期間は 2 つの時点間の時間間隔として定義され、周期関数は一定の間隔または期間で繰り返される関数として定義されます。言い換えれば、周期関数は、特定の時間間隔の後に値が繰り返される関数です。周期関数は f(x + p) = f(x) として表されます。ここで、p は関数の周期です。周期関数の例としては、正弦波、三角波、方形波、ノコギリ波などがあります。以下はいくつかの周期関数のグラフです。各周期関数のグラフには並進対称性があることがわかります。

関数の基本周期

周期関数の領域はすべての実数値を含み、その範囲は固定間隔で指定されます。周期関数とは、f (x + p) = f (x) (すべての x が実数) となる正の実数 P が存在する関数です。関数の基本周期は、正の実数 P の最小値、または関数が繰り返される周期です。

f(x + P) = f(x)

どこ、

P は関数の周期であり、 f は周期関数です。

関数の周期を決定するにはどうすればよいですか?

1. 周期関数は、一定の間隔または周期で繰り返される関数として定義されます。
2. これは f(x + p) = f(x) として表されます。ここで、p は関数 p ∈ R の周期です。
3. 周期とは、波が 2 回発生する間の時間間隔を意味します。

三角関数の周期

三角関数は周期関数であり、三角関数の周期は次のとおりです。

• Sin x と Cos x の周期は次のとおりです。 2P 。

つまり、sin(x + 2π) = sin x および cos(x + 2π) = cos x

• Tan x と Cot x の周期は、 ピ。

つまり、tan(x + π) = Tan x および cot(x + π) = cot x

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• Sec x と Cosec x の周期は次のとおりです。 2p。

つまり、sec(x + 2π) = sec x および cosec(x + 2π) = cosec x

関数の周期は、関数の繰り返し間の距離と呼ばれます。三角関数の周期は、完全な 1 サイクルの長さです。振幅は、平衡状態からの波内の粒子の最大変位として定義されます。簡単に言うと、関数のグラフ上の最高点または最低点と中間点の間の距離です。三角関数には、sin、cos、tan という 3 つの基本関数があり、その周期はそれぞれ 2π、2π、π 周期です。三角関数のグラフの開始点は x = 0 と見なされます。

たとえば、以下のコサイン グラフを観察すると、2 つの出現間の距離が 2π、つまりコサイン関数の周期が 2π であることがわかります。その振幅は 1 です。

コサイングラフ

周期式

• p が周期関数 f (x) の周期である場合、1/f (x) も周期関数であり、p の基本周期は f(x) と同じになります。

もし f (x + p) = f (x)、

F (x) = 1/f (x) 、 それから F (x + p) = F (x)。

• p が周期関数 f(x) の周期である場合、f (ax + b)、a>0 も p/|a| の周期を持つ周期関数です。

• Sin (ax + b) と Cos (ax + b) の周期は 2π/|a| です。
• Tan (ax + b) と Cot (ax + b) の周期は π/|a| です。
• Sec (ax + b) と Cosec (ax + b) の周期は 2π/|a| です。

• p が周期関数 f(x) の周期である場合、af(x) + b、a>0 も周期が p の周期関数です。

• [a Sin x + b] と [a Cos x + b] の周期は 2π です。
• [a Tan x + b] と [a Cot x + b] の周期は π です。
• [a Sec x + b] と [a Cosec x + b] の周期は 2π です。

周期関数に基づいた練習問題

問題 1: 周期関数 cos(5x + 4) の周期を決定します。

解決：

与えられた関数: cos (5x + 4)

アルゴリズムのバブルソート

x = a = 5 の係数。

私達はことを知っています、

cos x の周期は 2π です。

したがって、cos(5x + 4) の周期は 2π/ |a| です。 = 2π/5。

したがって、cos(5x + 4) の周期は 2π/5 です。

問題 2: f(x) = cot 4x + sin 3x/2 の周期を求めます。

解決：

与えられた周期関数: f(x) = cot 4x + sin 3x/2

私達はことを知っています、

cot x の周期は π、sin x の周期は 2π です。

したがって、cot 4x の周期は π/4 です。

したがって、sin 3x/2 の周期は 2π/(3/2) = 4π/3 となります。

さて、関数 f(x) = cot 4x + sin 3x/2 の周期の計算は次のようになります。

f(x) の周期 = (π と 4π の LCM)/(3 と 4 の HCF) = 4π/1 = 4π。

したがって、cot 4x + sin 3x/2 の周期は 4π となります。

問題 3: y = 3 sin 3x+ 5 のグラフをスケッチします。

解決：

y = 3 sin 3x + 5 とすると

与えられた波形は y = a sin bx + c の形式になります。

FCF

上のグラフから、次のように書くことができます。

1. 周期 = 2π/|b| = 2π/3
2. 軸: y = 0 [x 軸]
3. 振幅: 3
4. 最大値 = (3 × 1) + 5 = 8
5. 最小値 = (3 × -1) + 5 = 2
6. ドメイン: { x : x ∈ R }
7. 範囲 = [ 8, 2]

問題 4: 与えられた周期関数 5 sin(2x + 3) の周期を決定します。

解決：

与えられた関数: 5 sin(2x + 3)

x = a = 2 の係数。

私達はことを知っています、

cos x の周期は 2π です。

したがって、5 sin(2x + 3) の周期は 2π/ |a| です。 = 2π/2 = π。

したがって、5 sin(2x + 3) の周期は π です。

問題 5: f (x) = Tan 3x + cos 5x の周期を求めます。

解決：

与えられた周期関数: f(x) =tan 3x + cos 6x。

私達はことを知っています、

Tan x の周期は π、cos x の周期は 2π です。

したがって、tan 3x の周期は π/3 です。

したがって、cos 6x の周期は 2π/5 になります。

意味不明

さて、関数 f(x) = Tan 3x + cos 6x の周期の計算は次のようになります。

f(x) の周期 = (π と 2π の LCM)/(3 と 5 の HCF) = 2π/1 = 2π。

したがって、f (x) = Tan 3x + cos 5x の周期は 2π です。