3 cosx + 2(1)

⇒ f'(x) = 3 cosx + 2

例 5: 関数 f(x) = 5cos の導関数を求めます。 ^-1 x + e ^バツ

解決：

f(x) = 5cos^-1x + e^バツ

⇒ f'(x) = (d/dx)[5cos^-1x + e^バツ]

⇒ f'(x) = (d/dx)[5cos^-1x] + (d/dx)[e^バツ]

⇒ f'(x) = 5(d/dx)[cos^-1x] + (d/dx)[e^バツ]

⇒ f'(x) = 5[-1/√(1 – x²)] + および^バツ

⇒ f'(x) = [-5/√(1 – x²)] + および^バツ

微分公式の練習問題

問題 1: 評価: (d/dx) [x⁴]。

問題 2: y = 5cos x の導関数を求めます。

問題 3: y = cosec x + cot x の導関数を求めます。

問題 4: f(x) = 4 の導関数を求めます。^バツ+ログ₃× + それで^-1バツ。

問題 5: 評価: (d/dx) [40]。

問題 6: f(x) = x の導関数を求めます。⁵+5倍³+ 1 。

微分式に関するよくある質問

デリバティブとは何ですか?

任意の変数に対する関数の変化率を表す値は微分値と呼ばれます。

デリバティブはどのように表現されますか?

導関数は (d/dx) として表されるか、f(x) が関数の場合、f(x) の導関数は f'(x) として表されます。

定数の導関数はどのように計算されますか?

定数の導関数は常にゼロです。数学的表記では、「C」が定数の場合、dC/dx = 0 となります。

x の一般的な導関数を書きます。ⁿ。

x の導関数の一般式ⁿ= nx^n-1。

関数の導関数を計算するにはどうすればよいですか?

関数の導関数を計算するには、指定された関数に従って導関数の公式を適用できます。

対数関数の微分の公式は何ですか?

自然対数関数 ln(x) の導関数は 1/x です。数学的表記では、y = ln(x) の場合、dy/dx = 1/x となります。

指数関数の導関数を求めるにはどの公式が使用されますか?

指数関数の導関数、y = a^バツ(「a」は定数です)、式 dy/dx = a を使用して求められます。^バツ×ln(a)。

高次導関数とは何ですか?

高次導関数は、複数回実行される関数の導関数です。 2 番目の導関数は 1 番目の導関数、3 番目の導関数は 2 番目の導関数、というようになります。

eの微分公式とは^バツ?

関数 f(x) = e の導関数^バツ(「e」はオイラー数、約 2.71828) は単に f'(x) = e です。^バツ。

u/v の導関数を書きます。

2 つの関数 u(x) と v(x) の商の導関数は、商規則によって求められます。

d(u/v)/dx = (v × du/dx – u × dv/dx)/(v ² )

1/xの微分公式とは何ですか?

関数 f(x) = 1/x の導関数は次のように求められます。

f'(x) = -1/x ²