一様分布の種類

一様分布の種類は次のとおりです。

1. 連続均一分布: 連続一様確率分布は、指定された範囲内で定義された無数の値を持つ分布です。いわゆる長方形分布と呼ばれる長方形の形状のグラフを持ちます。それは本質的に連続的な値に作用します。例: 乱数発生器
2. 離散一様分布: 離散一様確率分布は、指定された範囲内で定義された有限数の値を持つ分布です。そのグラフには、有限値ごとにさまざまな垂直線が含まれています。本質的に離散的な値に作用します。例: サイコロが振られます。

以下にこれらのタイプについて詳しく説明します。

連続一様分布または長方形分布

連続一様分布は、長方形分布としても知られ、確率密度関数 (PDF) が特定の区間内では一定で、その他の区間ではゼロである確率分布です。これは、間隔内のすべての結果の可能性が等しいことを意味します。

連続一様分布は、定義された間隔内のランダム性を理解してモデル化するためのシンプルかつ強力なフレームワークを提供し、確率論と応用統計において不可欠なツールとなります。

確率密度関数 (PDF)

の 確率密度関数 連続一様分布の (PDF) は、確率変数が特定の間隔内に収まる確率を定義します。区間 [a, b] にわたる連続一様分布の場合、PDF は次のように求められます。

a ≤ x ≤ b の場合、f(x) = 1 / (b – a)

それ以外の場合は f(x) = 0。

累積分布関数 (CDF)

連続一様分布の累積分布関数 (CDF) は、確率変数が特定の値以下である確率を与えます。 [a, b] にわたる連続一様分布の場合、CDF は次のように定義されます。

F(x) = (x – a) / (b – a) (a ≤ x ≤ b)

x b に対して F(x) = 0。

関数の生成

生成関数は、一連の数値をべき級数として表す方法を提供します。確率理論では、生成関数は確率変数のシーケンスを操作するためによく使用されます。これらは計算を簡素化し、確率変数と分布の重要な特性を導き出すのに役立ちます。

標準均一分布

標準一様分布は、間隔が [0, 1] である連続一様分布の特殊なケースです。シミュレーション、乱数生成、さまざまな統計アプリケーションで広く使用されています。

連続一様分布の性質

• 区間内の確率密度が等しい。
• 累積分布関数は区間内で直線的に増加します。
• 連続一様分布の平均は区間の中点です。
• 連続一様分布の分散は [(b – a)²】/12.

連続一様分布の応用

• 工学、金融、物理学などのさまざまな分野の不確実性をモデル化します。
• シミュレーションやゲーム用の乱数生成。
• 統計的品質管理で使用され、製造プロセスの均一性をモデル化します。
• キーを生成し、ランダムな順列を作成するための暗号化。
• 統計分析における他の分布と比較するためのベースライン分布として。

離散一様分布

離散一様分布は、 確率 有限セット内の各結果の可能性が等しい場合の結果の尤度を表す分布。これは、有限の値範囲にわたる定確率質量関数 (PMF) によって特徴付けられます。

離散一様分布は確率理論と統計の基本モデルとして機能し、結果が同じ確率である状況における不確実性を説明するためのシンプルかつ効果的な方法を提供します。その特性と用途はさまざまな分野に拡張されており、データ分析と意思決定プロセスにおける多用途のツールとなっています。

最大値の推定

で 統計 、最大値の推定とは、データセット内の最大値または最大観測値を推定するために使用される方法を指します。この目的には、順序統計や最尤推定などの手法が一般的に使用されます。

ランダムな置換

ランダムな並べ替えとは、一連の項目または要素のランダムな配置です。暗号化、統計、コンピューター サイエンスなどのさまざまな分野でよく使用されます。ランダムな順列の生成は、アルゴリズム、シミュレーション、実験計画において不可欠です。

離散一様分布の特性

• サンプル空間内の各結果の発生確率は等しいです。
• 確率質量関数 (PMF) は、考えられる結果の範囲にわたって一定です。
• 離散一様分布の平均は、最小値と最大値の平均です。
• 離散一様分布の分散は [(n^2 – 1) / 12] です。ここで、n は考えられる結果の数です。

離散一様分布の応用

• 公平なサイコロを振るか、公平なコインを投げます。各結果の確率は等しいです。
• 特定の結果に対する好みや偏見がないシナリオをモデル化します。
• 有限母集団から無作為にサンプルを選択するなど、非置換のサンプリング。
• シミュレーション、モンテカルロ法、およびランダム化アルゴリズム用の乱数を生成します。
• カードのデッキをシャッフルするためのランダムな順列の作成、実験の設計、および暗号アプリケーション。

続きを読む、

• ポアソン分布
• 二項分布
• 正規分布

質問例

質問 1: 確率変数 X は (-2, 2) にわたって一様分布を持ちます。

(i) P(X>k) = 1/2 となる k を見つける (ii) P(X<1) を評価する (iii) P[|X-1|<1]

解決：

（私） X =f(x) = 1/(b-a) =1/(2-(-2)) = 1/4

P(X>k) = 1 – P(X≤ k) = 1 –int_{-2}^{k}f(x)dx

= 1 – (1/4)。int_{-2}^{k}dx =1 – (k+2)/4 = 1/2

これを解くと k = 0 が得られます

(ii) P(X<1) =int_{-2}^{1}f(x)dx =(1/4)。int_{-2}^{k}dx = 3/4

(iii) P[|X -1| <1] = P[1-1int_{0}^{1}f(x)dx = (1/4)。int_{0}^{1}dx = 1/4

質問 2: X が (-1 , 4) に一様に分布している場合、

(i) その平均は_____________です。

(ii) その分散は_____________です。

(iii) その標準偏差は____________です。

(iv) その中央値は_____________です。

解決：

ここで、a = -1、b = 4

（私） 平均 (μ) = (4-1)/2 = 1.5

(ii) 分散(σ²) = (4+1)²/12 = 2.08

(iii) 標準偏差(σ) =√2.08 = 1.443

(iv) 中央値 = (4-1)/2 = 1.5

質問 3: 従来のトランプのカードが 52 枚あり、ハート、スペード、クラブ、ダイヤモンドの 4 つのスーツがあるとします。各スイートには 13 枚のカードが含まれており、そのうち 3 枚は絵札です。新しいデッキはカードの枚数を除いて形成されます。では、改造したデッキからハートカードが出る確率はどれくらいでしょうか？

解決：

質問では、指定されたカードの数は有限であるため、離散一様分布になります。

離散一様分布における確率の公式は、P(X) = 1/n です。

改造デッキでハートが出る確率 = 1/4 = 0.25

質問 4: 確率変数 X の一様分布確率密度関数を使用して、(0, 20) で P(3) を求めます。