逆三角恒等式: 数学では、逆三角関数はアークス関数または逆三角関数としても知られています。逆三角関数は、基本的な三角関数、つまりサイン、コサイン、タンジェント、コセカント、セカント、コタンジェントの逆関数です。任意の三角比の角度を見つけるために使用されます。逆三角関数は、一般に幾何学、工学などの分野で使用されます。逆三角関数の表現は次のとおりです。

a = f(b) の場合、逆関数は次のようになります。

b = f^-1(a)

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逆三角関数の例は、sin です。^-1x、cos^-1×、だから^-1×など。

目次

• 逆三角恒等式の領域と範囲
• 逆三角関数の性質
• 逆三角関数の恒等式
• 逆三角恒等式に関するサンプル問題
• 逆三角恒等式の練習問題

逆三角恒等式の領域と範囲

次の表は、いくつかの三角関数とその定義域および範囲を示しています。

逆三角関数の性質

逆三角関数のプロパティは次のとおりです。

プロパティ 1:

1. それなし^-1(1/x) = コ秒^-1x、x ≥ 1 または x ≤ -1 の場合
2. コス^-1(1/x) = 秒^-1x、x ≥ 1 または x ≤ -1 の場合
3. それで^-1(1/x) = 簡易ベッド^-1x、x> 0の場合

プロパティ 2:

1. それなし^-1(-x) = -sin^-1x、x ∈ [-1 , 1] の場合
2. それで^-1(-x) = -tan^-1x、x ∈ R の場合
3. コセック^-1(-x) = -cosec^-1x、|x| の場合≥ 1

プロパティ 3

1. コス^-1(-x) = π – cos^-1x、x ∈ [-1 , 1] の場合
2. 秒^-1(-x) = π – 秒^-1x、|x| の場合≥ 1
3. ベビーベッド^-1(-x) = π – コット^-1x、x ∈ R の場合

プロパティ 4

1. それなし^-1x + cos^-1x = π/2、x ∈ [-1,1] の場合
2. それで^-1× + ベビーベッド^-1x = π/2、x ∈ R の場合
3. コセック^-1x + 秒^-1x = π/2 、 |x| の場合≥ 1

プロパティ 5

1. それで^-1× + それで^-1y = そう^-1( x + y )/(1 – xy)、xy <1 の場合
2. それで^-1× – それで^-1y = そう^-1(x – y)/(1 + xy)、xy> -1 の場合
3. それで^-1× + それで^-1y = π + Tan^-1(x + y)/(1 – xy)、xy>1 の場合。 x、y>0

特性6

1. 2反^-1x = 罪^-1(2x)/(1 + x²)、|x| の場合≤ 1
2. 2反^-1x = cos^-1(1 – x²)/(1 + x²)、x ≥ 0 の場合
3. 2反^-1× = そう^-1(2x)/(1 – x²)、-1の場合

逆三角関数の恒等式

逆三角関数の正体は次のとおりです。

1. それなし^-1(sin x) = x を指定 -π/2 ≤ x ≤ π/2
2. コス^-1(cos x) = x (ただし 0 ≤ x ≤ π)
3. それで^-1(tan x) = x は -π/2 を指定します
4. なし(なし^-1x) = x を指定 -1 ≤ x ≤ 1
5. cos(cos^-1x) = x を指定 -1 ≤ x ≤ 1
6. まあまあ^-1x) = x を指定 x ∈ R
7. cosec(cosec^-1x) = x (-1 ≤ x ≤ ∞ または -∞ を指定)
8. 秒(秒^-1x) = x、ただし 1 ≤ x ≤ ∞ または -∞
9. ベビーベッド(簡易ベッド)^-1x) = x が提供される -∞
10. sin^{-1}(frac{2x}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
11. cos^{-1}(frac{1 – x^2}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
12. tan^{-1}(frac{2x}{1 – x^2}) = 2 tan^{-1}x
13. 2コス^-1x = cos^-1(2x²- 1)
14. 2罪^-1x = 罪^-12x√(1 – x²)
15. 3罪^-1x = 罪^-1(3x – 4x³)
16. 3コス^-1x = cos^-1(4x³– 3倍）
17. 3反^-1× = そう^-1((3x – x³/1～3倍²))
18. それなし^-1x + 罪^-1y = なし^-1{ x√(1 – y²) + y√(1 – x²)}
19. それなし^-1× – 罪^-1y = なし^-1{ x√(1 – y²) – y√(1 – x²)}
20. コス^-1x + cos^-1y = cos^-1[xy – √{(1 – x²)(1 – および²)}]
21. コス^-1x – cos^-1y = cos^-1[xy + √{(1 – x²)(1 – および²)}
22. それで^-1× + それで^-1y = そう^-1(x + y/1 – xy)
23. それで^-1× – それで^-1y = そう^-1(x – y/1 + xy)
24. それで^-1× + それで^-1そして+タン^-1z = それで^-1(x + y + z – xyz)/(1 – xy – yz – zx)

他の人はこちらも見ています:

• 数学における三角法 |表、公式、恒等式
• すべての三角関数の恒等式のリスト
• 逆三角関数
• 逆三角関数のグラフ

逆三角恒等式に関するサンプル問題

質問 1: なしで試してください ^-1 x = 秒 ^-1 1/√(1-x ² )

解決：

なしでしましょう^-1x = y

⇒ sin y = x , (sin y = 垂直/斜辺 ⇒ cos y = √(1- 垂直²)/斜辺 )

⇒ cos y = √(1 – x²)、ここでは斜辺 = 1

⇒ 秒 y = 1/cos y

⇒ 秒 y = 1/√(1 – x²)

⇒ y = 秒^-11/√(1 – x²)

⇒なし^-1x = 秒^-11/√(1 – x²)

したがって、証明されました。

質問 2: 試してみてください ^-1 x = コ秒 ^-1 √(1 + x ² ）/バツ

解決：

そうしましょう^-1x = y

⇒ 正接 y = x、垂直 = x、底辺 = 1

⇒ sin y = x/√(x²+ 1) , (斜辺 = √(垂直なので)²+ベース²))

⇒ cosec y = 1/sin y

⇒ cosec y = √(x²+ 1)/x

⇒ y = コ秒^-1√(x²+ 1)/x

⇒それで^-1x = コ秒^-1√(x²+ 1)/x

したがって、証明されました。

質問 3: 自分自身を次のように評価します ^-1 バツ）

解決：

コスしてみましょう^-1x = y

⇒ cos y = x 、底 = x 、斜辺 = 1 したがって、sin y = √(1 – x²)/1

⇒tan y = sin y/cos y

⇒ タン y = √(1 – x²）/バツ

⇒ y = そうです^-1√(1 – x²）/バツ

⇒ コス^-1× = そう^-1√(1 – x²）/バツ

したがって、tan(cos^-1x) = タン(タン^-1√(1 – x²)/x ) = √(1 – x²）/バツ。

質問4: それで ^-1 √(sin x) + コット ^-1 √(sin x) = y。 cos とを求めます。

解決：

私たちはその日焼けを知っています^-1× + ベビーベッド^-1x = /2 したがって、この恒等式を質問で与えられた式と比較すると、y = π/2 が得られます。

したがって、cos y = cos π/2 = 0となります。

質問5: それで ^-1 (1 – x)/(1 + x) = (1/2)tan ^-1 x、x> 0。x を解きます。

解決：

それで^-1(1 – x)/(1 + x) = (1/2)tan^-1バツ

⇒ 2反^-1(1 – x)/(1 + x) = 黄褐色^-1× …(1)

それはわかってるよ、2tan^-1× = そう^-12x/(1 – x²）。

したがって、式 (1) の左辺は次のように書くことができます。

それで^-1[ { 2(1 – x)/(1 + x)}/{ 1 – [(1 – x)(1 + x)]²}]

= それで^-1[ {2(1 – x)(1 + x)} / { (1 + x)²– (1 – x)²}]

= それで^-1[ 2(1 – x²)/(4x)]

= それで^-1(1 – x²)/(2x)

LHS = RHS なので、

それで^-1(1 – x²)/(2x) = 黄褐色^-1バツ

⇒ (1 – x²)/2x = x

⇒ 1 – ײ= 2倍²

⇒ 3倍²= 1

⇒ x = ± 1/√3

x は 0 より大きい必要があるため、x = 1/√3 が許容可能な答えになります。

質問 6: 試してみてください ^-1 √x = (1/2)cos ^-1 (1 – x)/(1 + x)

解決：

そうしましょう^-1√x = y

⇒ タン y = √x

⇒それで²y = x

したがって、

RHS = (1/2)cos^-1(1-それで²y)/(1 + タン²そして）

= (1/2)cos^-1(cos²そしてなしで²y)/(cos²と + なし²そして）

= (1/2)cos^-1(cos²そしてなしで²そして）

= (1/2)cos^-1(cos 2y)

= (1/2)(2y)

= そして

= それで^-1√x

=左HS

したがって、証明されました。

質問7: それで ^-1 (2x)/(1 – x ² ) + ベビーベッド ^-1 (1 – x ² )/(2x) = π/2, -1