A.P. としても知られる等差数列は、連続する 2 つの項の差が定数となる数学の数列です。この定数は共通差分として知られています。等差数列は、連続する 2 つの数値の差が定数値となる、順番に並んだ数値のシーケンスです。
この記事では、等差数列の定義、等差数列の公式、関連する例などについて詳しく学びます。
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目次
等差累進とは何ですか?
等差数列 (AP) は、連続する 2 つの数値の差が定数値となる一連の数値です。言い換えれば、等差数列は次のように定義できます。 連続する 2 つの項の差が常に定数となる数学的数列。
たとえば、一連の数字: 1、2、3、4、5、6、... は等差数列であり、連続する 2 つの項 (1 と 2 など) の間に 1 (2 – 1)。 2 が等しい奇数と偶数の場合でも、連続する 2 つの項の間に共通の違いが見られます。 AP では、3 つの主な項は共通差分 (d)、n 番目の項 (a) です。n)、および最初の n 項の合計 (Sn); 3 つの用語はすべて AP のプロパティを表します。共通する違いを詳しく見てみましょう。
AP では、シーケンス、シリーズ、プログレッションなどのさまざまな単語に遭遇します。では、それぞれの単語が何を定義しているかを見てみましょう。
- 順序 は、特定のパターンに従う有限または無限の数値リストです。たとえば、0、1、2、3、4、5... はシーケンスであり、無限の整数のシーケンスです。
- シリーズ シーケンスが対応する要素の合計です。たとえば、1 + 2 + 3 + 4 + 5…。は自然数の系列です。シーケンスまたはシリーズ内の各数値は項と呼ばれます。ここで、1 は用語、2 は用語、3 は用語などです。
- 進行状況 一般項を数式で表現できる数列、または数列として定義できる数式を使用した数列です。
注記： 進行には大きく分けて3つのタイプがあります。
- 等差数列 (AP)
- 幾何学的な進行 (GP)
- 和声進行 (HP)
等差数列の表記法
等差数列では次のような表記が出てきます。
- 前期⇢ ある
- 共通の違い ⇢ d
- N期⇢ ある n
- 最初の n 項の合計 ⇢ S n
等差数列の一般的な形式は次のとおりです。 a、a + d、a + 2d … a + (n – 1)d
AP の例をいくつか示します。
- 6、13、20、27、34、41、…
- 91、81、71、61、51、41、…
- p、2p、3p、4p、5p、6p、...
- -√3、−2√3、−3√3、−4√3、−5√3、−6√3、…
等差数列の一般的な違い
公差 は等差数列で d で表されます。それは次の学期とその前の学期の違いです。等差数列の場合、常に一定または同じになります。一言で言えば、ある配列において共通差が一定である場合、これは A.P であると言えます。1、ある2、3、4、 等々。
つまり、等差数列の共通差分はdで表されます。後続の用語とその前の用語の差。等差数列では常に一定または同じです。言い換えれば、与えられたシーケンスにおいて、共通の差異が一定または同じである場合、そのシーケンスは にあると言えます。 算術級数 (AP)。
共通の違いを見つける公式は次のとおりです。
d = (a n+1 – n ) = (a n – n-1 )
- 共通差異が正の場合、 APが増加します 。たとえば、4、8、12、16... これらのシリーズでは、AP が増加します
- 共通差が負の場合は、 APが減少する 。たとえば、-4、-6、-8…、ここでは AP が減少します。
- 公差がゼロの場合、 APは一定になります 。たとえば、1、2、3、4、5…、ここでは AP は一定です。
等差数列のシーケンスは次のようになります。 1 、 2 、 3 、 4 、…
共通の差異 (d) = ある 2 – 1 = d
ある 3 – 2 = d
ある 4 – 3 = d など。
等差数列の第 1 項
等差数列は、共通差分 (d) を使用して次のように記述できます。
a、a + d、a + 2d、a + 3d、a + 4d、…、a + (n – 1)d
どこ、
- a は AP の最初の項です
- dはAPの公差です
等差数列の N 項
n番目の項は、以下の式を使用して求めることができます。
T n = a + (n − 1)d
どこ、
- a は AP の第 1 項です
- dは共通の違いです
- n は項の数です
- Tnn期目です
等差数列の N 項
注記： 等差数列の動作は共通差分の値に基づきます。
- d が正の場合、項は正の無限大まで増加します。
- d が負の場合、メンバーの項は負の無限大まで増加します
等差数列の和
等差数列の和の公式 以下で説明します。 n 個の項から構成される AP を考えてみましょう。
S = n/2 [2a + (n − 1) d]
git プル構文
最初と最後の項が与えられたときの等差数列の和、
S = n/2 (AP の最初の項 + AP の最後の項)
S = N/2[a+a n ]
等差数列公式 (AP 公式)
最初の項「a」と共通差異「d」を持つ AP の場合、そのさまざまな式は次のとおりです。
- 共通の違い AP: d = a 2 – 1 = a 3 – 2 = a 4 – 3 = … = a n – n-1
- AP の n 期: ある n = a + (n – 1)d
- AP の n 項の合計: S n = n/2 (2a + (n – 1) d) = n/2 (a + l) ここで、l は等差数列の最後の項です。
等差数列の概要
- 等差数列 (AP) は、連続する 2 つの数値の差が定数値となる一連の数値です。たとえば、一連の数字: 1、2、3、4、5、6、...
- 等差数列の一般的な形式は、a、a + d、a + 2d、a + 3d …です。
- 等差数列の n 項の公式は次のとおりです。 ある n = a + (n – 1)d
- 最初の n 項の合計、または算術合計の公式は次のとおりです。 S n = n/2[2a + (n – 1) d] 、 S n = n/2[a + a n ]
等差数列に関連する記事:
- 合計の計算式
- 自然数の和
- 等差数列と等比数列
等差数列の例
例 1: 最初の項が 15 で、共通差が 4 である場合の AP を見つけます。
解決：
みなさんご存じのとおり、
a、a + d、a + 2d、a + 3d、a + 4d、…
ここで、a = 15、d = 4
= 15、(15 + 4)、(15 + 2 × 4)、(15 + 3 × 4)、(15 + 4 × 4)、
= 15、19、(15 + 8)、(15 + 12)、(15 + 16)、...
= 15、19、23、27、31、…など。
したがって、AP は 15、19、23、27、31…
javaのリスト
例 2: 指定された AP の 20 番目の項を検索します: 3、5、7、9、…
解決：
与えられた場合、3、5、7、9、11……
ここ、
a = 3、d = 5 – 3 = 2、n = 20
あるn= a + (n − 1)d
ある二十= 3 + (20− 1)2
ある二十= 3 + 38
ある二十= 41
ここで第 20 期は、二十= 41
例 3: 最初の 20 の 5 の倍数の合計を求めます。
解決：
最初の 20 の 5 の倍数は、5、10、15、… 100 です。
ここで、形成された数列が算術数列であることは明らかです。
a = 5、d = 5、an= 100、n = 20。
Sn= n/2 [2a + (n − 1) d]
Sn= 20/2 [2 × 5 + (20 − 1)5]
ライオンとトラの比較Sn= 10 [10 + 95]
Sn= 1050
等差数列の練習問題
Q1.等差数列の最初の nn 項の合計は S で与えられます。 n = 3n 2 +2n。共通の違いと最初の項を見つけます。
Q2.等差数列の最初の項は 7、第 11 項は 31 です。最初の 11 項の合計を求めます。
Q3.等差数列では、最初の 10 項の合計は 150、次の 10 項の合計は 550 になります。最初の項と共通の差を求めます。
Q4.等差数列の第 4 項が 10、第 9 項が 25 の場合、第 15 項を求めます。
Q5.等差数列には 5 の公差があります。6 番目の項が 22 の場合、最初の項と最初の 12 項の和を求めます。
等差数列に関する FAQ
例を使った等差数列とは何ですか?
等差数列は、連続する 2 つの項に共通の差がある一連の数値です。例: 3、6、9、12、15、…
等差数列の和はどうやって求めますか?
等差数列の合計を求めるには、提供される情報に基づいて次の式を使用できます。
S = n/2 (AP の最初の項 + AP の最後の項) = n/2[a+ a n ]
等差級数と等差級数の違いは何ですか?
等差数列は、共通の差を与える任意の範囲内のシーケンスの数です。一方、等差級数/数列は、等差数列に存在するすべての項の合計です。
AP と GP の計算式は何ですか?
AP と GP の計算式は次のとおりです。
- AP: ある n = a + (n – 1).d
- GP: ある n = a.r
等差数列の使用とは何ですか?
等差数列は、連続する 2 つの項間の共通の差を与える級数です。日常生活では、一連のパターンを一般化するために使用されます。たとえば、バスを待っているときに、バスが一定の速度で移動していると仮定すると、AP の助けを借りて、バスがいつ到着するかを知ることができます。 APはピラミッド状の構造物などの製作にも使用できます。