行列の知識は数学のさまざまな分野で必要です。行列は数学における最も強力なツールの 1 つです。行列から行列式が生まれます。この記事では行列式のプロパティの 1 つを見ていきます。
この記事では、 行列の随伴。 について知るには、 行列の随伴体 私たちはそれについて知らなければなりません 補因子 マトリックスの。
目次
行列定義の随伴体
行列の随伴は、指定された行列の余因子の転置行列です。任意の正方行列 A について、その adj を計算します。行列を使用するには、最初に指定された行列の余因子行列を計算し、次にその行列式を見つける必要があります。行列の Ajoint を計算するには、次の手順に従います。
ステップ1 : 指定された行列 A のすべての要素のマイナーを計算します。
ステップ2： マイナー要素を使用して補因子行列 C を求めます。
ステップ 3: 余因子行列 C の転置を取得して、A の随伴行列を求めます。
任意の 2×2 行列 A について、その Adjoint のイメージを以下に示します。
次に、行列のマイナー、コファクター、転置について学びましょう。
マトリックスのマイナー
行列のマイナーは、マイナーが計算される要素の行列の行と列を非表示にして計算される行列または要素です。 2×2 行列の場合、マイナーは、マイナーが計算される要素の行と列を非表示にすることによって表示される要素です。
詳細については、 未成年者と補因子
行列の余因子
Cofactor は、行列内の指定された要素の列と行を削除したときに得られる数値です。これは、行列から 1 つの要素を取り出し、その要素の行と列全体を行列から削除し、その行列にどの要素が存在するかを意味します。 補因子。
行列の補因子を見つける方法
行列の要素の余因子を見つけるには、次の手順を使用できます。
ステップ1： 検討中の要素を含む行と列全体を削除します。
ステップ2： ステップ 1 の後の行列内の残りの要素をそのまま取得します。
ステップ 3: ステップ 2 で形成された行列の行列式を求めます。 マイナー 要素の。
ステップ 4: ここで、要素 a の余因子の公式を使用します。ijつまり、(-1)i+jMijここで、Mij は i の要素のマイナーです。番目行とj番目ステップ 3 ですでに計算されている列。
ステップ5: ステップ 4 の結果は、考慮中の要素の余因子です。同様に、行列の各要素の余因子を計算して、指定された行列の余因子行列を見つけることができます。
例: 補因子行列の検索
解決：
与えられた行列は
A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 7 & 4 & 5 6 & 8 & 9 end{bmatrix} 1 行 3 列の要素の余因子、つまり 3 を見つけてみましょう。
ステップ1： 検討中の要素を含む行と列全体を削除します。
つまり、
egin{bmatrix} sout{1} & sout{2} & sout{3} 7 & 4 & sout{5} 6 & 8 & sout{9} end{bmatrix} ステップ2： ステップ 1 の後の行列内の残りの要素をそのまま取得します。
つまり、
egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} ステップ 3: 要素のマイナーと呼ばれる、ステップ 2 で形成された行列の行列式を見つけます。
3インチのマイナー
A = egin{vmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{vmatrix} = 56 – 24 = 32 ステップ 4: ここで、要素 a の余因子の公式を使用します。ijつまり、(-1)i+jMij
要素 3 の余因子 = (-1)1+3(32) = 32
ステップ5: すべての要素に対して手順を続行して、A の余因子行列を見つけます。
つまり、A の余因子行列 =
egin{bmatrix} -4&-33&32 6&9&4-2&16&-10 end{bmatrix}
行列の転置
行列の転置とは、行列の行と列を相互に入れ替えることによって形成される行列です。行列 A の転置は A として表されます。TまたはA'。行列 A の次数が m×n の場合、転置行列の次数は n×m になります。
詳細については、 行列の転置
行列の随伴体を見つけるにはどうすればよいですか?
行列の随伴物を見つけるには、まず各要素の余因子を見つけてから、さらに 2 つのステップを見つける必要があります。以下の手順を参照してください。
ステップ1： 行列に存在する各要素の余因子を見つけます。
ステップ2： 余因子を要素として含む別の行列を作成します。
ステップ 3: 次に、ステップ 2 の後に得られる行列の転置を求めます。
2×2行列の随伴項を求める方法
2×2行列の随伴を求める方法を理解するための例を考えてみましょう。
例: の随伴項を求める
解決：
与えられた行列は
ext{A} =egin{bmatrix}2&3 4&5 end{bmatrix} ステップ1： 各要素の補因子を見つけます。
A[1,1] の要素の余因子: 5
A[1,2] の要素の余因子: -4
A[2,1] の要素の余因子: -3
A[2,2] の要素の余因子: 2
ステップ2： 補因子から行列を作成する
つまり、
old{egin{bmatrix}5&-4 -3&2 end{bmatrix}} ステップ 3: 補因子行列の転置、
old{Adj(A) = egin{bmatrix}5&-3 -4&2 end{bmatrix}}
3×3行列の随伴を求める方法
3×3 行列の例を見て、その行列の随伴関数を計算する方法を理解しましょう。
例: の随伴項を求める
解決：
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} ステップ1： 各要素の補因子を見つけます。
C_{12} = (-1)^{1+2} egin{vmatrix} 4 & 6 7 & 9 end{vmatrix} = – (36 – 42) = 6 C_{13} = (-1)^{1+3} egin{vmatrix} 4 & 5 7 & 8 end{vmatrix} = 3 – 28 = -25 C_{21} = (-1)^{2+1} egin{vmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{vmatrix} = – (18 – 24) = 6 C_{22} = (-1)^{2+2} egin{vmatrix} 1 & 3 7 & 9 end{vmatrix} = 9 – 21 = -12 C_{23} = (-1)^{2+3} egin{vmatrix} 1 & 2 7 & 8 end{vmatrix} = – (8 – 14) = 6 C_{31} = (-1)^{3+1} egin{vmatrix} 2 & 3 5 & 6 end{vmatrix} = 12 – 15 = -3 C_{32} = (-1)^{3+2} egin{vmatrix} 1 & 3 4 & 6 end{vmatrix} = – (6 – 12) = 6 C_{33} = (-1)^{3+3} egin{vmatrix} 1 & 2 4 & 5 end{vmatrix} = 5 – 8 = -3 ステップ2： 補因子から行列を作成する
パンダとナンピー
C = egin{bmatrix} -3 & 6 & -25 6 & -12 & 6 -3 & 6 & -3 end{bmatrix} ステップ 3: 行列 C を指定された行列の随伴に転置します。
operatorname{adj}(A) = C^{T}= egin{bmatrix} -3 & 6 & -3 6 & -12 & 6 -25 & 6 & -3 end{bmatrix} これは、与えられた行列 A の随伴です。
行列の随伴体の性質
行列の随伴物にはさまざまなプロパティがあります。そのうちのいくつかは次のとおりです。
- A(調整 A) = (調整 A)A = |A|私n
- 調整(BA) = (調整B) (調整A)
- |調整A| = |A|n-1
- Adj(kA) = kn-1(調整A)
行列の随伴を使用して逆行列を求める
逆行列を見つけることは、行列の随伴法の重要なアプリケーションの 1 つです。 Adjoint を使用して逆行列を見つけるには、次の手順を使用できます。
ステップ1： を見つける 行列の行列式 。
ステップ2： 行列式がゼロの場合、行列は可逆ではなく、逆行列は存在しません。
ステップ 3: 行列式がゼロ以外の場合は、行列の随伴を求めます。
ステップ 4: 行列の随伴項を行列の行列式で割ります。
ステップ5: ステップ 4 の結果は、指定された行列の逆行列になります。
例: の逆数を求めます。
解決：
与えられた行列
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} |A| = 1(45-48)-2(36-42)+3(32-35)
⇒ |A| = -3 -2(-6)+3(-3)
⇒ |A| = -3 + 12 – 9 = 0
したがって、A の逆数は存在しません。
詳細については、 逆行列
行列の随伴の解決例
例 1: 指定された行列の共結合を求める
解決：
ステップ 1: 各要素の余因子を見つける
各要素の余因子を見つけるには、各要素の行と列を 1 つずつ削除し、削除後の現在の要素を取得する必要があります。
A[0,0] = 1 の要素の余因子:
+egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} = +(4×9 – 8×5) = -4A[0,1] = 2 の要素の余因子:
-egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} = -(7×9 – 6×5) = -33A[0,2] = 3 の要素の余因子:
+egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} = +(7×8 – 6×4) = 32A[2,0] = 7 の要素の余因子:
-egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} = -(2×9 – 8×3) = 6A[2,1] = 4 の要素の余因子:
+egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} = +(1×9 – 6×3) = -9A[2,2] = 5 の要素の余因子:
-egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} = -(1×8 – 6×2) = 4A[3,0] = 6 の要素の余因子:
+egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} = +(2×5 – 4×3) = -2A[3,1] = 8 の要素の余因子:
-egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} = -(1×5 – 7×3) = 16A[3,2] = 9 の要素の余因子:
+egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} = +(1×4 – 7×2) = -10余因子を含む行列は次のようになります。
A =egin{bmatrix} +egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} -egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} +egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} end{bmatrix} 最終的な余因子行列:
A =egin{bmatrix} -4 & -33 & 32 6 & -9 & 4 -2 & 16 & -10 end{bmatrix} ステップ 2: ステップ 1 で取得した行列の転置を求める
adj(A) =egin{bmatrix} -4 & 6 & -2 -33 & -9 & 16 32 & 4 & -10 end{bmatrix} これは 行列の随伴。
例 2: 指定された行列の共結合を求める
解決：
ステップ 1: 各要素の余因子を見つける
各要素の余因子を見つけるには、各要素の行と列を 1 つずつ削除し、削除後の現在の要素を取得する必要があります。
A[0,0] の要素の余因子 = -1 :
+egin{bmatrix} 1 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = +(1×1 – (-2)x(-2)) = -3A[0,1] の要素の余因子 = -2 :
-egin{bmatrix} 2 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = -(2x1 – 2x(-2)) = -6A[0,2] の要素の余因子 = -2 :
+egin{bmatrix} 2 & 1 2 & -2 end{bmatrix} = +(2x(-2) – 2x1) = -6A[2,0] の要素の余因子 = 2 :
-egin{bmatrix} -2 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = -((-2)x1 – (-2)x(-2)) = 6A[2,1] の要素の余因子 = 1 :
+egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x1 – 2x(-2)) = 3A[2,2] の要素の余因子 = -2 :
-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6A[3,0] の要素の余因子 = 2 :
+egin{bmatrix} -2 & -2 1 & -2 end{bmatrix} = +((-2)x(-2) – 1x(-2)) = 6A[3,1] の要素の余因子 = -2 :
-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6A[3,2] の要素の余因子 = 1 :
+egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x(-1)- 2x(-2)) = 3最終的な余因子行列:
A =egin{bmatrix} -3 & -6 & -6 6 & 3 & -6 6 & -6 & 3 end{bmatrix} ステップ 2: ステップ 1 で取得した行列の転置を求める
adj(A) =egin{bmatrix} -3 & 6 & 6 -6 & 3 & -6 -6 & -6 & 3 end{bmatrix} これは 行列の随伴。
行列の随伴体に関する FAQ
行列の随伴体とは何ですか?
正方行列の随伴は、元の行列の余因子の行列の転置です。共役行列とも呼ばれます。
行列の随伴はどのように計算されますか?
行列の随伴を計算するには、指定された行列の余因子行列を見つけて転置する必要があります。
行列の随伴体の使用とは何ですか?
行列の随伴関数の主な応用または使用は、可逆行列の逆行列を見つけることです。
逆行列とその随伴行列の関係は何ですか?
逆行列は、その随伴行列を行列式で割ることによって得られます。つまり、A が正方行列で det(A) がゼロ以外の場合、
あ -1 = adj(A)/det(A)
アジュゲート行列とは何ですか?
随伴行列は、随伴行列とも呼ばれます。これは、指定された行列の余因子の転置です。
行列の随伴と転置の違いは何ですか?
行列の随伴は余因子の行列の転置であり、行列の転置は行と列を交換することによって得られます。
正方行列は常に可逆ですか?
いいえ、正方行列は常に反転できるわけではありません。正方行列は、非ゼロの行列式を持つ場合にのみ可逆です。
非正方行列の随伴は計算できますか?
いいえ、行列の随伴は、その定義により正方行列に対してのみ計算できます。