行列の LU 分解は、指定された正方行列を 2 つの三角行列 (上三角行列 1 つと下三角行列 1 つ) に因数分解し、これら 2 つの行列の積が元の行列になるようにすることです。これは、チューリング マシンの作成者でもあるアラン チューリングによって 1948 年に導入されました。

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行列を 2 つの三角行列の積として因数分解する LU 分解方法には、連立方程式の解法などのさまざまな用途があり、それ自体が回路内の電流の検出や離散動的システムの問題の解決など、多くの用途に不可欠な部分です。 ;逆行列を求め、行列の行列式を求めます。

L U 分解とは何ですか?

正方行列 A は、A = L U となるように 2 つの正方行列 L と U に分解できます。ここで、U は A にガウス消去法を適用した結果として形成される上三角行列、L は対角要素が含まれる下三角行列です。 1に等しい。

A の場合 =egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} a_{21} & a_{22} & a_{23} a_{31} & a_{32} & a_{33} end{bmatrix} 。

L = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 l_{21} & 1 & 0 l_{31} & l_{32} & 1 end{bmatrix} そしてU =egin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} 0 & u_{22} & u_{23} 0 & 0 & u_{33} end{bmatrix} ;

A = L U となるように、つまり、left[egin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} a_{21} & a_{22} & a_{23} a_{31} & a_{32} & a_{33} end{array} ight]=left[egin{array}{lll} 1 & 0 & 0 l_{21} & 1 & 0 l_{31} & l_{32} & 0 end{array} ight] cdot left[egin{array}{ccc} u_{11} & u_{12} & u_{13} 0 & u_{22} & u_{23} 0 & 0 & u_{33} end{array} ight]

ここで l の値は₂₁、 で_十一、などを比較して探すことができます。

ガウス消去法とは何ですか?

ガウス消去法は、ガウス ジョルダン消去法としても知られ、線形代数で連立一次方程式を解き、逆行列を求めるために使用される方法です。この名前は、その開発に多大な貢献をした数学者カール フリードリヒ ガウスと数学者ヴィルヘルム ヨルダンにちなんで命名されました。

ガウスの消去法によると、次のようになります。

1. ゼロ行は行列の一番下にある必要があります。
2. 各行の最初のゼロ以外のエントリは、前の行の最初のゼロ以外のエントリの右側にある必要があります。この方法では、行列を行階層形式に縮小します。

LU分解法

任意の正方行列を 2 つの三角行列、つまり 1 つを下三角行列、もう 1 つを上三角行列に工場出荷するには、次の手順を使用できます。

• 一連の線形方程式が与えられた場合、まずそれらを行列形式 A X = C に変換します。ここで、A は係数行列、X は変数行列、C は方程式の右側の数値行列です。
• ここで、係数行列 A、つまり、「n」個の変数に対して nXn 行列になるように、指定されたすべての方程式の変数の係数から得られる行列を、ガウス消去法を使用して行階層形式に縮小します。こうして得られた行列は U です。
• L を求めるには 2 つの方法があります。 1 つ目は、残りの要素を人工変数として仮定し、A = L U を使用して方程式を作成し、それを解くことでそれらの人工変数を見つけます。もう 1 つは、残りの要素が乗算係数であるため、U 行列の各位置が 0 になる方法です。 (この方法は言葉で理解するのが少し難しいですが、以下の例で明らかになるでしょう)
• ここで、A (nXn 係数行列)、L (nXn 下三角行列)、U (nXn 上三角行列)、X (nX1 変数行列)、C (右側の nX1 数値行列) があります。方程式の手側）。
• 与えられた方程式系は A X = C です。A = L U を代入します。したがって、L U X = C となります。Z = U X と置きます。ここで、Z は行列または人工変数であり、最初に L Z = C を求め、次に次のように求めます。 U X = Z は、X または変数の値を検索します。これは必須でした。

LU 分解の例

LU 分解法を使用して次の連立方程式を解きます。

egin{equation*} x_1 + x_2 + x_3 = 1 end{equation*} egin{equation*} 4x_1 + 3x_2 – x_3 = 6 end{equation*} egin{equation*} 3x_1 + 5x_2 + 3x_3 = 4 end{equation*}

解決策: ここで、A = となります。

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix} , X = egin{bmatrix} x_1 x_2 x_3 end{bmatrix}

そして

C = egin{bmatrix} 1 6 4 end{bmatrix}

A X = C となるようにします。 さて、最初に考えます。

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix}

ガウス消去法を使用して行階層形式に変換します。それで、そうすることで

egin{equation} R_2 o R_2 – 4R_1 end{equation} egin{equation} R_3 o R_3 – 3R_1 end{equation}

我々が得る

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix} sim

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 2 & 0 end{bmatrix}

さて、そうすることで

egin{equation} R_3 o R_3 – (-2)R_2 end{equation}

我々が得る

sim egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix}

(必ず間に ‘ – ‘ 記号を入れてください。‘ + ‘ 記号を 2 つの ‘ – ‘ 記号に置き換えてください。) したがって、L = が得られます。

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 4 & 1 & 0 3 & -2 & 1 end{bmatrix}

そしてU =

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix}

(L 行列では、

l_{21} = 4

は(1)から、

l_{31} = 3

は (2) からのもので、

l_{32} = -2

は (3) から) ここで、Z を仮定します。

= egin{bmatrix} z_1 z_2 z_3 end{bmatrix}

そしてL Z = Cを解きます。

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 4 & 1 & 0 3 & -2 & 1 end{bmatrix} egin{bmatrix} z_1 z_2 z_3 end{bmatrix}

= egin{bmatrix} 1 6 4 end{bmatrix}

それで、私たちは、

z_1 = 1 ,

4z_1 + z_2 = 6 ,

3z_1 – 2z_2 + z_3 = 4 .

解決すると、

z_1 = 1

、

z_2 = 2

そして

z_3 = 5

。ここで U X = Z を解きます

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix} egin{bmatrix} x_1 x_2 x_3 end{bmatrix}

= egin{bmatrix} 1 2 5 end{bmatrix}

したがって、次のようになります。

x_1 + x_2 + x_3 = 1 ,

-x_2 – 5x_3 = 2

、

-10x_3 = 5 .

したがって、与えられた線形方程式系の解は次のようになります。

ゴヴィンダ

x_1 = 1

、

x_2 = 0.5

、

x_3 = -0.5

したがって、行列 X =

egin{bmatrix} 1 0.5 -0.5 end{bmatrix}

LU 分解の演習

行列の LU 分解では

| 2 2 |
| 4 9 |

、U の対角要素が両方とも 1 の場合、L の下側の対角要素 l22 は (GATE CS 2015) (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 となります。

解決策については、を参照してください。 ゲート | GATE-CS-2015 (セット 1) |質問65 。

LU 分解に関する FAQ

LU分解法とは何ですか?

LU 分解は、Lower-Upper 分解の略で、正方行列を下三角行列 (L) と上三角行列 (U) の積に分解するために使用される行列分解手法です。これは、連立一次方程式の解法と行列式の計算を簡略化するために一般的に使用されます。

LU 分解はなぜ独特なのでしょうか?

LU 分解は、正方行列 A を下三角行列と上三角行列 (L と U) に一意に因数分解する方法を提供し、線形システムと行列式の計算を効率的に解くことができるため、独特です。

LU 分解はどのように計算されますか?

LU 分解は、ガウス消去法を使用して計算されます。この方法では、別々の行列の変化を追跡しながら行演算を実行することにより、正方行列 A を下三角行列 (L) と上三角行列 (U) に変換します。このプロセスは反復され、A が完全に分解されるまで継続されます。 LU 分解のすべての手順を含む方法は、この記事に記載されています。

LU分解ができない場合は？

行列 A が特異 (非可逆) の場合、または安定性のためにピボットが必要な場合、LU 分解は不可能ですが、ピボット要素がゼロになり、分解プロセス中にゼロによる除算が発生します。

LU 分解に代わるものはありますか?

はい、LU 分解の代替手段には次のものがあります。 コレスキー分解 対称正定行列の場合、一般行列の QR 分解、およびさまざまな行列演算およびアプリケーションのためのスペクトル分解や特異値分解 (SVD) などの固有値ベースの手法。

LU 分解は非正方行列にも適用できますか?

LU 分解は通常、正方行列に適用されます。長方形行列の場合は、QR 分解がより一般的に使用されます。ただし、LUP 分解のようなバリエーションでは、P が置換行列である方形行列も処理できます。