ビッグオー表記 は、アルゴリズムの時間計算量または空間計算量を記述するためにコンピューター サイエンスで使用される強力なツールです。これは、最悪の場合のパフォーマンスに関してさまざまなアルゴリズムの効率を比較するための標準化された方法を提供します。理解 ビッグオー表記 効率的なアルゴリズムを分析および設計するために不可欠です。
このチュートリアルでは、次の基本について説明します。 ビッグオー表記 、その重要性、およびアルゴリズムの複雑さを分析する方法 ビッグオー 。
目次
- Big-O記法とは何ですか?
- Big-O 表記の定義:
- なぜ Big O 記法が重要なのでしょうか?
- Big O 記法のプロパティ
- 一般的な Big-O 表記法
- Big O 表記を決定するには?
- 実行時解析の数学的例
- 実行時分析のアルゴリズム例
- 演算数と実行時間のあるアルゴリズム クラス
- Big O表記、Big Ω（オメガ）表記、Big θ（シータ）表記の比較
- Big O Notation に関するよくある質問
Big-O記法とは何ですか?
ビッグオー 、一般的にはと呼ばれます の順序 を表現する方法です。 上界 アルゴリズムの時間計算量を分析するため、 最悪の場合 アルゴリズムの状況。それは、 上限 入力のサイズに関してアルゴリズムにかかる時間。と表記されます O(f(n)) 、 どこ f(n) サイズの問題を解決するためにアルゴリズムが実行する操作 (ステップ) の数を表す関数です n 。
ビッグオー表記 アルゴリズムのパフォーマンスや複雑さを説明するために使用されます。具体的には、 最悪のシナリオ に関しては 時間 または 空間の複雑さ。
大事なポイント：
- ビッグオー表記 関数の漸近的な動作のみを記述しており、関数の正確な値を記述しているわけではありません。
- の ビッグオー表記 さまざまなアルゴリズムやデータ構造の効率を比較するために使用できます。
Big-O 表記の定義:
2 つの関数が与えられた場合 f(n) そして おやすみなさい） 、私たちはそう言います f(n) は O(g(n)) 定数が存在する場合 c> 0 そして n 0 >= 0そのような f(n) <= c*g(n) すべてのために n>= n 0 。
もっと簡単に言うと、 f(n) は O(g(n)) もし f(n) 以下の速度で成長する c*g(n) すべての n>= n について0ここで、c と n0は定数です。
開発者モードを終了する方法
なぜ Big O 記法が重要なのでしょうか?
ビッグ O 表記法は、アルゴリズムの最悪の場合の時間計算量や効率、あるいはデータ構造の最悪の場合の空間計算量を記述するために使用される数学的な表記法です。これは、さまざまなアルゴリズムとデータ構造のパフォーマンスを比較し、入力サイズが増加したときにそれらがどのように動作するかを予測する方法を提供します。
Big O 表記はいくつかの理由から重要です。
- Big O Notation は、アルゴリズムの効率の分析に役立つため重要です。
- これは、 ランタイム または スペース要件 入力サイズが増加するにつれてアルゴリズムも大きくなります。
- プログラマはさまざまなアルゴリズムを比較し、特定の問題に対して最も効率的なアルゴリズムを選択できます。
- アルゴリズムのスケーラビリティを理解し、入力サイズが増大したときにアルゴリズムがどのように実行されるかを予測するのに役立ちます。
- 開発者がコードを最適化し、全体的なパフォーマンスを向上できるようにします。
Big O 記法のプロパティ:
以下は、Big O Notation の重要なプロパティの一部です。
1. 反射性:
任意の関数 f(n) について、f(n) = O(f(n))。
例：
f(n) = n2、f(n) = O(n2）。
2. 推移性:
f(n) = O(g(n)) かつ g(n) = O(h(n)) の場合、f(n) = O(h(n)) となります。
例：
f(n) = n3、g(n) = n2、h(n) = n4。この場合、f(n) = O(g(n)) および g(n) = O(h(n)) となります。したがって、f(n) = O(h(n)) となります。
3. 定数係数:
定数 c> 0 および関数 f(n) および g(n) について、f(n) = O(g(n)) の場合、cf(n) = O(g(n)) となります。
例：
f(n) = n、g(n) = n2。したがって、f(n) = O(g(n)) となります。したがって、2f(n) = O(g(n)) となります。
4. 合計ルール:
f(n) = O(g(n)) かつ h(n) = O(g(n)) の場合、f(n) + h(n) = O(g(n)) となります。
例：
f(n) = n2、g(n) = n3、h(n) = n4。この場合、f(n) = O(g(n)) および h(n) = O(g(n)) となります。したがって、f(n) + h(n) = O(g(n)) となります。
5. 製品ルール:
f(n) = O(g(n)) かつ h(n) = O(k(n)) の場合、f(n) * h(n) = O(g(n) * k(n)) 。
ストアドプログラム制御
例：
f(n) = n、g(n) = n2、h(n) = n3、k(n) = n4。この場合、f(n) = O(g(n)) および h(n) = O(k(n)) となります。したがって、 f(n) * h(n) = O(g(n) * k(n)) = O(n5）。
6. 構成ルール:
f(n) = O(g(n)) かつ g(n) = O(h(n)) の場合、f(g(n)) = O(h(n)) となります。
例：
f(n) = n2、g(n) = n、h(n) = n3。この場合、f(n) = O(g(n)) および g(n) = O(h(n)) となります。したがって、 f(g(n)) = O(h(n)) = O(n3）。
一般的な Big-O 表記:
Big-O 表記法は、アルゴリズムの時間と空間の複雑さを測定する方法です。これは、最悪のシナリオにおける複雑さの上限を示します。さまざまな種類の時間計算量を見てみましょう。
1. 線形時間計算量: Big O(n) 計算量
線形時間計算量とは、アルゴリズムの実行時間が入力のサイズに応じて線形に増加することを意味します。
たとえば、次のようなアルゴリズムを考えてみましょう。 配列を走査して特定の要素を見つけます :
コードスニペット bool findElement(int arr[], int n, int key) { for (int i = 0; i < n; i++) { if (arr[i] == key) { return true; } } return false; }> 2. 対数時間計算量: Big O(log n) 計算量
対数的な時間計算量は、アルゴリズムの実行時間が入力サイズの対数に比例することを意味します。
たとえば、 二分探索アルゴリズム 対数的な時間計算量を持ちます。
コードスニペット int binarySearch(int arr[], int l, int r, int x) { if (r>= l) { int mid = l + (r - l) / 2; if (arr[mid] == x) はmidを返します。 if (arr[mid]> x) return binarySearch(arr, l, mid - 1, x); return binarySearch(arr、mid + 1、r、x); -1 を返します。 }>> 3. 二次時間計算量: Big O(n2) 複雑さ
二次時間計算量は、アルゴリズムの実行時間が入力サイズの 2 乗に比例することを意味します。
たとえば、単純な バブルソートアルゴリズム は二次時間計算量を持ちます。
コードスニペット void bubbleSort(int arr[], int n) { for (int i = 0; i < n - 1; i++) { for (int j = 0; j < n - i - 1; j++) { if (arr[j]>arr[j + 1]) { swap(&arr[j], &arr[j + 1]); } } } }>> 4. 3次時間計算量: Big O(n3) 複雑さ
3 次時間計算量とは、アルゴリズムの実行時間が入力サイズの 3 乗に比例することを意味します。
たとえば、ナイーブな 行列乗算アルゴリズム 3 次時間計算量があります。
コードスニペット void multiply(int mat1[][N], int mat2[][N], int res[][N]) { for (int i = 0; i < N; i++) { for (int j = 0; j < N; j++) { res[i][j] = 0; for (int k = 0; k < N; k++) res[i][j] += mat1[i][k] * mat2[k][j]; } } }> 5. 多項式の時間計算量: Big O(nk) 複雑さ
多項式時間計算量とは、入力サイズの多項式関数として表現できるアルゴリズムの時間計算量を指します。 n 。ビッグで ○ 表記法では、時間計算量が次の場合、アルゴリズムは多項式時間計算量を持つと言われます。 の上 k ) 、 どこ k は定数であり、多項式の次数を表します。
多項式の時間計算量を備えたアルゴリズムは、入力サイズが増加するにつれて実行時間が合理的な割合で増加するため、一般に効率的であると考えられています。多項式時間計算量を使用するアルゴリズムの一般的な例は次のとおりです。 線形時間計算量 O(n) 、 二次時間計算量 O(n 2 ) 、 そして 3次時間計算量 O(n 3 ) 。
6. 指数関数的な時間計算量: Big O(2n) 複雑さ
指数関数的な時間計算量とは、入力データ セットに追加されるたびにアルゴリズムの実行時間が 2 倍になることを意味します。
たとえば、次の問題 セットのすべてのサブセットを生成する 指数関数的な時間計算量です。
コードスニペット void generateSubsets(int arr[], int n) { for (int i = 0; i < (1 << n); i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { if (i & (1 << j)) { cout << arr[j] << ' '; } } cout << endl; } }> 階乗時間計算量: Big O(n!) 計算量
階乗時間計算量とは、アルゴリズムの実行時間が入力のサイズに応じて階乗的に増加することを意味します。これは、データ セットのすべての順列を生成するアルゴリズムでよく見られます。
以下は、配列のすべての順列を生成する階乗時間計算量アルゴリズムの例です。
コードスニペット void permute(int* a, int l, int r) { if (l == r) { for (int i = 0; i <= r; i++) { cout << a[i] << ' '; } cout << endl; } else { for (int i = l; i <= r; i++) { swap(a[l], a[i]); permute(a, l + 1, r); swap(a[l], a[i]); // backtrack } } }> 最も一般的な Big O 表記の例をプロットすると、次のようなグラフになります。
Big O 表記を決定するには?
ビッグオー表記 を説明するために使用される数学的表記法です。 漸近的な動作 関数の入力が無限に大きくなるにつれて、これは、アルゴリズムとデータ構造の効率を特徴付ける方法を提供します。
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Big O 表記を決定する手順:
1. 主要な用語を特定します。
- 関数を調べて、入力サイズの増加に応じて最も次数が増加する項を特定します。
- 定数因数や下位項は無視します。
2. 成長の順序を決定します。
- 支配項の成長順序によって、Big O の表記が決まります。
3. Big O 記法を書きます。
- Big O 表記は O(f(n)) と書きます。f(n) は支配項を表します。
- たとえば、支配項が n^2 の場合、Big O 表記は O(n^2) になります。
4. 表記を簡略化します (オプション):
- 場合によっては、 Big O のブランディング n は、定数因数を削除するか、より簡潔な表記を使用することによって簡略化できます。
- 例えば、 O(2n) に簡略化できます の上）。
例：
関数: f(n) = 3n3+2n2+ 5n + 1
- 支配的な項: 3n3
- 増加次数: 3 次 (n3)
- ビッグオー表記：O(n3)
- 簡略表記: O(n3)
実行時解析の数学的例:
以下の表は、入力サイズ (n) の増加に伴うさまざまな次数のアルゴリズムの実行時分析を示しています。
| n | ログ(n) | n | n * log(n) | n^2 | 2^n | ん！ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 10 | 1 | 10 | 10 | 100 | 1024 | 3628800 |
| 二十 | 2,996 | 二十 | 59.9 | 400 | 1048576 | 2.432902e+1818 |
実行時分析のアルゴリズムの例:
以下の表は、実行時の複雑さに基づいてアルゴリズムを分類し、各タイプの例を示しています。
| タイプ | 表記 | アルゴリズムの例 |
|---|---|---|
| 対数 | O(log n) | 二分探索 |
| 線形 | の上） | 線形探索 |
| スーパーリニア | O(n log n) | ヒープソート、マージソート |
| 多項式 | O(n^c) | ストラッセン行列乗算、バブル ソート、選択ソート、挿入ソート、バケット ソート |
| 指数関数的 | O(c^n) | ハノイの塔 |
| 階乗 | の上！） | 未成年者による行列式展開、総当たり巡回セールスマン問題の探索アルゴリズム |
演算数と実行時間のあるアルゴリズム クラス:
以下は、アルゴリズムのクラスと、それを実行するコンピュータでの実行時間です。 1 秒あたり 100 万回の操作 (1 秒 = 10) 6 μ秒 = 10 3 ミリ秒) :
Big O 記譜法クラス | f(n) | n = 10 の Big O 分析 (操作数) | 実行時間 (1 命令/μ秒) |
|---|---|---|---|
絶え間ない SIMカードが挿入されましたが、サービスがありませんアンドロイド | ○(1) | 1 | 1μ秒 |
対数 | O(ログン) | 3.32 | 3μ秒 |
線形 | の上） | 10 | 10μ秒 |
O(nlogn) | O(nlogn) | 33.2 | 33μ秒 |
二次関数 | の上2) | 102 | 100μ秒 |
キュービック | の上3) | 103 | 1ミリ秒 |
指数関数的 | O(2n) | 1024 | 10ミリ秒 |
階乗 | の上！） | 10！ | 3.6288秒 |
Big O 表記、Big Ω (オメガ) 表記、Big θ (シータ) 表記の比較:
以下は、Big O 表記、Ω (オメガ) 表記、θ (シータ) 表記を比較した表です。
ウルフィ・ジャベド
| 表記 | 意味 | 説明 |
|---|---|---|
| ビッグオー（オー） | すべての n ≥ n に対して f(n) ≤ C * g(n)0 | アルゴリズムの実行時間の上限を説明します。 最悪の場合 。 |
| Ω（オメガ） | すべての n ≥ n に対して f(n) ≥ C * g(n)0 | アルゴリズムの実行時間の下限を説明します。 最良の場合 。 |
| θ（シータ） | C1* g(n) ≤ f(n) ≤ C2* g(n) は n ≥ n の場合0 | アルゴリズムの上限と下限の両方を説明します。 実行時間 。 |
それぞれの表記法では次のようになります。
- f(n) 分析対象の関数、通常はアルゴリズムの時間計算量を表します。
- おやすみなさい） 境界となる特定の関数を表します f(n) 。
- C、C1、 そして C2 は定数です。
- n 0 は、それを超えると不等式が成立する最小入力サイズです。
これらの表記法は、アルゴリズムに基づいてアルゴリズムを分析するために使用されます。 最悪の場合（ビッグオー） 、 最良の場合 (Ω) 、 そして 平均的な場合 (θ) シナリオ。
Big O Notation に関するよくある質問:
質問1. Big O記法とは何ですか?
答え： Big O Notation は、アルゴリズムの時間計算量の上限を、入力のサイズに比べてどのように増加するかという観点から記述するために使用される数学的な表記法です。
質問 2. Big O Notation はなぜ重要ですか?
答え： これは、最悪のシナリオに焦点を当て、入力サイズに応じてアルゴリズムのパフォーマンスがどのように変化するかを理解することで、アルゴリズムの効率を分析および比較するのに役立ちます。
質問 3. Big O Notation はどのように計算されますか?
答え： Big O Notation は、アルゴリズム内の主要な演算を特定し、その時間計算量を n で表すことによって決定されます。ここで、n は入力サイズを表します。
質問 4. Big O 表記における O(1) は何を意味しますか?
答え： O(1) は時間計算量が一定であることを示し、入力サイズに関係なくアルゴリズムの実行時間が変わらないことを示します。
質問 5. O(log n) や O(n^2) などのさまざまな Big O 複雑さの重要性は何ですか?
答え： O(log n) や O(n^2) などのさまざまな複雑さは、入力サイズの増加に応じてアルゴリズムのパフォーマンスがどのように拡張されるかを表し、その効率とスケーラビリティについての洞察を提供します。
質問 6. Big O Notation は空間の複雑さにも適用できますか?
答え： はい、Big O Notation を使用して、アルゴリズムの空間複雑度を分析および記述し、入力サイズに対して必要なメモリ量を示すこともできます。
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