行列式は、指定された行列の単一のスカラー値を見つけるために使用される線形代数の基本概念です。この記事では、3 × 3 行列とは何か、3 × 3 行列の行列式を計算する方法、およびその応用について段階的に説明します。線形代数を学習している学生であっても、行列演算をより深く理解したい愛好家であっても、3 × 3 行列の行列式を理解することは、獲得すべき貴重なスキルです。
マトリックスの決定要因は何ですか?
行列の行列式 正方行列から計算された単一の数値です。線形代数の分野では、行列式は正方行列内の値を使用して求められます。この数値はスケーリング係数のように機能し、行列の変換方法に影響を与えます。行列式は、連立一次方程式を解く、逆行列を求める、およびさまざまな微積分演算に役立ちます。
3 × 3 マトリックスとは何ですか?
3 × 3 行列は、 マトリックス ここで、行と列の数は両方とも 3 に等しい。行と列の数は等しいため、3 × 3 は次数 3 × 3 の正方行列になります。マトリックスは、行と列で構成された数値で構成される表のようなものです。数学やその他の分野でデータを保存し、操作するために使用されます。一方、3 × 3 行列は、3 行 3 列で構成される特定のタイプの行列です。これは次のように表すことができます。
3×3マトリックス
3×3行列の性質
他の行列と同様に、3 × 3 行列にもいくつかの重要な特性があります。
- 正方行列 : 3 × 3 行列には 3 行 3 列があり、正方行列になります。
- 決定要因: 3 × 3 行列には行列式があり、これは方程式を解いて逆行列を求めるために重要な数値です。
- 行列の乗算: 最初の行列の列数が 2 番目の行列の行数と一致する場合、3 × 3 行列を別の行列で乗算できます。
- 逆: 3 × 3 行列は、その行列式がゼロ以外の場合、逆行列を持つ可能性があります。逆行列を元の行列と乗算すると、単位行列が得られます。
3×3行列式の行列式
行列の行列式を計算するにはさまざまな方法が存在します。最も一般的なアプローチは、特定の 3 × 3 行列をより小さな 2 × 2 行列式に分割することです。これは行列式を見つけるプロセスを簡素化し、線形代数で広く使用されています。
次のように書かれる 3 × 3 正方行列を考えてみましょう。
行列 A の行列式、つまり |A| を計算します。
最初の行の要素に沿って行列を展開します。
したがって、
3 × 3 行列の行列式はどうやって見つけますか?
例を挙げて 3 × 3 行列の計算を理解しましょう。以下の指定された 3 × 3 行列の場合。
egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 4 & 0 & 1 2 & -1 & 2 end{bmatrix}
ステップ 1: 参照行または列を選択する
開始する行と列を選択します。この例では、最初の要素 (2) を参照として 3 × 3 行列の行列式を計算するとします。
したがって、行 R に沿って展開すると、1
ステップ 2: 行と列に取り消し線を引く
2 × 2 行列で単純化するために、選択した行と列を削除します。
2×2マトリックス
ステップ 3: 2 × 2 行列の行列式を見つける
次の公式を使用して 2 × 2 行列の行列式を求めます。
行列式 = (a × d) – (b × c)
クロス乗算
ここで、a = 0、b = 1、c = -1、d = 2
これらの値を上記の行列式に代入すると、次のようになります。
行列式 = (0 × 2) – (1 × -1)
行列式 = 0- (-1)
行列式 = 0+1
∴ 2 × 2 行列の行列式 = 1
ステップ 4: 選択した要素を乗算する
2 × 2 行列の行列式に、参照行から選択した要素 (この場合は 2、1、および 3) を掛けます。
最初の要素 = 2 × 1 = 2
ステップ 5: 選択した参照行の 2 番目の要素に対してこのプロセスを繰り返します。
2番目の要素の場合
2×2行列の値を式に代入して、2番目の要素1の行列式を求めます。
行列式 = (a × d) – (b × c)
ここで、a = 4、b = 1、c = 2、d = 2
行列式 = (4 × 2) – (1 × 2)
決定要因 = 8 – 2
行列式 = 6
次に、2 × 2 行列の行列式に、参照行から選択した要素 (この場合は 1) を掛けます。
YouTubeをダウンロードするにはvlc
2 番目の要素 = 1 × 6 = 6
ステップ 6: 選択した参照行の 3 番目の要素に対してこのプロセスを繰り返します。
3番目の要素の場合
2×2行列の値を式に代入して、3番目の要素3の行列式を求めます。
行列式 = (a × d) – (b × c)
ここで、a = 4、b= 0、c= 2、d= -1
行列式 = (4 × -1) – (0 × 2)
行列式 = -4 – 0
行列式 = -4
次に、2×2 行列の行列式に、参照行から選択した要素 (この場合は 3) を掛けます。
2 番目の要素 = 3 × (-4) = -12
ステップ 7: 数式を使用する
ステップ 4、5、6 の結果をすべて合計します。
2 – 6 + (-12) = (-16)
∴ -16 は 3 × 3 行列の行列式です。
3 × 3 行列の行列式の適用
行列の行列式を使用して、逆行列を求め、一次方程式系を解くことができます。したがって、3 × 3 行列の逆行列を求め、また 3 × 3 行列の行列式の使用を含むクラマーの法則を使用して連立一次方程式を解くことを学びます。
3 × 3 行列の逆行列
正方行列 A の逆行列を求める公式は次のとおりです。
A^{-1} = frac{1}{ ext{det}(A)} cdot ext{adj}(A) どこ、
- A-1は、 行列 A の逆行列 。
- Det(A) は行列 A の行列式を表します。
- adj(A) は行列 A の共役を表します
簡単に言えば、次の手順に従って逆行列を見つけることができます。
ステップ1。 行列 A の行列式を計算します。
ステップ2。 行列 A の共役を求めます。
ステップ3。 アジュゲート内の各要素に 1/det(A) を掛けます。
この公式は正方行列 (行と列の数が同じ行列) に使用され、行列式が 0 以外であることを前提としています。これは行列が逆行列を持つための必要条件です。
クレーマーの法則
クレーマーの法則 行列式を使用して連立一次方程式を解く公式を提供します。 n 個の変数を持つ線形方程式系の場合、次の形式で与えられます。
AX=B
どこ、
- A = 正方行列の係数
- X = 変数を含む列行列
- B = 定数を持つ列行列
次の線形方程式系を考えてみましょう。
ある1x + b1y + c1z + . 。 。 = d1
ある2x + b2y + c2z + . 。 。 = d2
。 。 。
あるnx + bny + cnz + . 。 。 = dn
変数 x、y、z、…は、次の式を使用して決定されます。
- x = Dバツ/D
- y = Dそして/D
- z = Dと/D
どこ：
- D は係数行列の行列式です。
- Dバツは、x の係数を右辺の定数で置き換えることによって得られる行列の行列式です。
- Dそしてy の係数を置き換えることによって得られる行列の行列式です。
- Dとz の係数を置き換えることによって得られる行列の行列式です。
クラマーの法則は、係数行列 D の行列式が 0 以外の場合に適用されます。 D = 0 の場合、特定のケースに応じて、解がないか、無限に多くの解が存在することを示すルールは適用できません。
また、チェックしてください
- 行列の種類
- 3 つの変数を含む一次方程式系
- 行列演算
3 × 3 行列の行列式の解決例
例 1: 行列 A の行列式を求める
A の行列式 = 2 (4×2 – 5×6) – 3(0×2 – 5×1) + 1(0×6 – 4×1)
⇒ A の行列式 = 2(8-30) – 3(0-5) +1(0-4)
⇒ A の行列式 =2(-22) – 3(-5) +1(-4)
⇒ A の行列式 = (-44) +15 – 4
⇒ A の行列式 =-44+11
∴ A の行列式、つまり |A| = (-33)
例 2: 行列 B の行列式を求める =
B の決定要因 = 1(3×2 – 0×1) – 2(0×2 – 0×4) + 1(0×1 – 3×4)
⇒ B の行列式 = 1(6-0) – 2(0) + 1(-12)
⇒ B の行列式 = 1(6) – 0 – 12
ブラウン管モニター⇒ B の行列式 =6-12
⇒ B の行列式 = (-6)
∴ B の行列式、つまり |B| = 6
例 3: 行列 C の行列式を求める
行列の行列式 C = 3(2×4 – 5×0) – 1(0×4 – 5×2) + 2(0×0 – 2×2)
⇒ C の行列式 = 3(8-0) – 1(0-10) + 2(0-4)
⇒ C の行列式 =3(8) – 1(-10) + 2(-4)
⇒ C の行列式 = 24 + 10 -8
⇒ C = 26 の行列式
∴ C の行列式、つまり |C| = 26
例 4: クラマーの法則を使用して、指定された方程式系を解く
2x + 3y – z = 7
4x – 2y + 3z = 8
x + y + 2z = 10
解決：
ステップ1： まず、行列式を求めます D 係数行列の。
D = egin{vmatrix} 2 & 3 & -1 4 & -2 & 3 1 & 1 & 2 end{vmatrix} この行列式 D を解くと
D= 2(-2×2-3×1) – 3(4×2-1×3) – (-1)(4×1-(-2)×3)
⇒ D= 2(-4-3) – 3(8-3) – (-1)(4+6)
⇒ D= 2(-7) – 3(5) – (-1)(10)
⇒ D= -14-15+10
⇒ D= -19
ステップ2： さて、D の行列式を求めます。バツ、 DそしてそしてDと
Dの場合バツ、 x の係数を右側の定数に置き換えます。
Dx = egin{vmatrix} 7 & 3 & -1 8 & -2 & 3 10 & 1 & 2 end{vmatrix} Dの場合そして、y の係数を定数に置き換えます。
Dy = egin{vmatrix} 2 & 7 & -1 4 & 8 & 3 1 & 10 & 2 end{vmatrix} Dの場合と、z の係数を定数に置き換えます。
Dz = egin{vmatrix} 2 & 3 & 7 4 & -2 & 8 1 & 1 & 10 end{vmatrix} 行列式 D を解く上でバツ
Dバツ= 7(-2×2 – 3×1) – 3(8×2 – 3×10) – (-1)(8×1 – (-2×10)
⇒ Dバツ= 7(-4 – 3) – 3(16 – 30) – (-1)(8 + 20)
⇒ Dバツ= 7(-7) – 3(-14) + 28
⇒ Dバツ= -49 + 42 + 28
したがって、Dバツ= 21
行列式 D を解く上でそして
Dそして= 2(-2×2 – 3×10) – 7(4×2 – 1×10) – (-1)(4×1 – (-2×10)
⇒ Dそして= 2(-4 – 30) – 7(8 – 10) – (-1)(4 + 20)
⇒ Dそして= 2(-34) – 7(-2) + 24
⇒ Dそして= -68 + 14 + 24
⇒ Dそして= -30
インターネットに関するデメリット行列式 D を解く上でと
Dと= 2(-2×(-2) – 3×(-2)) – 3(4×(-2) – 1×(-10)) – 7(4×3 – (-2×1)
⇒ Dと= 2(4 + 6) – 3(-8 + 10) – 7(12 + 2)
⇒ Dと= 2(10) – 3(2) – 7(14)
⇒ Dと= 20 – 6 – 98
⇒ Dと= -84
ステップ 3: ここで D、D の値を入力します。バツ、DそしてそしてDとカーマーの法則式で x、y、z の値を求めます。
x = Dバツ/D = 21/(-19)
y = Dそして/D = (-30)/(-19)
z = Dと/D = (-84)/(-19)
3×3行列の行列式の練習問題
Q1.単位行列の行列式を計算します。
Q2.行列の行列式を求めます。
Q3.行列の行列式を決定します。
Q4.行列の行列式を計算します。
Q5.行列の行列式を求めます。
Q6.行列の行列式を決定します。
3 × 3 行列の行列式 – FAQ
1. マトリックスとは何ですか?
行列は、行と列に編成された数値または要素を長方形に配置したものです。数学、科学、工学の問題を表現し解決するために、さまざまな分野で使用されています。
2. 3 × 3 行列の行列式の意味は何ですか?
3 × 3 行列の行列式は、行列のプロパティに関する情報を提供するため、重要です。これは、他のアプリケーションの中でも特に、線形方程式系に固有の解があるかどうかを判断するのに役立ちます。
3. 行列の行列式の定義は何ですか?
行列の行列式は、行列の要素から計算されたスカラー値であり、そのプロパティに関する情報を提供します。連立一次方程式を解く、逆関数を求めるなどに使用されます。
4. 3 × 3 行列の行列式がゼロの場合はどうなりますか?
3 × 3 行列の行列式が 0 の場合、その行列は特異であり、逆行列が存在しないことを意味します。幾何学的用語では、行列で表される変換によって面積または体積がゼロに崩壊することを示します。行列式は常にゼロです。これは、あらゆるサイズの行列に適用できます。
5. 3 × 3 行列の行列式が負になることはありますか?
はい、行列式が負の場合もあります。行列式の符号は、行列要素の配置と、計算方法に応じて正の値になるか負の値になるかによって異なります。
6. 3 × 3 行列の行列式を求める実際的な応用例は何ですか?
行列式は、物理学、工学、コンピューター グラフィックス、経済学などのさまざまな分野で使用されます。これらは、連立一次方程式を解き、幾何学的変換を分析し、動的システムの安定性を判断するのに役立ちます。