三角恒等式 は、三角関数を含むさまざまな複雑な方程式を単純化するために使用されるさまざまな恒等式です。三角法は、三角形の辺と角度の関係を扱う数学の分野です。これらの関係は、と呼ばれる 6 つの比率の形式で定義されます。 三角比 – sin、cos、tan、cot、sec、cosec。

拡張された方法では、三角形の要素を形成する角度についても研究されます。論理的には、三角形の性質についての議論です。三角形を解くことや、三角形の性質を利用して高さと距離に関する物理的な問題を解くことは、すべて研究の一部を構成します。また、三角方程式の解法も提供します。

目次

• 三角恒等式とは何ですか?
• 三角恒等式のリスト
• 逆三角恒等式
• ピタゴラス三角恒等式
• 三角比の恒等式
• 三角関数の反対角の恒等式
• 補角の恒等式
• 補助角度のアイデンティティ
• 三角関数の周期性
• 和と差の恒等式
• ダブルアングルのアイデンティティ
• 半角の公式
• その他のハーフアングルのアイデンティティ
• 積和恒等式
• 製品のアイデンティティ
• 三重角の公式
• 三角関数の恒等式の証明
• 三角形の角度と辺の関係
• 三角恒等式に関する FAQ

三角恒等式とは何ですか?

角度の三角比を含む方程式は、角度のすべての値に対して真である場合、三角恒等式と呼ばれます。これらは、式または方程式に三角関数が含まれる場合に便利です。 6 つの基本的な三角比は次のとおりです。 サイン、コサイン、タンジェント、コセカント、セカント、コタンジェント 。これらの三角比はすべて、直角三角形の隣接する辺、反対側、斜辺などの辺を使用して定義されます。

三角恒等式

三角恒等式のリスト

すべての三角比を含む三角法の研究には多くの恒等式があります。これらのアイデンティティは、実生活だけでなく学術界全体にわたるさまざまな問題を解決するために使用されます。基本的および高度な三角関数の恒等式をすべて学びましょう。

逆三角恒等式

すべての三角比では、一対の比の間には次のように与えられる逆比例関係があります。

• sinθ = 1/cosecθ
• cosec θ = 1/sin θ
  
• cosθ = 1/秒θ
• secθ = 1/cosθ
  
• Tanθ = 1/cotθ
• cotθ = 1/tanθ

ピタゴラス三角恒等式

ピタゴラスの三角恒等式は、直角三角形の定理または ピタゴラスの定理 、および次のとおりです。

• それなし²θ+cos²θ = 1
• 1 + それで²θ = 秒²私
• コセック²θ = 1 + コット²私

詳しくはこちら ピタゴラス三角恒等式 。

三角比の恒等式

Tan と cot は sin と cos の比として定義され、次の恒等式で与えられます。

• Tanθ = sinθ/cosθ
• cotθ = cosθ/sinθ

三角関数の反対角の恒等式

三角法では、時計回りに測定された角度は負のパリティで測定され、角度の負のパリティに対して定義されるすべての三角比は次のように定義されます。

• sin (-θ) = -sin θ
• cos(-θ) = cosθ
• Tan (-θ) = -tan θ
• cot (-θ) = -cot θ
• 秒(-θ) = 秒θ
• cosec (-θ) = -cosec θ

補角の恒等式

補角 は、合計が 90°になる角度のペアです。ここで、補角の三角関数の恒等式は次のとおりです。

• sin (90° – θ) = cos θ
• cos (90° – θ) = sin θ
• Tan (90° – θ) = cot θ
• cot (90° – θ) = Tan θ
• 秒 (90° – θ) = cosec θ
• cosec (90° – θ) = 秒θ

補助角度のアイデンティティ

補助角は、合計が 180°になる角度のペアです。ここで、補助角の三角関数の恒等式は次のとおりです。

• sin(180°-θ) = sinθ
• cos (180°- θ) = -cos θ
• cosec (180°- θ) = cosec θ
• 秒(180°-θ)= -秒θ
• Tan (180°-θ) = -tan θ
• cot (180°- θ) = -cot θ

三角関数の周期性

三角関数 sin、cos、tan、cot、sec、cosec などはすべて本質的に周期的であり、異なる周期性を持っています。三角比の次の恒等式は、その周期性を説明します。

• sin (n × 360° + θ) = sin θ
• sin (2nπ + θ) = sin θ
  
• cos (n × 360° + θ) = cos θ
• cos (2nπ + θ) = cos θ
  
• Tan (n × 180° + θ) = Tan θ
• Tan (nπ + θ) = Tan θ
  
• cosec (n × 360° + θ) = cosec θ
• cosec (2nπ + θ) = cosec θ
  
• 秒(n × 360° + θ) = 秒θ
• 秒 (2nπ + θ) = 秒 θ
  
• cot (n × 180° + θ) = cot θ
• cot (nπ + θ) = cot θ

ここで、n ∈ と、 (Z = すべての整数のセット)

注記： sin、cos、cosec、sec の周期は 360° または 2π ラジアンで、tan と cot の周期は 180° または π ラジアンです。

和と差の恒等式

和と差の三角恒等式 角度の計算には、sin(A+B)、cos(A-B)、tan(A+B) などの式が含まれます。

• sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B
• sin (A-B) = sin A cos B – cos A sin B
• cos (A+B) = cos A cos B – sin A sin B
• cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B
• Tan (A+B) = (tan A + Tan B)/(1 – Tan A Tan B)
• Tan (A-B) = (tan A – Tan B)/(1 + Tan A Tan B)

注記： sin (A+B)、sin (A-B)、cos (A+B)、cos (A-B) の恒等式を呼びます。 プトレマイオスの正体 。

ダブルアングルのアイデンティティ

角度の合計の三角恒等式を使用すると、二重角恒等式と呼ばれる新しい恒等式を見つけることができます。これらの恒等式を見つけるには、角度恒等式の合計に A = B を代入できます。例えば、

ご存知のとおり、sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B

ここで両辺に A = B = θ を代入すると、次のようになります。

sin (θ + θ) = sinθ cosθ + cosθ sinθ

• sin 2θ = 2 sinθ cosθ

同様に、

• cos 2θ = cos ² θ – 罪 ² θ = 2cos ² θ – 1 = 1 – sin ² 私
• Tan 2θ = (2tanθ)/(1 – Tan ² 私）

詳しくはこちら ダブルアングルのアイデンティティ 。

半角の公式

倍角の公式を使用して、半角の公式を計算できます。半角の公式を計算するには、θ を θ/2 に置き換えます。

• sin frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos heta}{2}}
• cos frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1+cos heta}{2}}
• an frac{ heta}{2} = pmsqrt{frac{1-cos heta}{1+cos heta}} =frac{sin heta}{1+cos heta}=frac{1-cos heta}{sin heta}

詳しくはこちら 半角の恒等式 。

その他のハーフアングルのアイデンティティ

上記の恒等式の他に、次のような半角恒等式がいくつかあります。

• sin heta=frac{2 an heta / 2}{1+ an ^2 heta / 2}
• cos heta=frac{1+ an ^2 heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}
• an heta = frac{2 an heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}

積和恒等式

次の恒等式は、2 つの三角比の合計と 2 つの三角比の積との関係を示します。

• sin A+sin B=2 sin frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
• cos A+cos B=2 cos frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
• sin A-sin B=2 cos frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}
• cos A-cos B=-2 sin frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}

製品のアイデンティティ

積の恒等式は、角度恒等式の和と差の 2 つを加算すると形成され、次のようになります。

• sin A cos B=frac{sin (A+B)+sin (A-B)}{2}
• cos A cos B=frac{cos (A+B)+cos (A-B)}{2}
• sin A sin B=frac{cos (A-B)-cos (A+B)}{2}

三重角の公式

2 倍角と半角の公式の他に、3 倍角に対して定義される三角比の恒等式もあります。これらの ID は次のとおりです。

• sin 3 heta=3 sin heta-4 sin ^3 heta
• cos 3 heta= 4 cos^3 heta-3 cos heta
• cos 3 heta=frac{3 an heta- an ^3 heta}{1-3 an ^2 heta}

詳しくはこちら トリプルアングルのアイデンティティ 。

三角恒等式の証明

任意の鋭角 θ について、次のことを証明します。

1. Tanθ = sinθ/cosθ
2. cotθ = cosθ/sinθ
3. タンθ 。 cotθ = 1
4. それなし ² θ+cos ² θ = 1
5. 1 + それで ² θ = 秒 ² 私
6. 1 + ベビーベッド ² θ = コ秒 ² 私

証拠：

∠B = 90°となる直角の△ABCを考えます。

AB = x 単位、BC = y 単位、AC = r 単位とします。

それから、

(1) Tanθ = P/B = y/x = (y/r) / (x/r)

∴tanθ = sinθ/cosθ

(2) cotθ = B/P = x/y = (x/r) / (y/r)

∴ cotθ = cosθ/sinθ

(3) タンθ 。 cotθ = (sinθ/cosθ) 。 (cosθ/sinθ)

タンθ 。 cotθ = 1

すると、ピタゴラスの定理により、

バツ²+と²= r²。

今、

(4) それなし²θ+cos²θ = (y/r)²+ (x/r)²= (そして²/r²+ײ/r²)

= (x²+と²)/r²= r²/r²= 1 [x²+と²= r²]

それなし ² θ+cos ² θ = 1

(5) 1 + それで²θ = 1 + (y/x)²= 1 + y²/バツ²= (そして²+ײ）/バツ²= r²/バツ²[バツ²+と²= r²]

（処方箋）²= 秒²私

∴1+タン ² θ = 秒 ² 私。

(6) 1 + ベビーベッド²θ = 1 + (x/y)²= 1 + ײ/そして²= (x²+と²）/そして²= r²/そして²[バツ²+と²= r²]

(r²/そして²) = cosec²私

∴1+簡易ベッド ² θ = コ秒 ² 私

三角形の角度と辺の関係

三角形の辺と三角形の内角を関連付ける 3 つの規則は次のとおりです。

• 彼のルール
• コサインの法則
• 接線規則

∠A、∠B、∠C の反対側の辺を a、b、c とする三角形 ABC がある場合、

彼のルール

彼のルール は、三角形の辺と角度の関係を示しています。これは、辺とその辺の反対側の角度の正弦の比であり、三角形のすべての角度と辺で常に同じであり、次のように与えられます。

old{frac{sin angle A}{a}= frac{sin angle B}{b} = frac{sin angle C}{c} = k}

コサインの法則

コサインの法則 にはすべての辺が含まれており、三角形の 1 つの内角は次のように与えられます。

old{cos angle A = frac{b^2+c^2 – a^2}{2bc}}

または

old{cos angle B = frac{a^2+c^2 – b^2}{2ac}}

または

old{cos angle C = frac{a^2+b^2 – c^2}{2ab}}

接線規則

• タンジェント ルールでは、タンジェント三角比を使用して、三角形の辺と内角の関係も次のように記述されます。

• old{frac{a-b}{a+b}=frac{ an left(frac{A-B}{2} ight)}{ an left(frac{A+B}{2} ight)}}
• old{frac{b-c}{b+c}=frac{ an left(frac{B-C}{2} ight)}{ an left(frac{B+C}{2} ight)}}
• old{frac{c-a}{c+a}=frac{ an left(frac{C-A}{2} ight)}{ an left(frac{C+A}{2} ight)}}

また、読んでください

• 三角法の高さと距離
• 三角関数表

三角恒等式の解決例

例 1: (1 – sin を証明する) ² θ)秒 ² θ = 1

解決：

我々は持っています：

LHS = (1 – 罪²θ)秒²私

= cos²θ 。秒²私

= cos²θ 。 (1/cos²私）

=1

= RHS。

∴左＝右。 [したがって証明された]

例 2: (1 + Tan を証明する) ² θ)cos ² θ = 1

解決：

我々は持っています：

左 = (1 + タン²θ)cos²私

⇒ 左＝秒²θ 。コス²私

⇒ LHS = (1/cos²θ) 。コス²私

⇒ 左側 = 1 = 右側。

∴左=右。 [したがって証明された]

例 3: 証明する (cosec ² θ – 1) Tan²θ = 1

解決：

我々は持っています：

LHS = (cosec²θ – 1) タン²私

⇒ LHS = (1 + コット²θ – 1) それで²私

⇒ LHS = 簡易ベッド²θ。それで²私

⇒ 左辺 = (1/タン²θ）。それで²私

カリLinuxターミナル

⇒ 左側 = 1 = 右側。

∴左=右。 [したがって証明された]

例 4: 証明する (秒) ⁴ θ – 秒 ² θ) = (タン ² θ+tan ⁴ 私）

解決：

我々は持っています：

左 = (秒⁴θ – 秒²私）

⇒ 左＝秒²θ(秒²i – 1)

⇒ LHS = (1 + Tan²θ) (1 + Tan²i – 1)

⇒ LHS = (1 + Tan²θ) それで²私

⇒ 左 = (タン²θ+tan⁴θ) = RHS

∴左＝右。 [したがって証明された]

例 5: √(sec であることを証明する ² θ + コ秒 ² θ) = (tanθ + cotθ)

解決：

我々は持っています：

左 = √(秒²θ + コ秒²θ ) = √((1 + Tan²i) + (1 + 簡易ベッド²私））

⇒ 左辺 = √(タン²θ+コット²i + 2)

⇒ 左端 = √(タン²θ+コット²θ + 2tanθ.cotθ ) (tanθ . cotθ = 1)

⇒ LHS = √(tanθ + cotθ)²

⇒ 左軸 = Tanθ + cotθ = 右軸

∴ LHS = RHS [したがって証明される]

三角恒等式に関する練習問題

Q1: 式を簡略化するfrac{sin^2(x)}{cos^2(x)} + frac{cos^2(x)}{sin^2(x)}。

Q2: 恒等性 Tan (x) を証明します。 cot(x) = 1。

Q3: それを見せてくださいfrac{sin(x)}{cos(x)} = frac{1}{cot(x)}。

Q4: 簡略化するsin^2(x) + cos^2(x) cdot an^2(x)。

Q5: 身元を証明するcos(2x) = cos^2(x) – sin^2(x)。

Q6: 簡略化するfrac{cos(x)}{sin(x)} cdot frac{sin(x)}{cos(x)}。

Q7: 身元を証明するsec(x) – cos(x) = an(x) cdot sin(x)。

三角恒等式に関する FAQ

三角恒等式とは何ですか?

三角恒等式は、sin、cos、tan、cot、sec、cosec などのさまざまな三角関数を関連付ける方程式です。

三角関数の恒等式を証明するには?

三角関数の恒等式を証明するにはさまざまな方法がありますが、その 1 つは、既知の 6 つの主要な三角関数恒等式を使用して式を別の形式に書き換える方法です。他の証明と同様に、方程式の一方の側を処理して、もう一方の側と同じ式を導き出します。

三角恒等式はいくつありますか?

三角関数の恒等式は数多くあります。どのような恒等式でも、多少の変化はあってもやはり恒等式です。したがって、アイデンティティがいくつあるかを正確に言うことはできません。

すべての三角恒等式を覚えるにはどうすればよいですか?

すべてのアイデンティティを覚える最も簡単な方法は、アイデンティティに関連した問題を練習することです。何らかのアイデンティティを使用して問題を解決するたびに、そのアイデンティティが修正され、最終的にはそれが第二の習慣になります。

3 つの主要な三角関数を書きます。

三角法で使用される 3 つの主な関数は、サイン、コサイン、タンジェントです。
sinθ = 垂線/斜辺
cos θ = 底辺/斜辺
Tanθ = 垂直/底辺

ピタゴラスの定理とは何ですか?

ピタゴラスの定理では、斜辺(H)、垂線(P)、底辺(B)を辺とする直角三角形において、それらの間の関係は次のように与えられると述べています。

(H) ² = (P) ² + (B) ²

三角恒等式の使用法を書きます。

三角恒等式は、複雑な三角関数を含むさまざまな問題を解決するために使用されます。これらは、波動方程式、調和振動子の方程式を計算し、幾何学的問題やその他の問題を解決するために使用されます。

8 つの基本的な三角恒等式を書きます。

三角法の 8 つの基本的な正体は次のとおりです。

• sinθ = 1/cosecθ
• cosθ = 1/秒θ
• Tanθ = 1/cotθ
• それなし²θ+cos²θ = 1
• Tanθ = sinθ/cosθ
• 1+ だから²θ = 秒²私
• cotθ = cosθ/sinθ
• ベビーベッド1台以上²θ = コ秒²私