二次公式と二次方程式の基本を理解したら、次は放物線との関係を次のレベルに進めます。放物線について学習します。 頂点フォーム 。

放物線の頂点形式と、二次方程式を標準形式から頂点形式に変換する方法について詳しく学習してください。

フィーチャー画像のクレジット: SBA73 /フリッカー

頂点フォームが役立つ理由概要

の 頂点フォーム 方程式の は、放物線の方程式を書き出す別の方法です。

通常、二次方程式は $ax^2+bx+c$ として記述され、グラフにすると放物線になります。この形式から、方程式をゼロに設定する (または二次公式を使用する) ことによって、方程式の根 (放物線が $x$ 軸に当たる場所) を見つけるのは非常に簡単です。

ただし、放物線の頂点を見つける必要がある場合、標準の 2 次形式はあまり役に立ちません。 代わりに、二次方程式を頂点形式に変換する必要があります。

頂点フォームとは何ですか?

標準の二次形式は $ax^2+bx+c=y$ ですが、 二次方程式の頂点形式は $i y=i a(i x-i h)^2+ i k$ です。

どちらの形式でも、$y$ は $y$ 座標、$x$ は $x$ 座標、$a$ は放物線が上を向いている ($+a$) か下を向いているかを示す定数です。 ($-a$)。 (放物線がアップルソースのボウルであるかのように考えます。$+a$ があれば、アップルソースをボウルに追加できます。$-a$ があれば、ボウルからアップルソースを振り出すことができます。)

放物線の標準形式と頂点形式の違いは、方程式の頂点形式によって放物線の頂点 $(h,k)$ も得られることです。

たとえば、この細い放物線 $y=3(x+4/3)^2-2$ を見てください。

グラフに基づくと、放物線の頂点は (-1.5,-2) のように見えますが、グラフだけでは頂点がどこにあるのかを正確に判断するのは困難です。幸いなことに、方程式 $y=3(x+4/3)^2-2$ に基づいて、この放物線の頂点が $(-4/3,-2)$ であることがわかります。

頂点が $(4/3,-2)$ ではなく $(-4/3,-2)$ なのはなぜですか (グラフを除くと、グラフの $x$- 座標と $y$-座標の両方が明確になります)頂点は負です)?

覚えて： 頂点形式の方程式では、$h$ が減算され、$k$ が加算されます。 。負の $h$ または負の $k$ がある場合は、負の $h$ を減算し、負の $k$ を加算する必要があります。

この場合、これは次のことを意味します。

$y=3(x+4/3)^2-2=3(x-(-4/3))^2+(-2)$

したがって、頂点は $(-4/3,-2)$ になります。

放物線を頂点形式で書き出すときは、正負の符号を常に再確認する必要があります。 特に、頂点に正の $x$ 値と $y$ 値がない場合 (または、四分円頭の皆さんにとっては、頂点が正の値を持たない場合) 象限 I ）。これは、二次方程式 ($x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$) を解く場合に行うチェックに似ており、正の値を維持していることを確認するために必要です。 $a$s、$b$s、$c$s にマイナスの影響を与えます。

以下の表は、その他のいくつかの放物線頂点形状の方程式の例とその頂点を示しています。特に、頂点の $x$ 座標が負の場合の放物線の頂点形方程式の $(x-h)^2$ 部分の違いに注意してください。

標準二次形式から頂点形式に変換する方法

二次方程式を異なる形式に変換するように求められる場合、ほとんどの場合、標準形式 ($ax^2+bx+c$) から頂点形式 ($a(x-h)^2+k$) に変換することになります。 ）。

方程式を標準の 2 次形式から頂点形式に変換するプロセスには、正方形の完成と呼ばれる一連の手順の実行が含まれます。 (正方形の完成について詳しくは、この記事を必ずお読みください。)

方程式を標準形式から頂点形式に変換する例を見てみましょう。 $y=7x^2+42x-3/14$ の方程式から始めます。

最初に行うことは、定数、または $x$ または $x^2$ のない項を隣に移動することです。この場合、定数は $-3/14$ です。 (私たちはそれがわかっています ネガティブ $3/14$ は、標準の 2 次方程式が $ax^2+bx-c$ ではなく $ax^2+bx+c$ であるためです。)

まず、$-3/14$ を式の左側に移動します。

$y+3/14=7x^2+42x$

次のステップでは、次のように右側から 7 (方程式の $a$ 値) を因数分解します。

$y+3/14=7(x^2+6x)$

素晴らしい！この方程式は、頂点形式 $y=a(x-h)^2+k$ によく似ています。

この時点で、「あとは $3/14$ を方程式の右側に戻すだけですよね?」と思うかもしれません。残念ながら、それほど速くはありません。

括弧内の式の一部を見ると、$(x-h)^2$ の形式ではないという問題に気づくでしょう。 $x$ が多すぎます!つまり、まだ完全には終わっていません。

私たちが今しなければならないことは、最も難しい部分、つまり正方形を完成させることです。

方程式の $x^2+6x$ の部分を詳しく見てみましょう。 $(x^2+6x)$ を $(x-h)^2$ に似たものに因数分解するには、括弧の内側に定数を追加する必要があります。そして、次のことを覚えておく必要があります。その定数を方程式の反対側にも追加します (方程式のバランスを保つ必要があるため)。

これを設定するために (そして、方程式の反対側に定数を追加することを忘れないように)、方程式のどちらかの側に定数が入る空白スペースを作成します。

$y+3/14+7($ $)=7(x^2+6x+$ $)$

方程式の左側で、定数が入るスペースの前に $a$ 値 7 を必ず含めていることに注意してください。これは、方程式の右側に定数を加算するだけでなく、その定数に括弧の外側にあるものを乗算しているためです。 ($a$ 値が 1 の場合は、これについて心配する必要はありません。)

次のステップは正方形を完成させることです。この場合、完成させようとしている正方形は括弧内の式です。定数を追加することで、正方形として記述できる式に変換されます。

新しい定数を計算するには、$x$ の隣の値 (この場合は 6) を 2 で割って 2 乗します。

$(6/2)^2=(3)^2=9$。定数は 9 です。

6 を半分にして 2 乗する理由は、$(x+p)(x+p)$ という形式の方程式 (これが目的です) では、$px+px= であることがわかっているためです。 6x$、つまり $p=6/2$;定数 $p^2$ を取得するには、$6/2$ ($p$) を取得し、それを 2 乗する必要があります。

ここで、方程式の両側の空白を定数 9 に置き換えます。

$y+3/14+7(9)=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+63=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+{882/14}=7(x^2+6x+9)$

$y+{885/14}=7(x^2+6x+9)$

次に、括弧内の式を因数分解します。正方形が完成したので、これを $(x+{some umber})^2$ として因数分解することができます。

$y+{885/14}=7(x+3)^2$

最後のステップ: $y$ 以外の値を方程式の左側から右側に移動します。

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

おめでとう！方程式を標準の 2 次形式から頂点形式に変換することに成功しました。

さて、ほとんどの問題では、方程式を標準形式から頂点形式に変換するだけではありません。実際に放物線の頂点の座標を教えて欲しいと思うでしょう。

符号の変化にだまされないように、計算したばかりの頂点形状方程式のすぐ上に、一般的な頂点形状方程式を書き出してみましょう。

$y=a(x-h)^2+k$

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

そして、$h$ と $k$ を簡単に見つけることができます。

$-h=3$

$h=-3$

$+k=-{885/14}$

この放物線の頂点は次の座標にあります $(-3,-{885/14})$。

うわー、たくさんの数字がシャッフルされていましたね!幸いなことに、方程式を他の方向 (頂点形式から標準形式へ) に変換するのははるかに簡単です。

頂点フォームから標準フォームに変換する方法

方程式を頂点形式から正二次形式に変換するプロセスは、はるかに簡単です。必要なのは、頂点形式を乗算することだけです。

先ほどの方程式の例 $y=3(x+4/3)^2-2$ を見てみましょう。これを標準形式に変換するには、方程式の右側を展開するだけです。

$$y=3(x+4/3)^2-2$$

$$y=3(x+4/3)(x+4/3)-2$$

$$y=3(x^2+{8/3}x+16/9)-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-{6/3}$$

$$y=3x^2+8x+10/3$$

タダ！ $y=3(x+4/3)^2-2$ を $ax^2+bx+c$ 形式に変換することに成功しました。

放物線頂点フォームの練習: サンプル質問

頂点フォームの探求を締めくくるために、4 つの問題例と説明を示します。解説を読む前に、自分で問題を解けるかどうかを確認してください。

#1: 二次方程式 $x^2+ 2.6x+1.2$ の頂点形式は何ですか?

#2: 方程式 $7y=91x^2-112$ を頂点形式に変換します。頂点とは何ですか？

#3: 方程式 $y=2(x-3/2)^2-9$ が与えられた場合、この方程式が $x$ 軸と交差する場所の $x$ 座標は何ですか?

#4: 放物線 $y=({1/9}x-6)(x+4)$ の頂点を見つけます。

パラボラ頂点フォームの実践: ソリューション

#1: 二次方程式 ${i x^2}+ 2.6i x+1.2$ の頂点形式は何ですか?

まず、$x$ 以外の変数を方程式の反対側に分離します。

$y-1.2=x^2+2.6x$

元の方程式の $a$ ($ax^2+bx+c$ など) は 1 に等しいため、ここで右側から因数分解する必要はありません (ただし、必要に応じて次のように書くこともできます) $y-1.2=1(x^2+2.6x)$)。

次に、$x$ 係数 (2.6) を 2 で割って 2 乗し、結果の数値を方程式の両辺に加算します。

$(2.6/2)^2=(1.3)^2=1.69$

$y-1.2+1(1.69)=1(x^2+2.6x+1.69)$

括弧内の式の右側を因数分解します。

$y-1.2+1.69=(x+1.3)^2$

最後に、方程式の左側の定数を結合し、右側に移動します。

$y-1.2+1.69=(x+1.3)^2$

$y+0.49=(x+1.3)^2$

答えは $y=(x+1.3)^2-0.49$ です。

#2: 方程式 $7i y=91i x^2-112$ を頂点形式に変換します。頂点とは何ですか？

方程式を頂点形式に変換するときは、$y$ の係数を 1 にしたいので、最初にこの方程式の両辺を 7 で割ります。

$7y= 91x^2-112$

${7y}/7= {91x^2}/7-112/7$

$y=13x^2-16$

次に、定数を方程式の左側に移動します。

$y+16=13x^2$

方程式の右側から $x^2$ 数値 ($a$) の係数を因数分解します。

$y+16=13(x^2)$

さて、通常は、式の右側の括弧内にある正方形を完成させる必要があります。ただし、$x^2$ はすでに正方形であるため、定数を方程式の左側から右側に戻す以外に何もする必要はありません。

$y=13(x^2)-16$。

次に頂点を見つけます。

$y=a(x-h)^2+k$

$y=13(x^2)-16$

$-h=0$、つまり $h=0$

$+k=-16$、つまり $k=-16$

放物線の頂点は $(0, -16)$ にあります。

#3: 方程式 $i y=2(i x-3/2)^2-9$ があるとすると、この方程式が交差する $i x$ 座標は何ですか? $i x$ 軸?

問題は方程式の $x$ 切片を見つけることを求めているため、最初のステップは $y=0$ を設定することです。

$y=0=2(x-3/2)^2-9$。

ここから先はいくつかの方法があります。卑劣な方法は、頂点形状方程式に既に正方形が書き込まれているという事実を利用して、有利に利用することです。

まず、定数を方程式の左側に移動します。

$0=2(x-3/2)^2-9$

$9=2(x-3/2)^2$

次に、方程式の両辺を 2 で割ります。

$9/2=(x-3/2)^2$

さて、卑劣な部分です。方程式の両辺の平方根を求めます。

$√(9/2)=√{(x-3/2)^2}$

$±3/{√2}=(x-3/2)$

$±