鋭角、鈍角、二等辺三角形、正三角形…一口に三角形と言っても、さまざまな種類がありますが、「特別」なものはほんのわずかです。これらの特別な三角形には、一貫性があり予測可能な辺と角度があり、幾何学や三角法の問題をショートカットするために使用できます。そして、30-60-90 の三角形 (「サーティ シックス ナインティ」と発音します) は、実際には非常に特殊なタイプの三角形です。

このガイドでは、30-60-90 トライアングルとは何か、それが機能する理由、そしてその知識をいつ (そしてどのように) 活用するのかを説明します。それでは早速始めましょう！

30-60-90 の三角形とは何ですか?

30-60-90 三角形は、常に 30 度、60 度、90 度の角度を持つ特別な直角三角形 (直角三角形とは、90 度の角度を含む任意の三角形です) です。これは特別な三角形であるため、常に相互に一貫した関係にある辺の長さの値も持っています。

基本的な 30-60-90 の三角形比率は次のとおりです。

30°の角度の反対側: $x$

60°の角度の反対側: $x * √3$

90°の角度の反対側: x$

たとえば、30-60-90 度の三角形の辺の長さは次のようになります。

2、2√3、4

7、7√3、14

√3、3、2√3

C++のベクトルのサイズ

(なぜ長い方の脚が 3 なのでしょうか?この三角形では、最も短い脚 ($x$) は $√3$ であるため、長い方の脚の場合、$x√3 = √3 * √3 = √9 = 3$ となります。そして斜辺は最短の脚の 2 倍、つまり √3$ です)

等々。

30° の角度の反対側が常に最小になります 30 度が最小の角度であるためです。 60°の反対側が中間の長さになります , なぜなら、60度はこの三角形の中程度の角度だからです。 そして最後に、90° の角度の反対側が常に最大の辺 (斜辺) になります。 90度が最大の角度だからです。

他のタイプの直角三角形と似ているように見えますが、30-60-90 の三角形が特別である理由は、1 つおきの寸法を見つけるのに 3 つの情報しか必要ないからです。 2 つの角度の値と 1 つの辺の長さ (どちらの辺かは関係ありません) がわかっていれば、三角形について知っておくべきことはすべてわかります。

たとえば、30-60-90 の三角形の公式を使用して、以下の三角形の残りの情報の空白をすべて埋めることができます。

例1

これは、斜辺が一方の脚の長さの 2 倍である直角三角形であることがわかります。これは、これが 30-60-90 の三角形でなければならず、指定された小さい辺が 30° の反対側にあることを意味します。

したがって、長い脚は 60° の角度の反対側にあり、 * √3$、つまり √3$ になる必要があります。

例 2

現地の日付

これは 30 度という 1 つの測定値を持つ直角三角形であることがわかるため、これは 30-60-90 の三角形であることがわかります。この場合、マークのない角度は 60° でなければなりません。

18 は 60° の角度の反対側の寸法であるため、$x√3$ に等しくなければなりません。最も短い脚のサイズは /√3$ でなければなりません。

(分母に根号/平方根を含めることはできないため、脚の長さは実際には /{√3} * {√3}/{√3} = {18√3}/3 = 6√3$ になることに注意してください)。

そして斜辺は (18/√3)$ になります

(繰り返しますが、分母に根号を含めることはできないので、最終的な答えは実際には √3$ => √3$ の脚の長さの 2 倍になることに注意してください)。

例 3

ここでも、2 つの角度測定値 (90° と 60°) が与えられているため、3 番目の測定値は 30° になります。これは 30-60-90 の三角形で斜辺は 30 であるため、最も短い脚は 15 に等しく、長い脚は 15√3 に等しくなります。

マジック エイト ボールを参照する必要はありません。これらのルールは常に機能します。

なぜ機能するのか: 30-60-90 の三角形定理の証明

しかし、なぜこの特別な三角形がこのように機能するのでしょうか?これらのルールが合法であることはどうやってわかるのでしょうか? 30-60-90 の三角形の定理がどのように機能するかを正確に説明し、これらの辺の長さが常に一貫している理由を証明しましょう。

まず、直角三角形のことを少し忘れて、次の図を見てみましょう。 正三角形。

正三角形とは、すべての辺と角がすべて等しい三角形です。三角形の内角の合計は常に 180° となり、0/3 = 60$ となるため、 正三角形には常に 3 つの 60° の角度があります。

次に、三角形の最上部の角度から底辺までの高さを下げてみましょう。

Javaの更新

私たちは今、 2 つの直角と 2 つの合同 (等しい) 三角形を作成しました。

それらが等しい三角形であることはどうやってわかるのでしょうか?高さから落としたので、 等辺 三角形では、底辺をちょうど半分に分割しました。新しい三角形は一辺の長さ (高さ) も共有しており、それぞれの斜辺の長さも同じです。 3 つの辺の長さが共通 (SSS) であるため、これは次のことを意味します。 三角形は合同です。

注: 2 つの三角形は、辺-辺-辺の長さ (SSS) の原則に基づいて合同であるだけでなく、辺-角度-辺の測定 (SAS)、角度-角度-辺 (AAS)、および角度-にも基づいています。サイドアングル (ASA)。基本的に？それらは間違いなく一致します。

2 つの新しい三角形の合同性が証明されたので、上角はそれぞれ 30 度に等しくなければならないことがわかります (各三角形にはすでに 90 度と 60 度の角度があり、合計は 180 度になる必要があるため)。これはつまり 30-60-90の三角形を2つ作りました。

そして、正三角形の底辺を半分にカットしたことがわかっているので、30-60-90 の各三角形の 30° の角度の反対側の辺 (最短の辺) が斜辺の長さのちょうど半分であることがわかります。 。

そこで、元の辺の長さを $x$ 、二等分した長さを $x/2$ と呼びましょう。

あとは、2 つの三角形が共有する中間辺の長さを見つけるだけです。これを行うには、ピタゴラスの定理を使用するだけです。

$a^2 + b^2 = c^2$

$(x/2)^2 + b^2 = x^2$

$b^2 = x^2 - ({x^2}/4)$

$b^2 = {4x^2}/4 - {x^2}/4$

$b^2 = {3x^2}/4$

$b = {√3x}/2$

したがって、$x/2、{x√3}/2、x$ が残ります。

ここで、作業を容易にし、すべての分数を避けるために、各メジャーを 2 で乗算してみましょう。そうすれば、次のものが残ります。

$x$、$x√3$、x$

したがって、30-60-90 の三角形は次のようになります。 いつも $x$、$x√3$、x$ (または $x/2$、${√3x}/2$、$x$) の一貫した辺の長さを持ちます。

私たちにとって幸運なことに、これらすべてがなくても 30-60-90 の三角形の法則が正しいことを証明できます。

30-60-90 の三角形ルールを使用する場合

30-60-90 の三角形の法則を知っていれば、さまざまな数学の問題、つまりさまざまな幾何学や三角法の問題で時間と労力を節約できます。

ジオメトリ

30-60-90 の三角形を正しく理解することで、これらの比率のルールを知らなければ解くことが不可能、または少なくとも「長い道のり」を解くのにかなりの時間と労力がかかる幾何学の問題を解くことができるようになります。

特別な三角形比を使用すると、不足している三角形の高さまたは脚の長さを (ピタゴラスの定理を使用せずに) 計算し、不足している高さまたは底辺の長さの情報を使用して三角形の面積を見つけ、周囲長をすばやく計算できます。

質問に答えるためにスピードが必要なときは、30-60-90 ルールなどのショートカットを覚えておくと便利です。

三角法

30-60-90 の三角形比を覚えて理解すると、電卓を使わずに、または答えを 10 進数形式で近似する必要もなく、多くの三角法の問題を解くことができます。

30-60-90 の三角形には、各角度の非常に単純なサイン、コサイン、タンジェントがあります (これらの測定値は常に一貫しています)。

30°の正弦は常に /2$ になります。

60°のコサインは常に /2$ になります。

whileループJavaを実行します

他のサイン、コサイン、タンジェントは非常に単純ですが、これら 2 つは最も覚えやすく、テストに出題される可能性が高いものです。したがって、これらのルールを知っていれば、三角法の測定値をできるだけ早く見つけることができます。

30-60-90 ルールを覚えるためのヒント

これらの 30-60-90 比率ルールが便利であることはご存知でしょうが、情報を頭の中に留めておくにはどうすればよいでしょうか? 30-60-90 の三角形のルールを覚えるということは、1:√3:2 の比率を覚えて、最短の辺の長さが常に最短の角度 (30°) の反対側にあり、最長の辺の長さが常に最短の角度 (30°) の反対側にあることを知ることです。最大角度（90°）。

「」と考えて比率を覚える人もいます。 $i x$、$o 2 i x$、$i x o √ o3$、 なぜなら、「1、2、3」の連続は通常覚えやすいからです。 この手法を使用する場合の 1 つの注意点は、最長の辺が実際には x$ であることを覚えておくことです。 ない $x$ に $√3$ を掛けたもの。

比率を覚えるもう 1 つの方法は、 1:ルート 3:2 の比率で適切な順序で記憶術の言葉遊びを使用します。 たとえば、「ジャッキー・ミッチェルはルー・ゲーリッグを三振し、ルーシーにも勝った」: 1、ルート 3、2。 （そして、これはまさに野球の歴史上の事実なのです！）

これらが気に入らない場合は、独自の記憶装置を試してみてください。歌に合わせて比率を歌ったり、独自の「1、ルート 3、2」のフレーズを見つけたり、比率の詩を考えたりしてください。暗記したくない場合は、30-60-90 の三角形が正三角形の半分であることを覚えて、そこから寸法を計算することもできます。

ただし、これらの 30-60-90 のルールを覚えておくことは理にかなっています。将来の幾何学や三角法の質問に備えて、これらの比率を念頭に置いてください。

暗記は友達ですが、それを実現することはできます。

例 30-60-90 の質問

30-60-90 の三角形の方法と理由を確認したので、いくつかの練習問題に取り組んでみましょう。

ジオメトリ

建設作業員が高さ 40 フィートのはしごを地面から 30 度の角度で建物の側面に立てかけています。地面は水平で、建物の側面は地面に対して垂直です。はしごは建物の最も近い足元までどのくらいの距離まで届きますか?

Googleは何の略ですか

30-60-90 の特殊な三角形のルールを知らなければ、三角形の一辺の寸法しかないため、この問題の解決策を見つけるには三角法と電卓を使用する必要があります。しかし、私たちはこれが問題であることを知っているので、 特別 三角形なら、ほんの数秒で答えが見つかります。

建物と地面が互いに垂直である場合、それは建物と地面が直角 (90°) を形成していることを意味します。はしごが 30 度の角度で地面と接することも当然のことです。したがって、残りの角度は 60° でなければならないことがわかり、これは 30-60-90 の三角形になります。

これで、この 30-60-90 の斜辺 (最長辺) が 40 フィートであることがわかりました。つまり、最短辺はその半分の長さになります。 (最長の辺は常に最短の辺の 2 倍 (x$) であることに注意してください。) 最短の辺は 30° の角度の反対側にあり、その角度は地面からのはしごの度数を表すため、次のことが意味されます。はしごの上部は地面から 20 フィートの高さで建物にぶつかります。

最終的な答えは 20 フィートです。

三角法

直角三角形で、sin Θ = /2$ で、最短の脚の長さが 8 の場合、斜辺ではない欠けている辺の長さはいくらですか?

30-60-90 の法則を知っているので、ピタゴラスの定理や電卓を使わずにこの問題を解くことができます。

これは直角三角形であると言われました。特別な直角三角形のルールから、正弦 30° = /2$ であることがわかります。したがって、欠けている角度は 60 度でなければならず、これは 30-60-90 の三角形になります。

そして、これは 30-60-90 の三角形で、最も短い辺は 8 であると言われたので、斜辺は 16 でなければならず、欠けている辺は * √3$ または √3$ でなければなりません。

最終的な答えは 8√3 です。

テイクアウト

を思い出して、 30-60-90 個の三角形のルールは、さまざまな数学の問題をショートカットするのに役立ちます。 。ただし、これらのルールを知っておくと便利なツールですが、ルールがなくてもほとんどの問題は解決できることを覚えておいてください。

自分にとって意味のある方法で、$x$、$x√3$、x$、および 30-60-90 のルールを追跡し、可能であればそれらを正確に保つように努めますが、心配な場合はパニックにならないでください。正念場になるとブランクになります。いずれにせよ、これは手に入ります。

さらに練習が必要な場合は、これをチェックしてください 30-60-90 三角クイズ 。楽しい受験を！