商ルールは、他の 2 つの関数の商である関数の導関数を見つける方法です。 これは、ある関数を別の関数で分割する問題を区別するために使用される方法です。 f(x)/g(x) の形式の関数の導関数を見つける必要がある場合は、商ルールを使用します。

解決済みの例を参考に、微積分の商の法則、その公式と導出について学びましょう。

商ルールの定義

商の法則は次の法則です。 差別化 次の形式で与えられる関数のうち、 分数 、ここで両方とも 分子 そして 分母 は個別の機能です。商の法則は、 微積分 2 の商 (比) である関数の導関数を求めるため 微分可能関数 。これは、ある関数が別の関数で分割される式を区別する方法を提供します。

関数 f(x) = g(x)/h(x) が与えられたとします。 f(x) の微分、 f'(x) は次のように求められます。

f'(x) = [g(x) × h'(x) – h(x) × g'(x)] / [h(x)] ²

商ルールの公式

商則公式とは、商関数で表される関数の微分を求めるための公式です。以下に商ルールの式を示します。

d/dx [u(x)/v(x)] = [v(x) × u'(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

どこ、

• u(x) 微分可能な関数である最初の関数、
• u'(x) 関数 u(x) の導関数です。
• v(x) 2 番目の関数は微分可能関数であり、
• v'(x) は関数 v(x) の導関数です。

商ルールの証明

次の方法を使用して商ルールを導出できます。

• チェーンルールの使用
• 暗黙的な微分の使用
• 微分プロパティと極限プロパティの使用

それでは、それらについて詳しく見てみましょう。

連鎖ルールを使用した商ルールの導出

証明する： H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) 】 ²

与えられる: H(x) = f(x)/g(x)

証拠：

H(x) = f(x)/g(x)

⇒ H(x) = f(x).g(x)^-1

プロダクト ルールを使用すると、

H'(x) = f(x)。 d/dx [g(x)^-1] + g(x)^-1。 f'(x)

べき乗則を適用すると、

H'(x) = f(x)。 (-1)[g(x)^-2.g'(x)] + g(x)^-1。 f'(x)

⇒ H'(x) = – [f(x).g'(x)] / g(x)²+ f'(x) / g(x)

H'(x) = [-f(x).g'(x)] + f'(x).g(x)] / g ² （バツ）

したがって、商の法則が証明されます。

続きを読む：

• 連鎖法則

暗黙的な微分を使用した商ルールの導出

f(x) = u(x)/v(x) となるような微分可能な関数 f(x) を考えてみましょう。

u(x) = f(x).v(x)

積ルールを使用すると、

u'(x) = f'(x)⋅v(x) + f(x)v'(x)

f'(x) を求めます

f'(x) = [u'(x) – f(x)v'(x)] / v(x)

f(x) の値を f(x) = u(x)/v(x) として代入します。

f'(x) = {u'(x) – u(x)/v(x).[v'(x)]}/v(x)

f'(x) = {u'(x)v(x) – u(x).v'(x)} / v ² （バツ）

したがって、商の法則が証明されます。

続きを読む

• 暗黙的な微分

微分プロパティと極限プロパティを使用した商ルールの導出

f(x) = u(x)/v(x) となるような微分可能な関数 f(x) を考えてみましょう。

私達はことを知っています、

f'(x) = lim_h→0[f(x+h) – f(x)] / h

f(x) = u(x)/v(x) の値を代入します。

f'(x) = lim_h→0[u(x+h)/v(x+h) – u(x)/v(x)] / h

f'(x) = lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h.v(x).v(x+h)

制限を分散すると、

f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h}.{lim_h→01/v(x).v(x+h)}

⇒ f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h) + u(x)v(x) – u(x)v(x)] / h}.{ 1/v(x).v(x)}

⇒ f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x)] / h} {lim_h→0[u(x)v(x+h) – u(x)v(x)] / h}.{ 1/インチ²（バツ）}

⇒ f'(x) = v(x){lim_h→0[u(x+h) – u(x)] / h} -u(x) {lim_h→0[-v(x+h) + v(x)] / h}.{ 1/インチ²（バツ）}

f'(x) = [v(x).u'(x) – u(x).v'(x)] / v ² （バツ）

これは必要な商ルールです。

続きを読む

• 極限の性質
• デリバティブのルール

微分で商の法則を使用するには?

商ルールを適用するには、次の手順に従います。

ステップ1： 個々の関数を u(x) および v(x) として記述します。

ステップ2： 個々の関数 u(x) と v(x) の導関数を求めます。つまり、u'(x) と v'(x) を求めます。ここで商ルールの式を適用します。

f'(x) = [u(x)/v(x)]' = [u'(x) × v(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

ステップ 3: 上の方程式を単純化すると、f(x) の微分が得られます。

例を参考にすると、この概念を理解できます。

例: f(x) = 2x の場合に f'(x) を求める ³ /(x+2)

考えると、

f(x) = 2x³/(x + 2)

f(x) = u(x)/v(x) と比較すると、次のようになります。

• u(x) = 2x³
• v(x) = (x + 2)

u(x) と v(x) を微分します

• u'(x) = 6x²
• v'(x) = 1

商の法則を使用すると、

f'(x) = [v(x)u'(x) – u(x)v'(x)]/[v(x)]²

⇒ f'(x) = [(x+2)•6x²– 2倍³•1]/(x + 2)²

⇒ f'(x) = (6x³+12倍²– 2倍³)/(x + 1)²

⇒ f'(x) = (4x³+12倍²)/(x + 1)²

積と商のルール

微分の積則は、関数が 2 つの関数の積として与えられる場合に、関数の微分を求めるために使用されます。

グレートアンドラ

微分の積則 P(x) = f(x).g(x) の場合、 と述べています。

P'(x) = f(x).g'(x) + f'(x).g(x)

一方、 微分の商則 は、2 つの関数の除算、つまり f(x) = p(x)/q(x) として表される関数を微分するために使用されます。

次に、次を使用して f(x) を導出します。 商の法則 次のように計算されます。

f'(x) = {q(x).p'(x) – p(x).q'(x)}/q ² （バツ）

必読

• 微積分の積規則
• 連鎖法則
• 微分・積分の公式
• 対数微分
• 微積分の基礎
• デリバティブの適用

商ルールの例

商の法則に関するいくつかのサンプル問題を解いてみましょう。

例 1: 差別化する old{y=frac{x^3-x+2}{x^2+5}} 。

解決：

分子関数と分母関数は両方とも微分可能です。

商ルールを適用すると、

y’=frac {d}{dx}[frac{x^3-5+2}{x^2+5}]

⇒y’= frac{[d/dx(x^3-x+2)(x^2+5)-(x^3-x+2)d/dx(x^2+5)]}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{[(3x^2-1)(x^2+5)-(x^3-x+2)(2x)]}{[x^2+5]^2}=frac{(3x^4+15x^2-x^2-5)-(2x^4-2x^2+4x)}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{x^4+16x^2-4x-5}{[x^2+5]^2}

例 2: f(x) = Tan x を微分します。

解決：

Tan x は sinx/cosx と書きます。つまり、

タン x = (sin x) / (cos x)

分子関数と分母関数は両方とも微分可能です。

商ルールを適用すると、

f' (x)='frac{(d/dx(sinx))(cosx)-(d/dx(cosx))(sinx)}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{cosx.cosx-(-sinx)(sinx)}{cos^x}' '='

⇒f' (x)='frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{1}{cos^2x}' '='

例 3: 微分、f(x)= e ^バツ /バツ ²

解決：

分子関数と分母関数は両方とも微分可能です。

商ルールを適用すると、

f' (x)='[frac{d/dx(e^x)(x^2)-d/dx(x^2)(e^x)}{x^4}]' '='

⇒f' (x)='frac{e^x.x^2-2xe^x}{x^4}' '='

例 4: 微分します。 y=frac{cosx}{x^2}

解決：

分子関数と分母関数は両方とも微分可能です。

商ルールを適用すると、

y’=frac{d/dx(cosx)(x^2)-d/dx(x^2)(cosx)}{x^4}

⇒y’=frac{-sinx(x^2)-(2x)(cosx)}{x^4}

⇒y’=frac{-(x^2)sinx-(2xcosx)}{x^4}

例 5: 微分、f(p) = p+5/p+7

解決：

分子関数と分母関数は両方とも微分可能です。

商ルールを適用すると、

f' (p)='d/dx[frac{p+5}{p+7}]' '='

⇒f' (p)='[frac{d/dx(p+5)(p+7)-d/dx(p+7)(p+5)}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{p+7-p-5}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{2}{(p+7)^2}]' '='

練習問題

ここでは、商の法則に関する練習問題をいくつか紹介します。

P1. f(x) = (x の導関数を求めます ² + 3)/(x なし)

P2。 f(x) = (2x の導関数を求めます ² + 3x + 5)/(x + 3)

P3. f(x) = (x + 3)/(ln x) の導関数を求めます。

P4. f(x) = (x.sin x)/(x の導関数を求めます。 ² )

微分の商の法則 – FAQ

微分の商則とは何ですか?

微分の商規則は、商の形式で与えられる関数、つまり 2 つの関数の除算として与えられる関数の微分を求めるために使用される規則です。

商の法則の公式とは何ですか?

商の法則の式は、

f'(x) = [u(x)/v(x)]' = [u'(x) × v(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

この式は、f(x)/g(x) として表される関数の微分を与えます。

商の法則の公式を導き出すには?

商ルールは 3 つの方法を使用して導出できます。

• 導関数および極限プロパティによる
• 暗黙的な微分による
• チェーンルールによる

商ルールの使い方

商ルールは、f(x) と g(x) の個々の微分が存在するような形式 f(x) と g(x) のすべての関数を含む 2 つの関数の除算として表現される関数の微分を見つけるために使用されます。そして g(x) は決してゼロにはなりません。

除算関数の導関数はどうやって求めますか?

除算関数の導関数は、商則公式を使用して簡単に求めることができます。つまり、H(x) が H(x) = f(x)/g(x) として表されるような H(x) の微分を見つける必要がある場合です。その導関数は次のように表されます。

H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) 】 ²

商の極限ルールとは何ですか?

限界値の商ルールでは、商関数の限界値が各関数の限界値の商に等しいと規定されています。