ベクトル投影 別のベクトルの上にあるベクトルの影です。射影ベクトルは、ベクトルに 2 つのベクトル間の角度の Cos を乗算することによって取得されます。ベクトルには大きさと方向の両方があります。 2 つのベクトルは、大きさと方向が同じであれば等しいと言われます。ベクトル投影は、物理学や数学の数値を解く際に不可欠です。

この記事では、ベクトル射影とは何か、ベクトル射影式の例、ベクトル射影式、ベクトル射影式の導出、ベクトル射影式線形代数、ベクトル射影式 3d、およびその他の関連概念について詳しく学びます。

目次

• ベクトル投影とは何ですか?
• ベクトル投影式
• ベクトル投影式の導出
• ベクトル投影式の例
• ベクトル投影の実用化と意義
• ベクトル投影による現実世界の問題解決の例

ベクトル投影とは何ですか?

ベクトル投影は、ベクトルを回転して 2 番目のベクトル上に配置する方法です。したがって、ベクトルは、ベクトルが平行と垂直の 2 つの成分に分解されるときに得られます。平行ベクトルは投影ベクトルと呼ばれます。したがって、ベクトル投影は、別のベクトルの上にあるベクトルの影の長さです。

ベクトルのベクトル投影は、ベクトルに 2 つのベクトル間の角度の Cos を乗算することによって取得されます。 2 つのベクトル「a」と「b」があり、ベクトル b 上のベクトル a の投影を見つける必要があるとします。次に、ベクトル「a」に cosθ を乗算します。ここで、θ はベクトル a とベクトル b の間の角度です。

ベクトル投影式

もしvec Aは A として表され、vec Bが B として表される場合、B への A のベクトル投影は、A と Cos θ の積として与えられます。ここで、θ は A と B の間の角度です。B への A のベクトル投影のもう 1 つの式は、A と A の積として与えられます。 B を B の大きさで割った値。そうして得られた投影ベクトルは A のスカラー倍数であり、B の方向の方向を持ちます。

ベクトル投影式の導出

ベクトル投影式の導出については、以下で説明します。

OP = と仮定しましょう。vec AそしてOQ =vec BOP と OQ の間の角度は θ です。 OQ に対して垂直に描かれた PN。

直角三角形 OPN では、Cos θ = ON/OP

⇒ ON = ON Cosθ

⇒ オン = |vec A| Cosθ

ON は次の射影ベクトルです。vec Aの上vec B

vec A.vec B = |vec A||vec B|cos heta

⇒vec A.vec B = |vec B(|vec A||cos heta)

⇒vec A.vec B = |vec B|ON

Java ファイルを開く

⇒ オン =frac{vec A.vec B}

したがって、ON =|vec A|.hat B

したがって、次のベクトル投影はvec Aの上vec Bとして与えられますfrac{vec A.vec B}

のベクトル投影vec Bの上vec Aとして与えられますfrac{vec A.vec B}

以下もチェックしてください: ベクトルの種類

ベクトル投影の重要な用語

ベクトル射影を見つけるには、2 つのベクトルの間の角度を見つける方法と、2 つのベクトルの間の内積を計算する方法を学ぶ必要があります。

2 つのベクトル間の角度

2 つのベクトル間の角度は、2 つのベクトルの内積の余弦を 2 つのベクトルの大きさの積で割ったものの逆数として与えられます。

2 つのベクトルがあるとします。vec Aそしてvec Bそれらの間の角度はθです

⇒ cosθ =frac{vec A.vec B}.

Javaバイト配列から文字列へ

⇒ θ = cos^-1frac{vec A.vec B}.

2 つのベクトルの内積

2 つのベクトルがあるとします。vec Aそしてvec Bとして定義されるvec A = a_1hat i + a_2hat j + a_3hat kそしてvec B = b_1hat i + b_2hat j + b_3hat k それらの間のドット積は次のように与えられます

vec A.vec B = (a_1hat i + a_2hat j + a_3hat k)(b_1hat i + b_2hat j + b_3hat k)

⇒vec A.vec B= a₁b₁+a₂b₂+α₃b₃

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ベクトル投影式の例

例 1. ベクトルの射影を求める 4hat i + 2hat j + hat k の上 5hat i -3hat j + 3hat k 。

解決：

ここ、vec{a}=4hat i + 2hat j + hat k \vec{b}=5hat i -3hat j + 3hat k 。

ベクトル a のベクトル b への射影 =frac{vec{a}.vec{b}}b

dfrac{(4.(5) + 2(-3) + 1.(3))}{|sqrt{5^2 + (-3)^2 + 3^2}|}=dfrac{17}{sqrt{43}}

例 2. ベクトルの射影を求める 5hat i + 4hat j + hat k の上 3hat i + 5hat j – 2hat k

解決：

ここ、vec{a}=5hat i + 4hat j + hat k \vec{b}=3hat i + 5hat j – 2hat k.

ベクトル a のベクトル b への射影 =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(5.(3) + 4(5) + 1.(-2))}{|sqrt{3^2 + 5^2 + (-2)^2}|}=dfrac{33}{sqrt{38}}

例 3. ベクトルの射影を求める 5hat i – 4hat j + hat k の上 3hat i – 2hat j + 4hat k

解決：

ここ、vec{a}=5hat i – 4hat j + hat k \vec{b}=3hat i – 2hat j + 4hat k.

Javaそれ以外の場合

ベクトル a のベクトル b への射影 =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(5.(3) + ((-4).(-2)) + 1.(4))}{|sqrt{3^2 + (-2)^2 + (4)^2}|}=dfrac{49}{sqrt{29}}

例 4. ベクトルの射影を求める 2hat i – 6hat j + hat k の上 8hat i – 2hat j + 4hat k 。

解決：

ここ、vec{a}=2hat i – 6hat j + hat k \vec{b}=8hat i – 2hat j + 4hat k

ベクトル a のベクトル b への射影 =frac{vec{a}.vec{b}}b

dfrac{(2.(8) + ((-6).(-2)) + 1.(4))}{|sqrt{8^2 + (-2)^2 + (4)^2}|}=dfrac{32}{sqrt{84}}

例 5. ベクトルの射影を求める 2hat i – hat j + 5hat k の上 4hat i – hat j + hat k 。

解決：

ここ、vec{a}=2hat i – hat j + 5hat k \vec{b}=4hat i – hat j + hat k.

ベクトル a のベクトル b への射影 =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(2.(4) + ((-1).(-1)) + 5.(1))}{|sqrt{4^2 + (-1)^2 + (1)^2}|}=dfrac{14}{sqrt{18}}

チェック： ベクトル演算

ベクトル投影の実用化と意義

物理

• 力の分解 : 物理学では、ベクトル射影公式は、力を表面に平行な成分と垂直な成分に分解するために重要です。たとえば、綱引きゲームでロープが及ぼす力を理解するには、力のベクトルをロープの方向に投影する必要があります。

• 仕事の計算 : 変位中に力によって行われる仕事は、ベクトル投影を使用して計算されます。この仕事は、力ベクトルと変位ベクトルのドット積であり、基本的に、あるベクトルを別のベクトルに投影して、変位方向の力の成分を見つけます。

エンジニアリング

• 構造解析 : エンジニアはベクトル投影を使用してコンポーネントにかかる応力を分析します。力のベクトルを構造軸に投影することで、さまざまな方向の応力成分を決定でき、より安全で効率的な構造の設計に役立ちます。

• 流体力学 : 流体力学では、ベクトル投影はオブジェクトの周囲の流体の流れを解析するのに役立ちます。流体の速度ベクトルを表面に投影することで、エンジニアは空力設計や水力工学に重要な流れのパターンと力を研究できます。

コンピューターグラフィックス

• レンダリング技術 : ベクトル投影は、コンピュータ グラフィックスにおいて影や反射をレンダリングするための基本です。光のベクトルを表面に投影することで、グラフィック ソフトウェアは影と反射の角度と強度を計算し、3D モデルのリアリズムを高めます。

• アニメーションとゲームの開発 : アニメーションでは、動きやインタラクションをシミュレートするためにベクトル投影が使用されます。たとえば、平坦でない地形上でキャラクターがどのように移動するかを決定するには、モーション ベクトルを地形表面に投影する必要があり、これによりリアルなアニメーションが可能になります。

チェック： 線形代数の基底ベクトル

ベクトル投影による現実世界の問題解決の例

例 1: GPS ナビゲーション

• コンテクスト : GPS ナビゲーション システムでは、ベクトル投影を使用して、地表上の 2 点間の最短経路を計算します。
• 応用 : 2 つの地理的位置間の変位ベクトルを地球表面ベクトルに投影することにより、GPS アルゴリズムは距離と方向を正確に計算し、移動ルートを最適化します。

例 2: スポーツ分析

• コンテクスト : スポーツ分析、特にサッカーやバスケットボールでは、ベクトル投影は選手の動きやボールの軌道の分析に役立ちます。
• 応用 : 選手の動きのベクトルをゲームフィールドやコートに投影することで、アナリストは動きのパターン、速度、効率を研究でき、戦略的な計画やパフォーマンスの向上に貢献します。

例 3: 再生可能エネルギー工学

• コンテクスト : 風力タービンの設計では、エネルギー生産を最適化するために風力成分を理解することが不可欠です。
• 応用 : エンジニアは風速ベクトルをタービンブレードの平面に投影します。この分析は、風力エネルギーを最大限に活用するためのブレードの最適な角度と方向を決定するのに役立ちます。

例 4: 拡張現実 (AR)

• コンテクスト : 拡張現実アプリケーションでは、現実世界の空間に仮想オブジェクトを正確に配置するためにベクトル投影が使用されます。
• 応用 : 仮想オブジェクトからのベクトルを AR デバイスによってキャプチャされた現実世界の平面に投影することで、開発者は仮想オブジェクトが環境と現実的に相互作用することを保証し、ユーザー エクスペリエンスを向上させることができます。

チェック： ベクトルの構成要素

ベクトル投影に関する FAQ

投影ベクトルを定義します。

投影ベクトルは、別のベクトル上のベクトルの影です。

ベクトル投影式とは何ですか?

ベクトルの投影の公式は次のように与えられます。frac{vec A.vec B}

投影ベクトルを見つけるには?

投影ベクトルは、影が投影される 2 つのベクトルの内積を計算して求められます。

投影ベクトルを計算するために必要な概念とは何ですか?

ベクトル射影を計算するには、2 つのベクトルの間の角度と 2 つのベクトルの内積を知る必要があります。

投影ベクトルはどこで使用されますか?

投影ベクトルは、ベクトル量をコンポーネントに分割する必要があるさまざまな物理数値を解くために使用されます。

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物理学におけるベクトル投影の重要性は何ですか?

物理学では、ベクトル投影は、力の分解、特定の方向の力による仕事の計算、動きの分析に非常に重要です。これは、ベクトルのさまざまなコンポーネントがさまざまな方向の効果にどのように寄与するかを理解するのに役立ちます。

ベクトル投影は負になる可能性がありますか?

はい、2 つのベクトルの間の角度が 90 度より大きい場合、ベクトル射影のスカラー コンポーネントは負になる可能性があり、射影が基本ベクトルの反対方向に進むことを示します。

ベクトル投影はエンジニアリングでどのように使用されますか?

エンジニアはベクトル投影を使用して構造応力を分析し、力を管理可能なコンポーネントに分解することで設計を最適化し、流体力学で表面に対する流れのパターンを研究します。

スカラー投影とベクトル投影の違いは何ですか?

スカラー投影では、あるベクトルの大きさが別のベクトルの方向に沿って与えられ、正または負の値になります。一方、ベクトル投影では、大きさだけを考慮するだけでなく、投影の方向もベクトルとして与えられます。

ベクトル投影の実世界への応用とは何ですか?

ベクトル投影は、GPS ナビゲーション、スポーツ分析、影や反射をレンダリングするためのコンピューター グラフィックス、および現実世界の空間に仮想オブジェクトを配置するための拡張現実に応用できます。