ジオメトリ は、日常生活で目にするさまざまなものの形、角度、寸法、サイズを扱う数学の分野です。幾何学は、古代ギリシャ語の「地球」を意味する「ジオ」と「測定」を意味する「メトロン」に由来しています。

数学における幾何学 私たちの周囲の物理世界を理解する上で重要な役割を果たしており、建築や工学から芸術や物理学に至るまで、さまざまな分野で広範囲に応用されています。

がある ユークリッド幾何学の2種類の図形 : 二次元 そして 3次元形状 。フラット シェイプは、三角形、正方形、長方形、円を含む平面ジオメトリの 2D シェイプです。立方体、直方体、円錐などの立体幾何学における 3D 形状は、ソリッドとも呼ばれます。座標幾何学で説明されているように、基本的な幾何学は点、線、および平面に基づいています。

この記事では、ジオメトリ、ジオメトリの分野、 さまざまなタイプのジオメトリ、ジオメトリの例、実生活におけるジオメトリの応用など。

目次

• 数学における幾何学とは何ですか?
• ジオメトリの定義
• 幾何学の枝
• 代数幾何学
• 離散幾何学
• 微分幾何学
• ユークリッド幾何学
• 非ユークリッド幾何学
• 凸形状
• トポロジー
• 平面ジオメトリ
• 平面幾何学の注意点
• 幾何学における角度
• ポリゴンとその種類
• ジオメトリのポリゴンの種類
• ポリゴン関連の記事
• 幾何学の円
• 幾何学における類似性と一致性
• ソリッドジオメトリ
• 幾何学の円
• 幾何学における類似性と一致性
• ソリッドジオメトリ
• エッジ
• 顔
• 頂点
• 三次元幾何学
• 幾何学式
• 実生活における幾何学の応用
• ジオメトリの例
• 幾何学に関する練習問題

数学における幾何学とは何ですか?

幾何学は、さまざまな形、図形、サイズの研究です。それは、形状の距離、角度、パターン、面積、体積に関する知識を与えてくれます。幾何学の原理は、点、線、角度、平面に依存します。すべての幾何学的形状は、これらの幾何学的概念に基づいています。

幾何学という言葉は、2 つの古代ギリシャ語で構成されています。「ジオ」は「地球」を意味し、「メトロン」は「測定」を意味します。

ジオメトリの定義

幾何学は、点、線、角度、面、固体の特性、測定、関係を研究する数学の分野です。

幾何学の枝

ジオメトリはさまざまな部分に分割できます。

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• 代数幾何学
• 離散幾何学
• 微分幾何学
• ユークリッド幾何学
• 非ユークリッド幾何学（楕円幾何学と双曲幾何学）
• 凸形状
• トポロジー

代数幾何学

この幾何学のブランチは、多変量多項式のゼロに焦点を当てています。これは、ゼロの集合を解くための線形代数方程式と多項式代数方程式で構成されます。このカテゴリのアプリケーションには、文字列理論や暗号化が含まれます。

離散幾何学

この幾何学の分野は、点、線、三角形などの単純な幾何学的オブジェクトの位置に主に焦点を当てています。これには、組み合わせの側面を持つ通常の連続空間に基づく問題が含まれています。

微分幾何学

問題解決のための代数および微積分の技術で構成されています。さまざまな問題には、物理​​学の一般相対性理論などの問題が含まれます。

ユークリッド幾何学

ユークリッド幾何学では、公理や定理に基づいて平面や立体を研究します。ユークリッド幾何学の基本定理には、点と線、ユークリッドの公理と公準、幾何学的証明、およびユークリッドの第 5 公準が含まれます。

コンピューターサイエンス、数学などの分野で複数の用途があります。

の ユークリッド幾何学の 5 つの公準 以下の通り：

• ある点から別の点まで直線を引くことができます。
• 直線の長さは両方向とも無限です。
• 指定した任意の点を円の中心として使用でき、任意の長さを半径として使用できます。
• すべての直角は合同です。
• 2 つの点での距離が等しい 2 つの直線は、無限に平行です。

いくつかの ユークリッドの公理 幾何学で広く受け入れられているものは次のとおりです。

• 同じものに等しいものは等しい。 A = C かつ B = C の場合、A = C
• 等しいものを等しいものに加算すると、全体は等しくなります。 A = B かつ C = D の場合、A + C = B + D
• 等しいものを減算すると、剰余は等しくなります。
• 一致するものは等しい
• 全体は部分よりも大きいのです。 A> B の場合、A = B + C となる C が存在します。
• 倍同じものは等しい。
• 同じものの半分であるものは等しい

非ユークリッド幾何学

非ユークリッド幾何学には 2 つのタイプがあります。 球状 そして 双曲線 幾何学模様。角度や平行線の原理が異なるため、ユークリッド幾何学とは異なります。

非ユークリッド幾何学

球面上の平面幾何学の研究は次のように知られています。 球面幾何学 。三角形の角度の合計は 180° を超えています。

曲面を曲面といいます。 双曲幾何学 。で使用されています トポロジー 。

平面三角形の角度の合計は、曲面の内部曲率に応じて 180° 未満になります。

凸形状

ユークリッド空間の凸形状で構成され、実際の解析を伴う手法が使用されます。最適化や機能分析のさまざまなアプリケーションで使用されます。

トポロジー

それは、継続的にマッピングされている空間の特性で構成されます。コンパクトさ、完全性、連続性、フィルター、関数空間、グリル、クラスターとバンチ、超空間トポロジー、初期および最終構造、計量空間、ネット、近位連続性、近接空間、分離公理、均一空間を考慮して使用されます。

詳細を読む: トポロジーの応用

平面ジオメトリ

平面幾何学は、紙上に描画できる形状に関係します。ユークリッド幾何学には平面幾何学の研究が含まれます。

両方向に無限に広がる 2 次元の曲面を平面と呼びます。飛行機の基本コンポーネントは次のとおりです。

• ポイント – A ポイント は幾何学の無次元の基本単位です。
• ライン – A ライン は、端点のない両方向に伸びる平面上の直線パスです。
• 角度 - 平面ジオメトリは、2 次元の線、円、三角形で構成されます。平面幾何学は、2 次元幾何学の別名です。

平面幾何学の注意点

• 共線点とは、同じ線上にある点のことです。
• 線分は、2 つの端点を持ち、長さが有限である線分の一部です。
• あ 光線 は一方向に無限に伸びる線分です。線には終点がありません。
• 直線、線分、光線はそれぞれ異なります。

平面ジオメトリ

すべての 2 次元の図形には、長さと幅の 2 つの寸法しかありません。平面図形は正方形、三角形、長方形、円などで構成されます。

幾何学における角度

平面ジオメトリでは、2 つの光線が交差するときに角度が形成され、角度の辺と呼ばれ、角度の頂点として知られる共通の端点を共有します。

角度には大きく分けて4種類あります

1. 鋭角 – 0 ～ 90°の角度。
2. 鈍角 – 90°を超え、180°未満の角度。
3. 直角 – 90°の角度。
4. ストレートアングル – 180°の角度は直線です。

幾何学における角度

以下の記事で同様のトピックについて詳しく説明しています。

1. 線と角度
2. 角度のペア

ポリゴンとその種類

ループ状に閉じる有限数の直線セグメントで構成される図形。 「ポリ」という言葉は複数という意味です。

多角形の内角の合計は次のとおりです: (n-2) * 180

ここで、n は辺の数です。

ジオメトリのポリゴンの種類

ポリゴンの種類は次のとおりです。

• 三角形
• 四角形
• 五角形
• 六角形
• ヘプタゴン
• オクタゴン
• 九角形
• デカゴン

ポリゴンの種類

ポリゴン関連の記事

ポリゴンに関連する記事のリストは次のとおりです。

1. ポリゴン
2. ポリゴンの種類
3. 幾何学における三角形
4. 三角形の性質
5. 三角形の角度の合計プロパティ
6. 三角不等式定理
7. 三角形の種類
8. 二等辺三角形
9. 不等辺三角形
10. 正三角形
11. 鋭角三角形
12. 直角三角形
13. 鈍角三角形
14. 三角形の面積
15. 三角形の周囲長
16. 四角形の種類
17. 四角形の角度和の性質
18. 正方形
19. 矩形
20. 長方形の面積
21. 長方形の周囲長
22. 平行四辺形
23. 平行四辺形の面積
24. 平行四辺形の周囲長
25. 平行四辺形の性質
26. いくつかの特殊な平行四辺形
27. ひし形
28. 台形
    
29. 台形の面積
30. 台形の周囲
31. 凧
32. 凧の面積
33. 凧の周囲

幾何学の円

円は閉じた形状です。中心として知られる固定点から、円のすべての点は同じ距離にあります。

サークルについての深い知識が得られる記事の一覧です。

1. 中心
2. 半径
3. 直径
4. コード
5. 正接
6. 割線
7. アーク
8. セグメント
9. セクタ
10. 円定理
11. 定理 – 指定された 3 つの同一線上にない点を通過する円は 1 つだけです
12. 定理 – 周期的な四角形の対角の和は 180°
13. 外側の点から円に引いた接線の長さは等しい
14. 円に内接する図形
15. 周期的な四角形

幾何学における類似性と一致性

類似性 : 2 つの図形は、同じ形状または等しい角度を持っている場合に類似しているとみなされますが、必ずしも同じサイズであるとは限りません。

合同 : 2 つの図形は、形状とサイズが同じ、つまりすべての点で等しい場合に合同であると言われます。

上記のトピックに関する深い知識を見つけることができる記事のリストを次に示します。

1. 三角形の構築
2. 四角形の構築
3. 相似な三角形の作図
4. 相似な三角形
5. ピタゴラスの定理とその逆
6. タレスの定理
7. 三角形の類似性の基準
8. 三角形の合同

ソリッドジオメトリ

立体幾何学は、立方体、角柱、円柱、球などの 3 次元構造の研究です。 3D フィギュアの 3 つの寸法は、長さ、幅、高さです。ただし、特定の固体 (球など) には面がありません。

ユークリッド空間における 3 次元の解析は立体幾何学として知られています。私たちの環境の構造は三次元です。

どちらの 3 次元形状も、2 次元形状を回転させることによって作成されます。 3D フォームの基本的な特徴は次のとおりです。

• 顔
• エッジ
• 頂点

ソリッドジオメトリ

ジオメトリ は、日常生活における物体の形状、サイズ、角度、寸法に関係する数学の最も古い分野の 1 つです。 ジオメトリ

幾何学の円

円は閉じた形状です。中心として知られる固定点から、円のすべての点は同じ距離にあります。

サークルについての深い知識が得られる記事の一覧です。

1. 中心
2. 半径
3. 直径
4. コード
5. 正接
6. 割線
7. アーク
8. セグメント
9. セクタ
10. 円定理
11. 定理 – 指定された 3 つの同一線上にない点を通過する円は 1 つだけです
12. 定理 – 周期的な四角形の対角の和は 180°
13. 外側の点から円に引いた接線の長さは等しい
14. 円に内接する図形
15. 周期的な四角形

幾何学における類似性と一致性

類似性 : 2 つの図形は、同じ形状または等しい角度を持っている場合に類似しているとみなされますが、必ずしも同じサイズであるとは限りません。

合同 : 2 つの図形は、形状とサイズが同じ、つまりすべての点で等しい場合に合同であると言われます。

上記のトピックに関する深い知識を見つけることができる記事のリストを次に示します。

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1. 三角形の構築
2. 四角形の構築
3. 相似な三角形の作図
4. 相似な三角形
5. ピタゴラスの定理とその逆
6. タレスの定理
7. 三角形の類似性の基準
8. 三角形の合同

ソリッドジオメトリ

立体幾何学は、立方体、角柱、円柱、球などの 3 次元構造の研究です。 3D フィギュアの 3 つの寸法は、長さ、幅、高さです。ただし、特定の固体 (球など) には面がありません。

ユークリッド空間における 3 次元の解析は立体幾何学として知られています。私たちの環境の構造は三次元です。

どちらの 3 次元形状も、2 次元形状を回転させることによって作成されます。 3D フォームの基本的な特徴は次のとおりです。

• 顔
• エッジ
• 頂点

ソリッドジオメトリ

エッジ

エッジは、ある頂点を別の頂点に接続する線分です。 3D 形状の輪郭を形成するのに役立ちます。これは、あるコーナーポイントを別のコーナーポイントに結合することを意味します。

顔

これは、幾何学的形状を構成するエッジで囲まれた平面として定義されます。 3Dフィギュアはすべて2Dフィギュアです。

頂点

頂点とは、立体図形のエッジが互いに交わる点です。これは、多角形の隣接する辺が交わる点と呼ぶことができます。頂点とは、エッジが交わる角のことです。

さまざまなソリッド形状のエッジ、面、頂点の数を表に示します。

平面幾何学と立体幾何学に関連する記事のリストは次のとおりです。

1. 立体形状の視覚化
2. 面、エッジ、頂点

三次元幾何学

三次元幾何学では、デカルト平面の 3D 空間における形状の幾何学を研究します。空間内のすべての点は、実数である 3 つの座標 (x、y、z) によって参照されます。

についての深い知識を見つけることができる記事のリストは次のとおりです。 3次元幾何学 。

1. 点、線、面
2. 3D の座標軸と座標平面
3. デカルト座標系
4. デカルト平面
5. 座標ジオメトリ
6. 距離の公式
7. 断面式
8. 中間点の公式
9. 座標幾何学における三角形の面積
10. 直線の傾き
11. 点と斜面の形状
12. 直線の傾きと切片の形
13. 直線の標準形
14. X および Y 切片
15. 直線の方向余弦と方向比
16. 3D における直線の方程式
17. 2本の線の間の角度
18. 3D 空間内の 2 つの線間の最短距離

幾何学式

これは基本的な幾何学公式の一部です。

1. 面積の計算式

• 長方形: 面積 = 長さ × 幅
• 正方形: 面積 = 辺 × 辺 (または辺 2)
• 三角形: 面積 = 1/2 × 底辺 × 高さ
• 円: 面積 = π × 半径 ²

2. 周囲長/円周の計算式

• 長方形: 外周 = 2 × (長さ + 幅)
• 正方形: 周囲 = 4 × 辺
• 三角形: 外周 = 辺₁ + 辺₂ + 辺₃
• 円: 円周 = 2 × π × 半径

3. 体積の計算式

• 立方体: 体積 = 辺 × 辺 × 辺 (または辺 3)
• 直方体：体積＝長さ×幅×高さ
• 円柱: 体積 = π × 半径 2 × 高さ
• 球: 体積 = ⁴⁄₃ × π × 半径³

4. ピタゴラスの定理

辺 (a)、(b)、および斜辺 (c) を持つ直角三角形の場合: (a² + b² = c²)。

5. 三角比（直角三角形の場合） :

• サイン (sin): sin(θ) = 逆/斜辺
• コサイン (cos): cos(θ) = 隣接 / 斜辺
• タンジェント (tan):tan(θ) = 反対/隣接

これらは基本的な公式のほんの一部です。幾何学には幅広い概念が含まれており、それぞれに独自の公式と原則があります。

続きを読む： 幾何学式

実生活における幾何学の応用

• そびえ立つ超高層ビルの前に立ったり、魅力的な橋を歩いたりしているところを想像してみてください。これらの構造物の荘厳な形状と強度は幾何学によるところが大きく、建築家やエンジニアは安全なだけでなく見た目にも楽しい空間を作り出すことができます。
• アートとデザインは、幾何学的な探求のための遊び場です。アーティストは形や形を操作して見事なビジュアルを作成し、デザイナーは幾何学を使用して洗練されたウェブサイトから居心地の良いリビングルームに至るまで、あらゆるものにバランスと調和をもたらします。
• 次回、ビデオ ゲームや映画の CGI の驚異に夢中になるときは、幾何学がそれらの魅力的なビジュアルの背後にある秘密の魔法であることを思い出してください。キャラクターにアニメーションを与え、私たちのものとほぼ同じように具体的に見える幻想的な世界を構築するのに役立ちます。
• 地図作成、つまり地図作成の技術は、幾何学の助けを借りて丸い地球を平らな地図に変換し、賑やかな街路を通ったり、大陸を横断したりする場合でも、地点 A から地点 B に移動するのに役立ちます。
• 幾何学を使うと宇宙の広大さがもう少し理解できるようになります。遠く離れた星までの距離を計算し、宇宙ミッションの計画を立て、宇宙の謎を解決可能なパズルに変えます。
• 医療の分野では、幾何学の正確な計算は CT スキャンや MRI などの技術にとって非常に重要であり、医師は人体の内部を垣間見ることができ、驚くべき精度で病気の診断と治療を行うことができます。
• GPS テクノロジーの利便性は、旅行をガイドしたり、オンラインで注文した商品が確実に玄関先まで届くなど、幾何学的な原理に基づいており、ナビゲーションの正確さと効率を保証します。
• 組み立てラインから家事手伝いまで、ロボットは幾何学形状に基づいて優雅に動き、周囲と対話するため、現代の製造業や日常の利便性において不可欠なツールとなっています。
• 次回ドレスアップしたり、ジュエリーを鑑賞したりするときは、パターンの対称性から衣服の構造に至るまで、ファッション デザインに影響を与える幾何学的な原則を考慮してください。
• スポーツは身体能力だけを競うものではありません。それらは戦略に関するものでもあります。アスリートやコーチは、サッカーの完璧なゴールや水泳の理想的なターンなど、幾何学を使用して試合に勝つ動きを計画します。

ジオメトリの例

例 1: 二等辺三角形で等しい角度が 50°の場合、3 番目の角度を見つけます。

解決：

3番目の角度をxとします

三角形の 3 つの角の合計は 180 であることがわかります。

⇒ x + 50° + 50° = 180°

⇒ x + 100° = 180°

⇒ x = 180° – 100° = 80°

したがって、3 番目の角度は 80° になります。

例 2: 平行四辺形の角度の 1 つが 70° である場合、残りのすべての角度を求めます。

解決：

平行四辺形の隣接する角度の合計は 180°であることがわかっています。 70°に隣接する角度を x とします。

⇒ 70° + x = 180°

⇒ x = 180° – 70° = 110°

また、平行四辺形の対角は等しいこともわかっています。したがって、70°の反対側の角度は70°になり、110°の反対側の角度は110°になります。

例 3: 長さ3cmの線が円8cmの弦に垂直な場合、円の半径を求めます。

解決：

中心から弦までの垂線が弦を二等分することがわかります。したがって、中心からの線は弦の中点に接触し、両側の線の長さが 4 cm になります。これで、中心からの垂線、弦の半分、および半径によって直角三角形が形成され、半径は三角形の斜辺になります。したがって、円の半径はピタゴラスの定理を使用して求められます。

r = √3²+4²= √25 = 5 センチメートル

例 4: 底辺が24cm、高さが12cmの三角形の面積を求めます。

解決：

三角形の面積は、1/2 ⨯ 底辺 ⨯ 高さで求められます。

ここでは、ベース = 24 cm、高さ = 12 cm

したがって、三角形の面積は 1/2 ⨯ 24 ⨯ 12 = 144cm となります。²

例 5: 半径7cmの円の面積と円周を求めます。

解決：

半径 = 7 cm とすると、

円周 = 2πr = 2 ⨯ 22/7 ⨯ 7 = 44 cm

円の面積 = πr²= 22/7 ⨯ 7 ⨯ 7 = 154 cm²

他の人はこちらも読んでいます:

• 幾何学における三角形
• 幾何学と座標
• 幾何学の応用: 実生活での使用

幾何学に関する練習問題

1.長さ8cm、幅5cmの長方形の面積を求めます。

2. 平行四辺形の一辺は 7 cm と 10 cm です。その周長を計算します。

3. 四角形には、85°、90°、95°の 3 つの角度があります。 4 番目の角度の寸法を求めます。

4. 1辺6cmの正方形の対角線の長さを計算します。

5. 対角線が 10 cm と 24 cm のひし形の面積を求めます。

6. 正六角形の 1 つの外角の寸法を決定します。

7. 半径 3 cm、高さ 7 cm の円柱の体積を計算します。

ジオメトリとは – FAQ

数学における幾何学とは何ですか?

ジオメトリ 私たちの日常生活における物体の形状、サイズ、角度、寸法を扱う数学の分野です。

幾何学にはどのような分野があるのでしょうか?

ジオメトリはさまざまな部分に分割できます。

• 代数幾何学
• 離散幾何学
• 微分幾何学
• ユークリッド幾何学
• 非ユークリッド幾何学(楕円幾何学と双曲幾何学)
• 凸形状
• トポロジー

なぜ幾何学が重要なのでしょうか?

幾何学は、さまざまな形状を理解し、面積と体積を使用して定量化するために、私たちの日常生活に必要です。

幾何学の基本とは何ですか?

幾何学の基本は、点、線、面を正しく理解することです。次に、これらの基本概念に基づいたジオメトリの他のすべての概念を構築するのに役立ちます。

ユークリッド幾何学とは何ですか?

ユークリッド幾何学では、ユークリッドが与えた公理や定理に基づいて平面や立体を研究します。

ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学の違いは何ですか?

ユークリッド幾何学は平面上の平面形状の幾何学を研究するものであり、非ユークリッド幾何学は曲面の幾何学を研究するものです。

Javaでリストを反復する

2 種類のジオメトリとは何ですか?

平面ジオメトリと立体ジオメトリは、2 種類のジオメトリです。平面ジオメトリは 2D 形状に関するものですが、ソリッド ジオメトリは 3D 形状に関するものです。

幾何学の基礎とは何ですか?

ジオメトリの基本は、点、線、線分、およびジオメトリの種類を理解することです。

8種類のジオメトリとは何ですか?

1. ユークリッド幾何学: 公理と定理を通じて平面と立体を探求します。
2. 微分幾何学: 物理学において曲線と空間を理解するために重要な微積分の原理を拡張します。
3. 代数幾何学: 線形および多項式の代数方程式を利用して、曲線と曲面に焦点を当てます。
4. 離散ジオメトリ: 基本的なジオメトリ オブジェクトの相対位置を分析します。
5. 解析幾何学: 座標系を使用して幾何学的図形と構造を研究します。
6. リーマン幾何学: 非ユークリッド幾何学を包含し、多様な幾何学的な視点を提供します。
7. 複雑な幾何学: 複雑な平面に基づいて幾何学的構造を調査します。
8. 計算幾何学: 計算数学とコンピューター サイエンスに不可欠な、明示的に定義された代数多様体のプロパティを調べます。

最も一般的なジオメトリのタイプは何ですか?

ユークリッド幾何学は、高校で一般的に教えられ、大学前の数学コンテストでも取り上げられ、基本的な幾何学の種類です。古典幾何学とも呼ばれるこの幾何学は、平らな 2 次元形状の特性に焦点を当て、平面内の点、線、および角度間の関係を調査します。

ジオメトリは主に何に使用されますか?

幾何学は、芸術、建築、工学、ロボット工学、天文学、彫刻、宇宙、自然、スポーツ、機械、自動車など、多くの分野で使用されています。