直線の方程式 飛行機内では次のように与えられます y = mx + C ここで、x と y は平面の座標、m は直線の傾き、C は切片です。ただし、線の構築は平面のみに限定されるわけではありません。

線は 2 点間の経路であることがわかっています。これら 2 つの点は、単一の平面内であっても空間内にあっても、どこにでも配置できます。平面の場合、線の位置は (x, y) として与えられる順序ペアに配置された 2 つの座標によって特徴付けられます。一方、空間の場合、点の位置は (x として表される 3 つの座標によって特徴付けられます)。 、y、z)。

この記事では、3D 空間における線の方程式のさまざまな形式を学びます。

目次

• 直線の方程式とは何ですか?
• 3D における直線の方程式
• 3D における線分方程式のデカルト形式
• 3D における線の方程式のベクトル形式
• 3D ラインの数式
• 3D における直線の方程式の解決例

直線の方程式とは何ですか?

直線の方程式は、直線を結ぶ点の座標で直線を表現する代数的な方法です。直線の方程式は常に次のようになります。 一次方程式 。

線形方程式から得られた点をプロットしようとすると、次のようになります。 直線 。直線の標準方程式は次のように与えられます。

ax + by + c = 0

どこ、

• a と b は x と y の係数です
• c は定数項です

線分方程式の他の形式を以下に示します。

ここで、3D での直線の方程式を学習します。

3D における直線の方程式

3D の直線の方程式には、空間内に位置する 2 つの点が必要です。各点の位置は、(x、y、z) で表される 3 つの座標を使用して与えられます。

線分の 3D 方程式は 2 つの形式で提供されます。 デカルト形式 そして ベクトル形式 。この記事では、デカルト形式とベクトル形式の両方で 3D の線の方程式を学習し、方程式を導出する方法も学習します。直線等式のさまざまなケースを以下に示します。

• 線のデカルト形式
  • 2点を通る直線
  • 指定された点を通過し、指定されたベクトルに平行な線
• 線のベクトル形式
  • 2点を通る直線
  • 指定された点を通過し、指定されたベクトルに平行な線

3D における線分方程式のデカルト形式

線のデカルト形式は、線が通過する空間にある 2 点の座標を使用して与えられます。ここでは、線が 2 点を通過する場合と、線が点を通過しベクトルに平行である場合の 2 つのケースについて説明します。

ケース 1: 2 点を通過するデカルト形式の直線の 3D 方程式

2 つの点 A と B があり、その座標が A(x₁、 そして₁、 と₁) と B(x₂、 そして₂、 と₂）。

ミニマックスアルゴリズム

次に、デカルト形式の直線の 3D 方程式は次のように与えられます。

old{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

ここで、x、y、z は直交座標です。

2点を通る直線の方程式の導出

以下の手順を使用して、直線の 3D 方程式のデカルト形式を導き出すことができます。

• ステップ1： 指定された 2 つの点の対応する位置座標の差を取ることで、DR (方向比) を求めます。 私 = (x₂- バツ₁）、 メートル = (そして₂- そして₁）、 n = (z₂- と₁);ここ l、m、n DRです。
• ステップ2： 与えられた 2 つのポイントのどちらかを選択します。つまり、私たちは選択します （バツ₁、 そして₁、 と₁）。
• ステップ 3: 必要な点を通る直線の方程式を書きます。 （バツ₁、 そして₁、 と₁) と (x₂、 そして₂、 と₂）。
• ステップ 4: デカルト形式の直線の 3D 方程式は L として与えられます: (x – x₁)/l = (y – y₁)/m = (z – z₁)/n = (x – x₁）/（バツ₂- バツ₁) = (y – y₁）/（そして₂- そして₁) = (z – z₁）/（と₂- と₁)

どこ (XとZ) は、直線上にある任意の変数点の位置座標です。

例： 直線が 3 次元の 2 つの固定点を通過し、その位置座標が P (2, 3, 5) と Q (4, 6, 12) である場合、2 点形式を使用したデカルト方程式は次のように与えられます。

解決：

l = (4 – 2)、m = (6 – 3)、n = (12 – 5)

l = 2、m = 3、n = 7

点 P (2、3、5) の選択

必要な直線の方程式

L: (x – 2) / 2 = (y – 3) / 3 = (z – 5) / 7

ケース 2: 点を通過し、指定されたベクトルに平行なデカルト直線の 3D 方程式

直線が点 P(x₁、 そして₁、 と₁) であり、次のように与えられるベクトルに平行です。vec n = ahat i + bhat j + chat k 。

この場合、直線の方程式は次のように与えられます。

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

ここで、x、y、z は直交座標、a、b、c は方向余弦です。

点を通過し、指定されたベクトルに平行なデカルト直線の 3D 方程式の導出

位置ベクトルが次のように与えられる点 P があると仮定します。vec p原点から。 P を通る線が別のベクトルと平行になるようにします。vec n。 P を通る直線上の点 R を取ると、R の位置ベクトルは次のように与えられます。vec r 。

PRは並行して行われるため、vec n⇒overline {PR} = lambda vec n

ここで、直線 PR 上を移動すると、その線上にある点の座標は (x の形式になります)₁+ λa)、(および₁+ λb)、(z₁+ λc)、ここで λ は、移動する P からの方向に応じて、値の範囲が -∞ から +∞ までのパラメーターです。

したがって、新しい点の座標は次のようになります。

x = x₁+ λa ⇒ λ = x – x₁/a

y = y₁+ λb ⇒ λ = y – y₁/b

z = z₁+ λc ⇒ λ = z – z₁/c

上記の 3 つの方程式を比較すると、次のような直線の方程式が得られます。

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

例： 点 (2, 1, 3) を通りベクトル 3i – 2j + k に平行な直線の方程式を求めます。

解決：

点を通りベクトルに平行な直線の方程式は次のように与えられます。

(x – x₁)/a = (y – y₁)/b = (z – z₁)/c

私たちの質問からすると、×₁= 2、そして₁= 1、z₁= 3 および a = 3、b = -2 および c = k。したがって、必要な直線の方程式は次のようになります。

⇒ (x – 2)/3 = (y – 1 )/-2 = (z – 3)/1

3D における線の方程式のベクトル形式

3D における線の方程式のベクトル形式は、点の位置ベクトルを含むベクトル方程式を使用して与えられます。この見出しでは、2 つのケースについてベクトル形式で線の 3D 方程式を取得します。

ケース 1: ベクトル形式の 2 点を通過する直線の 3D 方程式

2 つの点 A と B があり、その位置ベクトルが次のように与えられると仮定します。vec aそしてvec b。

この場合、直線 L のベクトル方程式は次のように与えられます。

vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

どこ(vec b – vec a)は 2 点間の距離、λ はそこにあるパラメータです。 ライン上で。

ベクトル形式の 2 点を通る直線の 3 次元方程式の導出

2 つの点 A と B があり、その位置ベクトルが次のように与えられるとします。vec aそしてvec b。これで、線は任意の 2 点間の距離であることがわかりました。したがって、距離を取得するには 2 つの位置ベクトルを減算する必要があります。

⇒vec d = vec b – vec a

これで、この線上の任意の点が位置ベクトルの合計として与えられることがわかりました。vec a space or space vec b パラメータ λ と 2 点間の距離の位置ベクトルの積、つまりvec d

したがって、ベクトル形式の直線の方程式は次のようになります。vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)またはvec l = vec b + lambda (vec a – vec b)

例: 位置ベクトルが 2i + j – k および 3i + 4j + k として与えられる 2 点を通過する 3D の直線のベクトル方程式を求めます。

解決：

2 つの位置ベクトルが 2i + j – k および 3i + 4j + k として与えられるとします。

距離 d = (3i + 4j + k) – (2i + j -k) = i + 3j + 2k

直線の方程式は次のように与えられることがわかっています。vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

したがって、直線の方程式は次のようになります。vec l= 2i + j – k + λ(i + 3j + 2k)

ケース 2: 点を通りベクトルに平行な直線の 3 次元方程式のベクトル形式

位置ベクトルが次のように与えられる点 P があるとします。vec p。この線を別の線と平行にし、その位置ベクトルを次のように指定します。vec d 。

メディア送信

次に、直線「l」のベクトル方程式は次のように与えられます。

vec l = vec p + lambda vec d

ここで、λ は線上にあるパラメータです。

点を通りベクトルに平行な直線の 3 次元方程式のベクトル形式の導出

位置ベクトルが次のように与えられる点 P を考えます。vec p。この線がベクトルに平行であると仮定しましょうvec dこの場合、直線の方程式は次のようになります。vec l = lambda vec d。この線は点 P も通過するため、線上のいずれかの方向に点 P から離れると、点の位置ベクトルは次の形式になります。vec p + lambda vec d 。したがって、直線の方程式は次のようになります。vec l = vec p + lambda vec dここで、λ は線上にあるパラメータです。

例: 点 (-1, 3, 2) を通りベクトル 5i + 7j – 3k に平行な直線の方程式のベクトル形式を求めます。

解決：

点を通りベクトルに平行な直線の方程式のベクトル形式は次のように与えられることがわかっています。vec l = vec p + lambda vec d

点が (-1, 3, 2) であるとすると、点の位置ベクトルは -i + 3j + 2k となり、指定されたベクトルは 5i + 7j – 3k となります。

したがって、必要な直線の方程式は次のようになります。vec l = (-i + 3j + 2k) + λ(5i + 7j – 3k)。

3D ラインの数式

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• 直線の方程式
• 接線と法線
• 線の傾き

3D における直線の方程式の解決例

これらの解決済み練習問題を使用して、3D での直線の方程式を練習します。

例 1: 直線が 3 次元の 2 つの固定点を通過し、その位置ベクトルが (2 i + 3 j + 5 k) および (4 i + 6 j + 12 k) である場合、そのベクトル方程式は 2 点を使用します。形式はによって与えられます

解決：

{vec {p}}= (4 私 +6 j +12 k ) - (2 私 +3 j +5 k )

{vec {p}}= (2 私 +3 j +7 k ) ;ここ{vec {p}}直線に平行なベクトルです

位置ベクトルの選択 (2 私 +3 j +5 k )

必要な直線の方程式

L:{vec {r}}= (2 私 +3 j +5 k ) + t 。 (2 私 +3 j +7 k )

例 2: 位置座標が (3, 4, -7) と (1, -1, 6) である 3 次元空間内の 2 つの固定点を直線が通過する場合、その 2 点を使用したベクトル方程式は次のようになります。形式はによって与えられます

解決：

指定された点の位置ベクトルは (3 i + 4 j – 7 k) および (i – j + 6 k) になります。

{vec {p}}= (3 i + 4 j – 7 k) – (i – j + 6 k)

{vec {p}}= (2 i + 5 j – 13 k) ;ここ{vec {p}}直線に平行なベクトルです

位置ベクトル (i – j + 6 k) の選択

必要な直線の方程式

L:{vec {r}}= (i – j + 6 k) + t 。 (2 i + 5 j – 13 k)

例 3: 直線が 3 次元の 2 つの固定点を通過し、その位置ベクトルが (5 i + 3 j + 7 k) および (2 i + j – 3 k) である場合、そのベクトル方程式は 2 点形式を使用します。によって与えられます

解決：

{vec {p}}= (5 i + 3 j + 7 k) – (2 i + j – 3 k)

{vec {p}}= (3 i + 2 j + 10 k) ;ここ{vec {p}}直線に平行なベクトルです

位置ベクトルの選択 (2 i + j – 3 k)

必要な直線の方程式

L:{vec {r}}= (2 i + j – 3 k) + t 。 (3 i + 2 j + 10k)

例 4: 直線が 3 次元の 2 つの固定点を通過し、その位置座標が A (2, -1, 3) と B (4, 2, 1) である場合、その 2 点を使用するデカルト方程式は次のようになります。形式はによって与えられます

解決：

l = (4 – 2)、m = (2 – (-1))、n = (1 – 3)

l = 2、m = 3、n = -2

点 A (2、-1、3) の選択

必要な直線の方程式

L : (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (z – 3) / -2 または

L: (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (3 – z) / 2

例 5: 直線が 3 次元の 2 つの固定点を通過し、その位置座標が X (2, 3, 4) と Y (5, 3, 10) である場合、2 点形式を使用したデカルト方程式は次のように与えられます。

解決：

l = (5 – 2)、m = (3 – 3)、n = (10 – 4)

l = 3、m = 0、n = 6

点 X (2、3、4) の選択

必要な直線の方程式

L : (x – 2) / 3 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 6 または

L: (x – 2) / 1 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 2

3D での直線の方程式 – FAQ

3D における直線の方程式とは何ですか?

3D の直線の方程式は (x – x として与えられます)₁）/（バツ₂- バツ₁) = (y – y₁）/（そして₂- そして₁) = (z – z₁）/（と₂- と₁)

3D の直線方程式のデカルト形式とは何ですか?

3D の直線方程式のデカルト形式が 2 つの場合に与えられます

ケース 1: 直線が 2 点を通過する場合:{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

ケース 2: 直線が 1 点を通過し、ベクトルに平行な場合:{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

3D における直線の方程式のベクトル形式とは何ですか?

3D の直線の方程式のベクトル形式は、次の 2 つの場合について与えられます。

ケース 1: 2 つの点を通過する線:vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

ケース 2: 線が点を通過し、ベクトルに平行:vec l = vec p + lambda vec d

直線の傾き点方程式とは何ですか?

直線の傾き点方程式は y = mx + C として与えられます。ここで m は傾きです

直線の標準方程式とは何ですか?

直線の標準方程式は ax + by + c = 0 です。