円の弦は、円周上の任意の 2 点を結ぶ線です。円にはさまざまな弦があり、円の最大の弦が円の直径になります。コードの長さの公式を使用すると、コードの長さを簡単に計算できます。名前が示すように、これは幾何学の円内の弦の長さを計算するための公式です。

この記事では、コードの定義、コードと円の定理、その特性、およびさまざまな方法でコードの長さを計算する公式について学びます。この記事には、理解を深めるために解決済みのサンプル問題もいくつか掲載されています。

目次

• 円の定義
• 円の弦の定義
• 弦長の公式とは何ですか?
• 円の和音の定理
• 円の和音の性質
• 解決された問題
• よくある質問

円の定義

円は、特定の点から特定の距離に配置された平面内のすべての点で構成される完全な円形です。それらは中心点の周りの閉じた曲線で構成されます。直線上に存在する点は中心点から同じ距離にあります。円の中心までの距離を半径といいます。

円の弦の定義

円周上の任意の 2 点を結ぶ線分は、円の弦と呼ばれます。直径は円周上の 2 点を結ぶので、円の弦でもあります。実際、直径は円の最長の弦です。換言すれば、弦は、両端が円周上にある線分である。次の図は、さらに理解を深めるのに役立ちます。

弦長の公式とは何ですか?

弦の長さを計算するには、2 つの基本的な方法または公式があります。弦の長さは、三角法のほかに、円の中心からの垂直距離を使用して決定できます。これで弦の長さがわかります

• ピタゴラスの定理の使用
• 余弦の法則の使用

これらのメソッドを次のように詳しく理解してみましょう。

方法 1: ピタゴラスの定理を使用する

次の弦の図では、円の中心から弦に引いた垂線が弦を 2 等分します。

三角形 OAM では、次のように使用します。 ピタゴラスの定理 、

r²= x²+d²

⇒ ײ= r²– d²

⇒ x = √(r²– d²)

x は弦の長さの半分なので、

したがって、任意の円の弦長と中心からの垂直距離は次のように与えられます。

円の弦の長さ = 2 ×[√(r ² – d ² )]

どこ、

• r は円の半径であり、
• d 円の中心と弦の間の垂直距離です。

方法 2: 余弦の法則を使用する

辺 a、b、c を持つ三角形 ABC についてわかっているように、 余弦の法則 州、

ラテックスのフォントサイズ

c ² = a ² +b ² – 2ab cos C

円の中心で角度 θ を規定する弦の次の図でこの法則を使用すると、弦の長さを見つけることができます。

三角形 OAB では、余弦の法則を使用して、

⇒ ײ= r²+r²– 2×r×r×cosθ

⇒ ײ= 2r²– 2R²cosθ

⇒ ײ= 2r²(1-cosθ)

⇒ × = sqrt{2r^2(1- cos heta)}

Rightarrow x =rsqrt{2(sin^2 heta/2 + cos^2 heta/2 – cos^2 heta/2 + sin^2 heta/2)}

Rightarrow x =rsqrt{4sin^2 heta/2 }

Rightarrow x =2rsin heta/2

したがって、コードの長さは次のように求められます。

弦の長さ = 2r × sin [θ/2]

どこ、

• 私 は中心の弦によって定められる角度であり、
• r 円の半径です。

弦長に関するその他の関連式

2 つの円が共通の弦を共有する場合、その共通の弦の長さは次の公式を使用して計算できます。

2 つの円の共通の弦の長さ = 2R ₁ ×R ₂ /D

どこ、

• R ₁ そして R ₂ 円の半径を指します
• D 円の 2 つの中心間の距離です

円の和音の定理

円の弦は円の中心の角度を規定し、円内のさまざまな概念を証明するのに役立ちます。円の弦に基づいたさまざまな定理がありますが、

• 定理 1: 等しいコードと等しい角度の定理
• 定理 2: 等しい角度と等しいコードの定理 (定理 1 の逆)
• 定理 3: 中心から等距離にある等しいコードの定理

それでは、以下の記事で同じことについて説明しましょう。

定理 1: 等しいコードと等しい角度の定理

ステートメント: 等しい弦は、円の中心で等しい角度を定めます。つまり、弦が等しい場合、弦によって定められる角度は等しいです。

証拠：

図から、

ΔAOBおよびΔDOCにおいて

• AB = CD …eq(i) (与えられた)
• OA = OD …eq(ii) (円の半径)
• OB = OC …eq(iii) (円の半径)

したがって、SSS 合同条件により、三角形 ΔAOB と ΔCOD は一致します。

したがって、

∠AOB = ∠DOC (CPCTによる)

したがって、定理は検証されます。

定理 2: 等しい角度と等しいコードの定理 (定理 1 の逆)

声明： 円の中心で等しい角度を規定する弦は、長さが等しい。これは第一定理の逆です。

図から、

ΔAOBおよびΔDOCにおいて

• ∠AOB = ∠DOC …eq(i) (与えられた)
• OA = OD …eq(ii) (円の半径)
• OB = OC …eq(iii) (円の半径)

したがって、SAS の一致条件により、三角形 ΔAOB と ΔCOD は一致します。

したがって、

AB = CD (CPCT による)

したがって、定理は検証されます。

定理 3: 中心から等距離にあるコードは等しい 定理

声明： 等弦は中心から等距離にあります。つまり、円の中心と等弦の間の距離は常に等しいです。

図から、

∆AOL および ∆COM 内

• ∠ALO = ∠CMO …eq(i) (90度)
• OA = OC …eq(ii) (円の半径)
• OL = OM …eq(iii) (与えられた)

したがって、RHS の一致条件により、三角形 ΔAOB と ΔCOD は一致します。

したがって、

AL = CM (CPCT による)…(iv)

これで、中心から引いた垂線が弦を二等分することが分かりました。

式(iv)より

2AL=2CM

AB = CD

したがって、定理は検証されます。

円の和音の性質

サークル内のコードにはさまざまなプロパティがあり、それらのプロパティのいくつかは次のとおりです。

• 円の中心を通る弦は直径と呼ばれ、円の中で最も長い弦です。
• 円の中心から引かれた弦への垂線は弦を二等分します。
• 円の中心から等距離にある弦は長さが等しい。
• 3 つの同一線上の点を通過する円は 1 つだけです。
• 長さが等しい弦は、円の中心で等しい角度を描きます。
• 弦の垂直二等分線は円の中心を通過します。
• 半径が弦に垂直な場合、半径は弦と交差する円弧を二等分します。これは垂直二等分定理として知られています。
• 弦によって定められた角度が等しい場合、弦の長さも等しくなります。
• 円内の 2 つのコードが交差する場合、一方のコードのセグメントの積は、もう一方のコードのセグメントの積と等しくなります。これは交差コード定理として知られています。
• 中心の弦によって定められる角度は、周囲の弦によって定められる角度の 2 倍です。

続きを読む、

• 円の方程式
• 円の面積
• 円周

円の和音に関する解決された問題

問題 1: 円は角度 70 度、半径 5cm です。円の弦の長さを計算します。

解決：

与えられた

• 半径 = 5 cm
• 角度 = 70°

今、

弦長 = 2R × Sin [角度/2]

= 2 × 5 × 罪 [70/2]

= 10 × sin35°

= 10 × 0.5736

= 5.73cm

問題 2: 円の中で 、 半径は 7 cm、円の中心から弦までの垂直距離は 6 cm です。弦の長さを計算します。

解決：

与えられた

• 半径 = 7 cm
• 距離 = 6 cm

今、

弦の長さ = 2 √r²– d²

= 2 √7²– 6²

= 2 √ 49- 36

= 2 √13cm

問題 3: 円は角度 60 度、半径 12cm です。円の弦の長さを計算します。

解決：

与えられた

• 半径 = 12 cm
• 角度 = 60°

今、

弦長 = 2R × Sin [角度/2]

正規表現Javaとは何ですか

⇒ 2 × 12 × sin [60/2]

⇒ 24 × sin30°

⇒ 24×0.5

⇒ 12cm

問題 4: 円の半径は 16cm、円の中心から弦までの垂直距離は 5cm です。弦の長さを計算します。

解決：

与えられた

• 半径 = 16 cm
• 距離 = 5 cm

今、

弦の長さ = 2 √r²– d²

⇒ 2 √(16)²- (5)²

⇒ 2 √ 256- 25

⇒ 2 √231

⇒ 2×15.1

⇒ 30.2cm

問題 6: 半径 6cm と 5cm の円の間の共通の弦の長さをそれぞれ計算してください。そして、２つの中心間の距離を測定したところ、８ｃｍであった。

解決：

与えられた

2 つの中心間の距離 = 8cm

2つの円の半径はRです₁とR₂長さはそれぞれ6cmと5cm

今、

2 つの円の共通の弦の長さ = (2R₁×R₂) / 円の 2 つの中心間の距離

⇒ 2×5×6/8

⇒ 60/8

⇒ 7.5cm

コード・オブ・ア・サークルに関するよくある質問

コードを定義します。

円周上の 2 点を結ぶ線分を弦といいます。

弦長の公式とは何ですか?

Chord Length Formula は、円内の弦の長さを計算します。

弦の長さは円の直径より大きくてもよいでしょうか?

いいえ、直径は円の最長の弦であるため、弦の長さを直径より大きくすることはできません。

弦が円の中心に近づくと、弦の長さはどのように影響を受けますか?

弦が円の中心に近づくにつれて、その長さは最大長、つまり直径に近づきます。

弦が円の端に近づくと、弦の長さはどのような影響を受けますか?

弦が円の端に近づくと、その長さは 0 に近づきます。したがって、弦の長さと端からの距離は反比例の関係になります。

弦の長さと円の中心角の関係は何ですか?

e弦の長さと円の中心角の関係は次のようになります。

弦の長さ = 2r × sin [θ/2]

どこ、

• 私 は中心の弦によって定められる角度であり、
• r 円の半径です。

弦長の計算式はどの円にも使用できますか?

はい、半径と中心角がわかっている限り、弦長の公式はどの円にも使用できます。

直径は円の弦ですか?

はい、直径は円の弦です。これは円の可能な限り長い弦です。これは円の半径の 2 倍に相当します。

D = 2r

どこ、

• D は円の直径です
• r は円の半径です