垂直線 数学では、常に互いに直角に交差する線のペアです。つまり、垂直線は常に 90°で交差する交差線です。垂直線は私たちに容易に見え、壁の角、机の角などは平行線を表します。垂直線については、それらが互いに直角に交差すると言います。 2 つの線の間の最短距離は、それらの間の垂直距離を使用して求められます。つまり、2 つの点の間の垂線は、それらの間の最短距離を示します。

この記事では、垂直線とその性質などについて詳しく説明します。

目次

• 垂直線とは何ですか?
• 垂線の性質
• 垂線の傾き
• 垂直線の公式
• 垂直線を引くにはどうすればよいですか?
• 垂線の方程式

垂直とは何ですか?

垂線は、 直角 別の行で。つまり、垂直線とは90度の角度をなす線のことを指します。点と線の間の最短距離は、それらの間の垂線です。垂線はもう一方の線と90度を作ります。下の図に示す線分 AB と線分 PQ は、90 度で交差するため、互いに直交します。

下の図に追加された線 AB と CD は、2 本の垂直線を示しています。

垂直線とは何ですか?

垂直線とは、90 度に等しい角度で互いに交差する線を意味します。つまり、2 本の線が直角に交わる場合、それらは垂直線と呼ばれます。ここで下に追加した図を見てみましょう。線lと線mは点Oで交差し、両者のなす角度は90度です。

したがって、lは線mに垂直な線、または線mは線lに垂直であると言えます。この条件を l ⊥ m と表します。ここで、線 l に平行な線は線 m に垂直になります。点と線の間の最短距離は、常にそれらの間の垂直距離です。

注記： すべての交差線が垂直線であるわけではありませんが、すべての垂線が交差線です。

垂直記号

垂直線は記号「⊥」を使用して表されます。線 l と m が互いに垂直、つまり互いに 90 度で交差する場合、それらは垂直線と呼ばれ、l ⊥ m と表されます。交点は垂線の足と呼ばれます。

垂直形状

垂直形状は私たちの日常生活の中で見られます。垂直形状とは、少なくとも１つの角度が９０°である形状である。垂直線を持った様々な形状（垂直形状）は、

• 四角
• 矩形
• 直角三角形

垂線の性質

90度の角度で交差する2つの交差線は垂線と呼ばれます。垂直線には交差線とは異なる特性があり、交差線の一般的な特性は次のとおりです。

• 垂直線とは、常に直角に交わる線のことです。
• 2 つの線が同じ線に垂直な場合、これら 2 つの線は常に互いに平行になります。

垂線の傾き

任意の線の傾きは、その線と正の x 軸によって形成される角度の正接であり、垂直線の場合の傾きはそれらの間に特定の関係があります。

互いに直交する 2 本の直線 PQ と RS があるとします。さて、線PQの傾きをmとします。₁そして線分 RS の傾きを m とします。₂の場合、傾きの積は -1 に等しくなります。同じことに対する声明は次のとおりです。

声明： 2 本の線は、その傾きの積が -1 であれば、互いに垂直です。

これは次のように表すことができます。

メートル ₁ .m ₂ = -1

垂直線の公式

2 つの基本的な垂線公式については以下で説明します。

ステートメント 1: 垂線の傾きと元の線の傾きの積は常に次のようになります。 -1 。

証拠：

元の線が X 軸に対して θ の角度をなすようにします。

すると、その線に垂直な線はθ + 90° または θ – 90° の角度を作ります。 X軸と一緒に。

ここで、元の直線の傾きはtan θに等しくなります。

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垂線の傾きは、tan (θ + 90) のいずれかに等しくなります。^○) またはタン (θ – 90^○)

タン(θ + 90 ^○ ) = タン(θ – 90 ^○ ) = -cot i

したがって、垂線の傾きは -cot θ です。

今、

傾きの積 = Tan θ × (-cot θ) = -1

したがって証明されました

ステートメント 2: 直線の方程式が次の場合、 ax + by + c = 0

この場合、指定された直線に垂直な直線の方程式は次のようになります。

– bx + ay + d = 0

どこ、 c そして d 任意の定数値です

証拠：

直線の方程式は ax + by + c = 0

線の傾きは、 -a/b

垂線の傾きをmとします

2 本の垂線の傾きの積は -1 であることがわかります。

m × (-a / b) = – 1

m = b / a

さて、垂線が点 (x₁、 そして₁) の場合、垂線の方程式は次のようになります。

(そして – そして₁) / (x – x₁) = b / a

そして – そして₁= (b / a) × (x – x₁)

は – です₁= bx – bx₁

– bx + は + (bx₁- は₁) = 0 {let bx₁- は₁= d}

したがって、必要な直線の方程式は次のようになります。

– bx + ay + d = 0

垂直線を引くにはどうすればよいですか?

分度器とコンパスを使用すると、垂直線のペアを簡単に作成できます。

分度器を使用して垂直線を引く

一対の垂直線を描くには、以下で説明する手順に従います。

ステップ1： まず定規を使って紙に水平線ABを引きます。

ステップ2： 線分 AB 上に垂線を引く点 P をマークします。

ステップ 3: プロテクターを直線上に置き、プロテクターの中点と直線上の点Pを合わせます。

ステップ 4: プロテクターを使用して90度の角度をマークします。

ステップ5: 任意の定規を使用して 90 度の角度で線を結合し、一対の垂直線を取得します。

コンパスを使用して垂直線を引く

コンパスを使用して垂直線を引く手順は次のとおりです。

ステップ1： 定規を使って紙に線を引く

ステップ2： 線上に点を取り、その上にコンパスの針を置きます。

ステップ 3: 線の片側に円弧（半円）を描きます。

ステップ 4: コンパスの半径を変更せずに、半円の直径の一端に針を置きます。

ステップ5: 半円弧を2回切って三等分します。最初のカットマークは 60°、2 番目のカットマークは 120°

ステップ6: 1 回目と 2 回目のカットの間には 60° の差があります。コンパスを使用して、半径を変更せずにこのギャップを二等分します。

ステップ 7: 次に、60 と 120 の二等分点を、半円弧を描くために最初に想定した点と結合します。

ステップ8: このようにして引かれた線は、最初の線に対して垂直になります。

垂直線の例

垂直線とは、常に 90 度で交わる線のことです。実生活では平行線のさまざまな例が見られますが、そのいくつかは次のとおりです。

• 部屋の角は互いに直角です。
• 時計の針は 3 時の位置に垂直な線を表します。
• テーブルと机の角は垂直線を表します。

垂直線と平行線

垂直線は互いに90°の角度をなす線であり、平行線は互いに平行な線、つまり互いに等距離にあり、決して交差しない線です。

注記： 平行線は無限遠で交わる 。

平行線と垂直線の傾き

平行線の傾きは等しいのに対し、垂直線の傾きの積は -1 です。

平行線と垂直線の方程式

2 本の直線が平行である場合、それらの直線の方程式は次のようになります。

• ax + by + c = 0 および ax + by + d = 0

一方、2 つの垂線の方程式は次のようになります。

• ax + by + c = 0、および -bx + ax + d = 0

平行線とは何ですか?

ジオメトリにおける平行線は、2 次元平面内で互いに交わらない線、つまり 2 次元平面内で互いに交差しない線として定義されます。 2 本の平行線の間の距離は常に一定です。以下に追加された画像は、2 組の平行線を示しています。

線a、b、x、yは互いに平行です。

平行線と垂直線の違い

平行線と垂直線 以下の表で説明します。

垂線の方程式

標準 直線の方程式 は ax + by + c = 0 指定された線に垂直な線は次を使用して与えられます。

-bx + ay + d = 0

どこ、 d は定数値であり、その値は指定された他の条件を使用して求められます。

垂線の傾き

方程式が y = mx + c の形式で、その傾きが m である直線が与えられたとします。その場合、指定された直線に垂直な直線の傾きは次のようになります。

垂線の傾き = -1/m

さて、2本の直線の傾きがmだとすると、₁そしてM₂これら 2 つの傾きの関係は次のようになります。 メートル ₁ メートル ₂ = -1

続きを読む、

• 平行線
• 横線
• 平行線の性質

垂直線の例

例 1: 直線 3x + 2y + 5 = 0 と 2x – 3y + 8 = 0 は垂直ですか?

解決：

直線 ax + by + c = 0 の傾きは -a/b です

• 直線 3x + 2y + 5 = 0 の傾きが m₁= – 3 / 2。
• 直線 2x – 3y + 8 = 0 の傾きが m₂= -2 / (-3) = 2 / 3

傾きが条件を満たしていれば、線は垂直であることがわかります。

メートル₁×m₂= -1

さて、上記の条件から、

= (-3 / 2) × (2 / 3)

= -1

傾きの積は -1 であるため、線は垂直になります。

例 2: 直線 x + 2y + 5 = 0 に垂直な直線を見つけ、点 (2, 5) を通過します。

解決：

直線 ax + by + c = 0 に垂直な直線の方程式は – bx + ay + d = 0 であることがわかります。

与えられた直線の方程式は x + 2y + 5 = 0 です。

行 x + 2y + 5 = 0 と ax + by + c = 0 を比較すると、次のようになります。

• a = 1
• b = 2
• c = 5

したがって、この線に垂直な線の方程式は次のようになります。 – 2x + y + d = 0…(i)

この線が (2, 5) を通るとすると、

したがって、この垂線の方程式に (2, 5) を代入します。

-2 × 2 + 5 + d = 0

⇒ d = -1

eq(i) に d の値を代入すると、次のようになります。

-2x + y + (-1) = 0

したがって、垂線の方程式は次のようになります。 -2x + y – 1 = 0

例 3: 直線 3x + 9y + 7 = 0 に垂直な直線の傾きを求めます。

解決：

考えると、

直線の方程式は 3x + 9y + 7 = 0

この直線の傾き = -a/b = – 3 / 9 = – 1 / 3

上の線に垂直な ine の傾きを m とする

ここで垂直線の式を使用します

m×(-1/3)=-1

⇒ m = 3

したがって、指定された直線に垂直な直線の傾きは次のようになります。 3.

例 4: 線 x + y + 3 = 0 に垂直な線の角度を求めます。

解決：

与えられた行、

x + y + 3 = 0

指定された直線の傾き = -a/b = – 1 / 1 = – 1

上の線に垂直な線の傾きをmとします。

垂線公式より、

m × -1 = – 1

⇒ m = 1

与えられた直線に垂直な直線の角度が θ である場合、

m = タンθ

⇒ タンθ = 1

⇒ θ = タン^-1(1) = 45°

したがって、垂線と X 軸とのなす角度は次のようになります。 45°。

垂直練習問題

Q1.直線 3x + 9y – 11 = 0 に垂直な直線の角度を求めます。

Q2.ある直線が点 (11、-4) と (-1、8) を通過し、別の直線が点 (8、3) と (-1、-3) を通過するとします。これらの線が平行か垂直かを確認してください。

Q3. 5x − 7y = 5 に垂直で点 (-1, 8) を通る直線の方程式を求めます。

Q4. (2, 3) を通り、x 軸に垂直な直線の方程式を求めます。

垂直線 – FAQ

垂直線とは何ですか?

2 つの交差する線が互いに直角、つまり 90 度で交差する場合、これらの 2 つの線は垂直線と呼ばれます。

平行線と垂直線とは何ですか?

平行線は、2 次元平面内で互いに交わらない線です。 2 本の平行線の間の距離は常に一定です。一方、2 本の線が 90 度で交わる場合、これらの線は垂直線と呼ばれます。

交差する線は常に垂直ですか?

いいえ、すべての交差する線が常に垂直であるわけではありません。垂直である場合もあれば、そうでない場合もあります。交差する線はさまざまな角度で交わることがあります。

垂線の傾きの条件は何ですか?

2本の直線の傾きをmとします。₁そしてM₂この場合、2 本の垂線の傾きの条件は次のようになります。 メートル ₁ .m ₂ = -1

1 つの線に垂直な線は何本引くことができますか?

1 つの線に対して任意の数の垂直線を引くことができます。つまり、任意の線に対して無限の垂直線を引くことができます。

2本の直線が直角になるのはどんなとき?

2 本の線が 90° で交差する場合、それらは垂直です。つまり、垂直線は常に直角に交差します。

垂直三角形とは何ですか?

角度が90°に等しい三角形を垂直三角形と呼びます。直角三角形とも呼ばれます。

垂直形状にはどのようなものがありますか?

垂直形状と呼ばれる一部の形状は、少なくとも 1 つの垂線を含む形状です。垂直形状のさまざまな例としては、正方形、長方形、直角三角形などがあります。

直角とは何ですか?

90°に等しい角度は直角と呼ばれます。直角の別名は直角です。

垂直記号とは何ですか?

垂直を表す記号または記号は次のとおりです。 ⟂。 この記号は、2 本の線が垂直かどうかを示すために使用します。たとえば、A⟂B と書かれた場合、A と B が 2 本の線である場合、線 A は線 B に垂直であり、その逆も同様です。

どの線が垂直であるかをどのように識別しますか?

2本の線の間の角度が90°の場合。したがって、これらの 2 つの直線は垂直であると言えます。 2 つの直線の傾きが次のように与えられると、m₁、メートル₂次に、垂線の公式を使用して、それらが垂直であるかどうかを確認します。垂線の公式は、m₁.m₂= -1

垂線の傾きを求めるにはどうすればよいですか?

垂線の傾きは、傾きの公式を使用して簡単に計算できます。直線が与えられたとします。まずそれを標準形式に変換し、次に傾き公式を使用して傾きを求めます。傾きの公式は m = -b/a です。ここで、a は x の係数、b は y の係数です。