行列の転置 は、線形代数における行列変換に使用される非常に一般的な方法です。行列の転置は、指定された行列の行と列を交換することによって、またはその逆によって得られます。行列の転置を利用して、行列の随伴行列と逆行列を取得できます。

行列の転置の詳細を学ぶ前に、まず行列とは何かについて学びましょう。行列は、データのセットを長方形の配列形式で表現したものに他なりません。マトリックスでは、データが特定の行と列に配置されます。数学にはさまざまな種類の行列が存在し、行×列の順序で表示されます。次数 3 × 2 の行列 (たとえば A) の例を考えてみましょう。

A =egin{bmatrix}1 & 2 3 & 4 5 & 6end{bmatrix}

この記事では、について学びます 行列の転置、その型、プロパティ、記号、順序、行列の転置の求め方、およびその例。

目次

• マトリックスとは何ですか?
• 行列の種類
• 行列の転置とは何ですか?
• 転置行列の記号 |移調記法
• 転置行列の順序
• 行列の転置を見つけるにはどうすればよいですか?
• 行行列と列行列の転置
• 水平行列と垂直行列の転置
• 対称行列の転置
• 対角行列の転置
• 転置行列の転置
• 正方行列の転置
• 3 × 3 行列の転置
• 行列の転置の行列式
• 行列のプロパティの転置

マトリックスとは何ですか?

特定の行と列に割り当てられた数値、記号、または文字の長方形の配列は、行列と呼ばれます。行列内に存在する数字、記号、または文字は、行列の要素と呼ばれます。行列に存在する行と列の数によって、行列の順序が決まります。たとえば、行列「A」に「i」行と「j」列が含まれる場合、行列は [A]i⨯j で表されます。ここで、i⨯j は行列の次数を決定します。マトリックスの例を見てみましょう。

egin{bmatrix}1 & 2 3 & 4 5 & 6end{bmatrix}_{3 imes2}

上の例では、3 行 2 列があるため、行列の次数は 3⨯2 になります。

行列の種類

行列には、行と列の数、および行列が示す特定の特性に基づいて、さまざまなタイプがあります。いくつか見てみましょう

• 行行列: 行が 1 つだけで列が存在しない行列を行行列と呼びます。
• 列マトリックス: 列と行が 1 つだけある行列は、列行列と呼ばれます。
• 水平マトリックス: 行数が列数より少ない行列を水平行列と呼びます。
• 垂直マトリックス: 列数が行数より少ない行列を垂直行列と呼びます。
• 長方形行列: 行数と列数が等しくない行列を長方形行列と呼びます。
• 正方行列: 行と列の数が同じ行列を正方行列といいます。
• 対角行列: 非対角要素がゼロである正方行列を対角行列と呼びます。
• ゼロ行列: すべての要素がゼロである行列をゼロ行列と呼びます。
• 単位マトリックス: すべての対角要素が 1 である対角行列を単位行列と呼びます。
• 対称行列: 元の行列の転置が元の行列と等しい場合、正方行列は対称であると言われます。つまり (A^T) = A.
• スキュー対称: スキュー対称 (または反対称または逆計 [1]) 行列は、転置がその負に等しい正方行列です。 (A^T) = -A.

こちらもお読みください 、 行列の種類

行列の転置とは何ですか?

行列の転置は、指定された行列の行と列を交換する、またはその逆によって取得される行列です。つまり、指定された行列の行の要素が列の要素と交換されます。任意の行列 A について、その転置は A と表されます。^t、またはA^T。

行列定義の転置

行列の転置は、元の行列の行と列を反転する数学的操作です。

行列の転置の表現

A = [a _(ij) 】 _m×n
あ ^t = [a _（から） 】 _n×m

ここで、i、j は、1 ≤ i ≤ m および 1 ≤ j ≤ n となるように、それぞれ行方向と列方向の行列要素の位置を表します。

例: 任意の行列 A について 秩序ある 2×3の転置は何ですか？

A = egin{bmatrix} 2 & 5 & 3 4 & 7 & 0 end{bmatrix}

解決：

Aの移調

あ^t=egin{bmatrix} 2 & 4 5 & 7 3 & 0 end{bmatrix}

Aの注文^tは 3×2

転置行列の記号 |移調記法

行列の転置は、行列を主対角上で反転し、その行と列を交換する操作です。行列 A の転置は、A’ または A という表記で表されます。^TまたはA^t。

転置行列の順序

行列の次数によって、行列に含まれる要素の合計がわかります。また、行列の行と列の数も表します。水平方向の値は行列の行を表し、垂直方向の値は行列の列を表します。任意の行列 A に対して_m×n、 順序は m×n です。つまり、m 行 n 列になります。したがって、行列 A の転置は A です。^tその順序は n×m です。つまり、n 行と m 列があります。

行列の転置を見つけるにはどうすればよいですか?

行列の転置は、行の値を列の値で変更することで簡単に見つけることができます。これを詳しく理解するために例を見てみましょう。

任意の行列 A に対して₂₃、 順序は 2×3 で、2 行 3 列があることを意味します。

A = egin{bmatrix} a & b & c x & y & z end{bmatrix}

行列 A の転置は A です^t3 行 2 列を持つ 3×2 のオーダー。転置行列では、指定された行列の最初の行の要素が転置行列の最初の列で変更されます。同様に、指定された行列 A の 2 行目の要素が、新しい行列 A の 2 列目と交換されます。^tマトリックス全体が交換されるまで続きます。

等価法則

あ^t=egin{bmatrix} a & x b & y c & z end{bmatrix}

行行列と列行列の転置

単一の行を持つ行列は行行列として知られ、単一の列を持つ行列は列行列として知られます。行行列の転置は列行列であり、その逆も同様です。たとえば、P が次数 4 × 1 の列行列の場合、その転置は次数 1 × 4 の行行列になります。Q が次数 1 × 3 の行行列の場合、その転置は次数 3 の列行列になります。 ×1。

P = left[egin{array}{cccc} a & b & c & dend{array} ight]⇒ P^{t} = left[egin{array}{c} a b c d end{array} ight]

Q = left[egin{array}{c} p q r end{array} ight]⇒ Q^{t} = left[egin{array}{ccc} p & q & rend{array} ight]

水平行列と垂直行列の転置

行列の行数が列数より少ない場合、その行列は水平行列と呼ばれ、行列の列数が行数より少ない場合、その行列は水平行列と呼ばれます。縦のマトリックス。水平行列の転置は垂直行列であり、その逆も同様です。たとえば、M が次数 2 × 3 の水平行列である場合、その転置は次数 3 × 2 の垂直行列になります。

M = left[egin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 0 & 3 & 4 end{array} ight]_{2 imes3}⇒ M^{t} = left[egin{array}{cc} 2 & 0 0 & 3 -1 & 4 end{array} ight]_{3 imes2}

N = left[egin{array}{ccc} 2 & 3 & 4 4 & 6 & 8 6 & 9 & 12 8 & 12 & 16 end{array} ight]_{4 imes3}⇒ N^{t} = left[egin{array}{cccc} 2 & 4 & 6 & 8 3 & 6 & 9 & 12 4 & 8 & 12 & 16 end{array} ight]_{3 imes4}

対称行列の転置

対称マトリックスは、左上から右下への対角線を横切って数字が互いに鏡映するように配置された特別な種類のパターンのようなものです。行列の転置とは、この対角線上で行列を反転することを意味します。

例えば、

egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 3 & 5 & 6 end{bmatrix}

対角線の両側の数字は同じです。2 は 2 の向かい側、3 は 3 の向かい側、というようになります。さて、この行列の転置を行う場合は、単に対角線上で反転するだけです。したがって、もともと行にあった数値は列になり、その逆も同様です。

egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 3 & 5 & 6 end{bmatrix}^T = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 3 & 5 & 6 end{bmatrix}

ここで、元の行列とその転置はまったく同じです。それは、対称行列を転置すると、同じ行列が返されるからです。これは対称行列の特別な特性です。

対角行列の転置

対角行列は、数値が左上から右下への対角線に沿ってのみ表示され、他のすべてのエントリが 0 であるパターンのようなものです。行列の転置とは、この対角線上で行列を反転することを意味します。

例えば、

egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 5 end{bmatrix}

ここでは、数字 2、3、5 が対角線に沿って表示されていますが、他のすべてのエントリは 0 です。対角行列はすでにその対角に関して対称であるため、対角行列の転置は単純にそれ自体です。

egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 5 end{bmatrix}^T = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 5 end{bmatrix}

転置行列の転置

行列を転置すると、基本的には対角線上で行列を反転することになります。したがって、すでに転置された行列を転置することは、元の向きに戻すことを意味します。

例えば、

egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 end{bmatrix} = egin{bmatrix} 1 & 4 2 & 5 3 & 6 end{bmatrix}

さて、この転置行列を転置すると、次のようになります。

left( egin{bmatrix} 1 & 4 2 & 5 3 & 6 end{bmatrix} ight)^T = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 end{bmatrix}

正方行列の転置

正方行列は、同じ数の行と列を持つ行列です。任意の正方行列 A に対して_n×n、その転置は同じ順序です。つまり、A、Aの転置です。^t次数は n × n です。正方行列の転置では、行と列が交換されます。

2 × 2 行列の転置

任意の 2 × 2 行列 A について、

A =egin{bmatrix} a & x b & y end{bmatrix}

その転置はAです^t、

あ^t= egin{bmatrix} a & b x & y end{bmatrix}

例: 行列 A の転置を求めます = egin{bmatrix} 1 & 2 3 & 4 end{bmatrix}

解決：

行列 A = の転置 egin{bmatrix} 1 & 2 3 & 4 end{bmatrix} は

あ^t=egin{bmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{bmatrix}

3 × 3 行列の転置

任意の 3 × 3 行列 A について、

A =egin{bmatrix} a & x & p b & y & q c & z & r end{bmatrix}

その転置はAです^t、

ヒープソートアルゴリズム

あ^t= egin{bmatrix} a & b & c x & y & z p & q & r end{bmatrix}

例: 行列 A の転置を求めます = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

解決：

行列 A = の転置egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} は

あ^t=egin{bmatrix} 1 & 4 & 7 2 & 5 & 8 3 & 6 & 9 end{bmatrix}

行列の転置の行列式

行列 A の転置の行列式は、A 自体の行列式と等しくなります。つまり、任意の正方行列 A についてです。

|A| = |A ^T |

行列のプロパティの転置

行列の転置の重要な特性について学びましょう。

• 次数 n × n の正方行列 A は、AA の場合、直交行列と言われます。^T=A^TA = I、ここで、I は次数 n × n の単位行列です。
• 次数 n × n の正方行列 A は、その転置が元の行列、つまり A と同じである場合、対称行列であると言われます。^T=A.
• 次数 n × n の正方行列 A は、その転置が元の行列の負の値、つまり A に等しい場合、歪対称行列であると言われます。^T= –A.
• 行列の二重転置: 転置行列の転置は元の行列そのものです。

(A ^t ) ^t =A

• 行列の積の転置： この物件が言うには、

(AB) ^t =B ^t あ ^t

証拠：

行列 A と B の次数がそれぞれ m × n と n × p であるとします。

そして

あ^tそしてB^tは、それぞれ次数 n × m および p × n の行列 A および B の転置です (行列の積則から)。

これは、A = [a(ij)]、および A の場合を意味します。^t= [c(の)]

すると、[c(ji)] = [a(ij)] となります。

そして、

B = [b(jk)]、および B の場合^t= [d(kj)]

すると、[d(kj)] = [b(jk)] となります。

さて、行列の積則から、次のように書くことができます。

AB は m × p 行列であり、(AB)^tは p × m 行列です。

また、B^tは p × n 行列であり、A^tは n × m 行列です。

これは、次のことを意味します。

(B^t)(A^t) は p × m 行列です。

したがって、

(AB)^tそして（B^t)(A^t) は両方とも p × m 行列です。

これで、次のように書くことができます。

(k、i)^番目(AB) の要素^t= (i, k)^番目ABの要素

sum_{j=1}^{n} a_{ij} b_{jk} sum_{j=1}^{n} c_{ji} d_{kj}

sum_{j=1}^{n} d_{kj} c_{ji}

(k, i) 番目 の要素 (B ^t )(A ^t )

したがって、

の要素 (AB) ^t そして (B ^t )(A ^t ） は同じ。

したがって、

(AB) ^t = (B ^t )(A ^t )

• 定数による乗算: 行列にスカラー値を乗算し、その転置を行うと、結果として得られる行列は、元の行列にスカラー値を乗算した転置と等しくなります。つまり、(kA)^t= kA^tここで、k はスカラー値です。

証拠：

行列 A = [a_ij】_m×nそしてスカラーk。

与えられた行列 A の次数は m × n です。

行列 A にスカラー値 k を乗算すると、行列のすべての要素にこのスカラー定数 k が乗算されますが、行列 kA の次数は同じままです (つまり、m × n)。

ここで、行列 kA の転置次数、つまり (kA)^tn×mとなります。

行列 A の次数は m × n であるため、その転置行列、つまり A の次数は次数となります。^tn×mとなります。

行列 A の場合^tスカラー値 k を乗算し、行列 kA の次数を乗算します。^tもn×mとなります。

したがって、行列の次数 (kA)^tそしてkA^tは同じです、つまり n × m。

さて、(kA) の対応する要素が^tそしてkA^tは同じ。

(kA) の (i, j) 番目の要素^tは、kA の (j, i) 番目の要素と等しくなります。

(i、j)^番目(kA) の要素^t= (j, i)^番目kAの要素

⇒ (i, j)^番目(kA) の要素^t= (i, j)^番目kAの要素^t

したがって、(kA) の対応する要素は^tそしてkA^tは同じ。

(kA) の次数と対応する要素として^tそしてkA^tは同じ、

したがって、次のように結論付けることができます。 (kA) ^t = kA ^t 。

Javaで整数を文字列に変換する方法

• 行列の加算の転置: この物件はそれを物語っています。

(A+B) ^t =A ^t +B ^t

証拠：

ここで A と B は 2 つの順序行列です m×n

させて、 A = [a(ij)] そして B = [b(ij)] 秩序ある m×n 。

それで、 (A+B) それも秩序ある m×n マトリックス

また、 あ ^t そして B ^t 秩序ある n×m 行列。

それで、 行列の転置 (A + B) または (A+B) ^t です n×m マトリックス。

今、私たちは次のように言えます。 あ ^t +B ^t もです n×m マトリックス。

さて、転置規則から、
(j, i) 番目 の要素 (A+B) ^t = (i, j) 番目 の要素 (A+B)

= (i, j) 番目 の要素 あ + (i, j) 番目 の要素 B
= (j, i) 番目 の要素 あ ^t + (j, i) 番目 の要素 B ^t
= (j, i) 番目 の要素 (A ^t +B ^t )

したがって、

(A+B) ^t =A ^t +B ^t

• A が任意の次数の正方行列で可逆である場合、その転置の逆行列は元の行列の逆行列の転置と等しくなります。つまり、(A^t)^-1= (A^-1)^t。

証拠：

それを証明するには(A^t)^-1= (A^-1)^t、非特異正方行列 A を考えてみましょう。

右辺 = (A^-1)^t

ここで、乗算します (A^-1)^tby A^t

= (A^-1)^t×A^t

私たちはそれを知っています (AB)^t=B^tあ^t

それで、(A^-1)^tあ^t= (AA^-1)^t

私たちはAAを知っています^-1= I、ここで I は単位行列です。

それで、(A^-1)^tあ^t= 私^t

⇒ (A^-1)^tあ^t= 私 (以来、私は^t=私)

⇒ (A^-1)^t= (A^t)^-1=左HS

したがって証明されました。

したがって、 (A ^t ) ^-1 = (A ^-1 ) ^t

他の人はこちらも読んでいます:

• 行列の随伴体
• 行列の行列式
• 逆行列

行列の転置に関する解決例

例 1: 行列 A = の転置を求めます。 egin{bmatrix} a & b & c p & q & r end{bmatrix}

解決：

行列 A の転置は A です^t

あ^t=egin{bmatrix} a & p b & q c & r end{bmatrix}

例 2: 行列の場合、 A = egin{bmatrix} -2 & 1 & 3 0 & 4 & -1 end{bmatrix} そして B = egin{bmatrix} 2 & 1 -3 & 0 4 & -5 end{bmatrix}

マウスとマウスの種類

これらの行列が次の特性を保持していることを証明します (AB) ^t = (B ^t )(A ^t )

解決：

ここでAとBは 23 そして 3×2 それぞれ行列。したがって、行列の積則により、それらの積を見つけることができ、最終的な行列は次のようになります。 2×2 マトリックス。

L.H.S

今、

AB= egin{bmatrix} -2 & 1 & 3 0 & 4 & -1 end{bmatrix} imes egin{bmatrix} 2 & 1 -3 & 0 4 & -5 end{bmatrix}

AB =egin{bmatrix} (-2)×2+1×(-3)+3×4 & (-2)×1+1×0+3×(-5) 0×2+4×(-3)+(-1)×4 & 0×1+4×0+(-1)×(-5) end{bmatrix}

AB= egin{bmatrix} 5 & -17 -16 & 5 end{bmatrix}

したがって、行列 AB の転置は次のようになります。

(AB)^{t} = egin{bmatrix} 5 & -16 -17 & 5 end{bmatrix} egin{bmatrix} 5 & -16 -17 & 5 end{bmatrix}

R.H.S.

A^{t} = egin{bmatrix} -2 & 0 1 & 4 3 & -1 end{bmatrix}

そして

B^{t} = egin{bmatrix} 2 & -3 & 4 1 & 0 & -5 end{bmatrix}

それで、

B^{t}A^{t} = egin{bmatrix} 2 & -3 & 4 1 & 0 & -5 end{bmatrix} imes egin{bmatrix} -2 & 0 1 & 4 3 & -1 end{bmatrix} B^{t}A^{t} = egin{bmatrix} 2×(-2)+(-3)×1+4×3 & 2×0+(-3)×4+4×(-1) 1×(-2)+0×1+(-5)×3 & 1×0+0×4+(-5)×(-1) end{bmatrix} B^{t}A^{t} = egin{bmatrix} 5 & -16 -17 & 5 end{bmatrix}

したがって、

(AB) ^t =B ^t あ ^t

例 3: (Q ^T ) ^T = Qかどうか。

Q = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight]

解決：

bツリーとbツリー

Q = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight]

Q^{T} = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight]^{T} = left[egin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 5 & 6 & 8 end{array} ight]

(Q^{T})^{T} = left[egin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 5 & 6 & 8 end{array} ight]^{T}

(Q^{T})^{T} = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight] = Q

したがって、検証されました。

例 4: 以下に示す行列が対称かどうかを検証します。

P = left[egin{array}{cc} 6 & -5 -5 & 6 end{array} ight]

解決：

次数 n × n の正方行列 P は、その転置が元の行列、つまり P と同じである場合、対称行列であると言われることがわかっています。^T= P.

P^{T} = left[egin{array}{cc} 6 & -5 -5 & 6 end{array} ight]^{T}

さて、P^T行を列に交換することで得られます。

P^{T} = left[egin{array}{cc} 6 & -5 -5 & 6 end{array} ight] = P

Pとして^T= P、指定された正方行列は対称です。

例 5: 行列の場合 A= egin{bmatrix} -1 & 5 3 & 2 end{bmatrix} そして B= egin{bmatrix} 3 & -2 5 & 4 end{bmatrix}

これらの行列がこの性質 (A + B) を保持していることを証明します。 ^t =A ^t +B ^t

解決：

L.H.S

(A+B)= egin{bmatrix} -1 & 5 3 & 2 end{bmatrix} + egin{bmatrix} 3 & -2 5 & 4 end{bmatrix} = egin{bmatrix} (-1)+3 & 5+(-2) 3+5 & 2+4 end{bmatrix} = egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 6 end{bmatrix}

それで、

(A+B)^{t} = egin{bmatrix} 2 & 8 3 & 6 end{bmatrix}

R.H.S.

A^{t} = egin{bmatrix} -1 & 3 5 & 2 end{bmatrix} egin{bmatrix} -1 & 3 5 & 2 end{bmatrix}

そして、

B^{t} = egin{bmatrix} 3 & 5 -2 & 4 end{bmatrix}

今、

A^{t} + B^{t} = egin{bmatrix} -1 & 3 5 & 2 end{bmatrix} + egin{bmatrix} 3 & 5 -2 & 4 end{bmatrix} = egin{bmatrix} (-1)+3 & 3+5 5+(-2) & 2+4 end{bmatrix} A^{t} + B^{t} = egin{bmatrix} 2 & 8 3 & 6 end{bmatrix}

したがって、

(A+B) ^t =A ^t +B ^t

行列の転置に関する FAQ

行列の転置とは何ですか?

行列の転置とは、行列の行と列を入れ替えることによって得られる行列です。行列 A の転置は A として表されます。^t。次数が m×n の特定の行列の場合、行列の転置は次数が n×m になります。

正方行列の転置の次数は何ですか?

正方行列の場合、行列の次数は転置によって変わりません。したがって、次数が n×n の行列の場合、その転置次数も n×n になります。

転置行列の加算プロパティとは何ですか?

行列の転置の加法特性は、2 つの転置行列の和が常に個々の行列の転置の和に等しいことを示します。つまり、

(A+B)' = A'+B'

転置行列の乗算プロパティとは何ですか?

行列の転置の乗算の性質は、2 つの行列の転置の積が常に個々の行列の逆順の転置の積に等しいことを示します。つまり、

(A×B)’ = B’ × A’

行列の転置を計算するにはどうすればよいですか?

行列の転置は、行の値を列の値で変更することで簡単に見つけることができます。