行列は、それぞれが特定の行と列に属する数値、記号、点、または文字の長方形の配列です。行列は、行 ⨯ と列の形式で与えられる順序によって識別されます。行列内に存在する数字、記号、点、または文字は、行列の要素と呼ばれます。各要素の位置は、それが属する行と列によって指定されます。

行列はクラス 12 の生徒にとって重要であり、工学数学でも同様に非常に重要です。この行列の入門記事では、行列の種類、行列の転置、行列の階数、行列の随伴と逆行列、行列の行列式などについて詳しく学びます。

目次

• マトリックスとは何ですか?
• 行列の順序
• 行列の例
• 行列の演算
• 行列の加算
• 行列のスカラー倍算
• 行列の乗算
• 行列の加算と乗算の性質
• 行列の転置
• マトリックスの痕跡
• 行列の種類
• 行列の行列式
• 逆行列
• 行列を使用して一次方程式を解く
• 行列のランク
• 行列の固有値と固有ベクトル

マトリックスとは何ですか?

行列は、数値、記号、文字のすべての要素が各行と列に配置された長方形の配列です。配列は、さまざまな場所に配置された項目のコレクションです。

点が空間内に配置され、それぞれが特定の位置に属し、点の配列が形成されると仮定します。この点の配列は行列と呼ばれます。マトリックスに含まれる項目は、マトリックスの要素と呼ばれます。各行列には有限数の行と列があり、各要素はこれらの行と列にのみ属します。行列に存在する行と列の数によって、行列の順序が決まります。行列に 3 行 2 列があるとします。行列の次数は 3⨯2 となります。

行列の定義

数値、記号、または文字の長方形の配列は、行列と呼ばれます。行列は順序によって識別されます。行列の順序は、行数 ⨯ 列数の形式で与えられます。行列は[P]で表されます。_分⨯nここで、P は行列、m は行数、n は列数です。数学における行列は、線形方程式などの数多くの問題を解くのに役立ちます。

行列の順序

行列の順序 行列に存在する行と列の数を示します。行列の次数は、行数と列数の積で表されます。行列が 4 行 5 列の場合、行列の次数は 4⨯5 になるとします。順序の最初の数字は行列に存在する行数を表し、2 番目の数字は行列の列数を表すことに常に注意してください。

行列の例

行列の例を以下に示します。

例： egin{bmatrix} 1 & 2 3 &4 end{bmatrix}_{2 imes 2}、egin{bmatrix} 1 & -1 & 2 3 & 2 & 6 4 & -2& 5\end{bmatrix}_{3 imes3}

行列の演算

行列は、加算、減算、スカラー倍算、乗算などのさまざまな数学演算を受けます。これらの演算は 2 つの行列の要素間で実行され、2 つの行列の要素間の演算の結果として得られる要素を含む等価行列が得られます。を学びましょう 行列の演算 。

行列の加算

で 行列の加算 、2 つの行列の要素が加算されて、2 つの行列の合計として得られる要素を含む行列が生成されます。行列の加算は、同じ次数の 2 つの行列間で実行されます。

例: 次の合計を求めます。 old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}} そして old{egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}}

解決：

牛対雄牛

ここで、A =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}そしてB =egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

A + B =egin{bmatrix} 1& 2 4& 5 end{bmatrix}+egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

⇒ A + B =egin{bmatrix} 1 + 2 & 2 + 3 4 + 6& 5 + 7 end{bmatrix}=egin{bmatrix} 3 & 5 10& 12 end{bmatrix}

行列の減算

行列の減算は、同じ次数の 2 つの行列の要素間の差を計算して、要素が 2 つの行列の要素の差に等しい同じ次数の等価行列を生成します。 2 つの行列の減算は、2 つの行列の加算として表現できます。行列 A から行列 B を減算する必要があるとします。そうすれば、A – B と書くことができます。また、A + (-B) と書き直すこともできます。例を解いてみましょう

例: 減算 old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}} から old{egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix} }。

A = と仮定しましょうegin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}そしてB =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}

A – B =egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}–egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}

⇒ A – B =egin{bmatrix} 2 – 1 & 3 – 2 6 – 4 & 7 – 5 end{bmatrix}=egin{bmatrix} 1 & 1 2 & 2 end{bmatrix}

行列のスカラー倍算

行列のスカラー乗算とは、行列の各項とスカラー項の乗算を指します。スカラー「k」に行列を乗算すると、等価行列には、スカラーと元の行列の要素の積に等しい要素が含まれます。例を見てみましょう:

例: 3 を掛ける old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}}。

3[A] =egin{bmatrix} 3 imes1 & 3 imes 2 3 imes4& 3 imes5 end{bmatrix}

⇒ 3[A] =egin{bmatrix} 3 & 6 12& 15 end{bmatrix}

行列の乗算

の中に 行列の乗算 、2 つの行列を乗算して 1 つの等価な行列を生成します。乗算は、最初の行列の行の要素と 2 番目の行列の列の要素を乗算し、要素の積を加算して等価行列の 1 つの要素を生成する方法で実行されます。行列[A]の場合_i⨯j行列[B]と乗算されます_ジ⨯クその場合、製品は[AB]として与えられます_i⨯k。

例を見てみましょう。

例: 次の積を求めます。 old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}} そして old{egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}}

解決：

A =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}そしてB =egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

⇒ AB =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

⇒ AB =egin{bmatrix} 1 imes2+2 imes6 & 1 imes3+2 imes7 4 imes2+5 imes6& 4 imes3+5 imes7 end{bmatrix}

⇒AB = egin{bmatrix} 18 & 17 38& 47 end{bmatrix}

行列の加算と乗算の性質

行列の乗算と加算に続くプロパティを以下に示します。

• A + B = B + A (可換)
• (A + B) + C = A + (B + C) (結合)
• AB ≠ BA (非可換)
• (AB) C = A (BC) (連想)
• A (B+C) = AB + AC (分配)

行列の転置

行列の転置 これは基本的に、列内の行要素と行内の列要素を再配置して、同等の行列を生成します。元の行列の行の要素を列に配置した行列、またはその逆の行列を転置行列と呼びます。転置行列は A として表されます。^T。 if A = [a_ij]_MXN、次にA^T= [b_ij]_nxmここで、b_ij= a_から。

例を見てみましょう:

例： の転置を求めます egin{bmatrix} 18 & 17 38& 47 end{bmatrix} 。

解決：

A =egin{bmatrix} 18 & 17 38& 47 end{bmatrix}

⇒ あ^T=egin{bmatrix} 18 & 38 17& 47 end{bmatrix}

行列の転置のプロパティ

URI と URL

行列の転置のプロパティを以下に示します。

• (A^T)^T=A
• (A+B)^T=A^T+B^T
• (AB)^T=B^Tあ^T

マトリックスの痕跡

マトリックスの痕跡 正方行列の主対角要素の合計です。対角要素は正方行列にしか存在しないため、行列の痕跡は正方行列の場合にのみ見つかります。例を見てみましょう。

例: 行列のトレースを求める egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

解決：

A = と仮定しましょうegin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

トレース(A) = 1 + 5 + 9 = 15

行列の種類

存在する行と列の数、および示される特殊な特性に基づいて、行列はさまざまなタイプに分類されます。

• 行行列 : 行が 1 つだけで列が存在しない行列を行行列と呼びます。
• 列行列 : 列と行が 1 つだけある行列は、列行列と呼ばれます。
• 水平マトリックス: 行数が列数より少ない行列を水平行列と呼びます。
• 垂直マトリックス: 列数が行数より少ない行列を垂直行列と呼びます。
• 長方形行列 : 行数と列数が等しくない行列を長方形行列と呼びます。
• 正方行列 : 行と列の数が同じ行列を正方行列といいます。
• 対角行列 : 非対角要素がゼロである正方行列を対角行列と呼びます。
• ゼロまたはヌル行列 : すべての要素がゼロである行列をゼロ行列と呼びます。ゼロ行列はヌル行列とも呼ばれます。
• 単位または単位行列 : すべての対角要素が 1 である対角行列を単位行列と呼びます。単位行列は恒等行列とも呼ばれます。単位行列は I で表されます。
• 対称行列 : 元の行列の転置が元の行列と等しい場合、正方行列は対称であると言われます。つまり (A^T) = A.
• 歪対称行列 : スキュー対称 (または反対称または逆計 [1]) 行列は、転置がその負に等しい正方行列です。つまり、(A)^T) = -A.
• 直交行列: AA の場合、行列は直交していると言われます。^T=A^TA = 私
• 冪等行列: A が次の場合、行列は冪等であると言われます。²=A
• インボリュートリー・マトリックス: A の場合、行列は Involtory であると言われます。²= 私。
• 上三角行列 : 対角線より下のすべての要素がゼロである正方行列は、上三角行列として知られています。
• 下三角行列 : 対角より上のすべての要素がゼロである正方行列は、下三角行列として知られています。
• 特異行列 : 正方行列は、行列式がゼロ、つまり |A|=0 の場合に特異行列と言われます。
• 非特異行列: 正方行列は、行列式がゼロ以外の場合、非特異行列と言われます。

注記： すべての正方行列は、対称行列と傾斜対称行列の和として一意に表現できます。 A = 1/2 (A^T+ A) + 1/2 (A – A^T）。

もっと詳しく知る、 行列の種類

行列の行列式

行列の行列式 は、その正方行列に関連付けられた数値です。行列の行列式は正方行列についてのみ計算できます。 |A| で表されます。行列の行列式は、行列の要素とその余因子の積を加算することによって計算されます。

行列の行列式

正方行列の行列式を求める方法を見てみましょう。

例 1: 2⨯2 正方行列の行列式を求める方法は?

行列 A = があるとします。egin{bmatrix} a & b c & d end{bmatrix}

すると、A の行列式は |A| になります。 = 広告 – BC

例 2: 3⨯3 正方行列の行列式を求める方法は?

3⨯3 行列 A = があるとします。egin{bmatrix} a & b& c d & e & f g & h &i end{bmatrix}

それから |A| = a(-1)¹⁺¹egin{vmatrix} e& f h & i end{vmatrix}+b(-1)¹⁺²egin{vmatrix} d& f g & i end{vmatrix}+c(-1)¹⁺³egin{vmatrix} d& e g & h end{vmatrix}

マトリックスのマイナー

要素の行列のマイナーは、特定の要素が属する行と列を削除した後に得られる行列の行列式によって与えられます。マトリックスのマイナーはMijで表されます。例を見てみましょう。

例： 行列のマイナーを求めますegin{bmatrix} a & b& c d & e & f g & h &i end{bmatrix}要素「a」の場合。

要素「a」のマイナーは M として与えられます₁₂=egin{vmatrix} e& f h & i end{vmatrix}

行列の余因子

行列の余因子は、特定の要素の行列のマイナーに (-1)i+j を乗算することによって求められます。行列の余因子は Cij として表されます。したがって、行列のマイナーとコファクターの関係は Mij = (-1) として与えられます。^i+jミジ。要素に対して得られたすべての余因子を整理すると、C = として与えられる余因子行列が得られます。egin{bmatrix} c_{11} & c_{12}& c_{13} c_{21} & c_{22} & c_{23} c_{31} & c_{32} &c_{33} end{bmatrix}

もっと詳しく知る 、 未成年者と補因子

行列の随伴体

正方行列に対して随伴が計算されます。 行列の随伴 行列の余因子の転置です。したがって、行列の随伴は adj(A) = C として表されます。_Tここで、C は補因子行列です。

たとえば行列があるとします。
A = egin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 a_2 & b_2 & c_2 a_3 & b_3 & c_3 end{bmatrix}
それから
mathrm{adj(A)} = egin{bmatrix} A_1 & B_1 & C_1 A_2 & B_2 & C_2 A_3 & B_3 & C_3 end{bmatrix}^T Rightarrow mathrm{adj(A)} =egin{bmatrix} A_1 & A_2 & A_3 B_1 & B_2 & B_3 C_1 & C_2 & C_3 end{bmatrix}
どこ、
egin{bmatrix} A_1 & B_1 & C_1 A_2 & B_2 & C_2 A_3 & B_3 & C_3 end{bmatrix}は行列 A の余因子です。

行列の随伴体の性質

行列のアジョイントのプロパティを以下に示します。

• A(調整 A) = (調整 A) A = |A|私_n
• Adj(AB) = (Adj B) 。 (調整A)
• |調整A| = |A|^n-1
• Adj(kA) = k^n-1調整(A)
• |adj(adj(A))| =|A| ^ (n-1) ^ 2
• adj(adj(A)) = |A|^(n-2)×A
• A = [L,M,N] の場合、adj(A) = [MN, LN, LM]
• adj(I) = I {ここで、I は単位行列}

ここで、n = 行数 = 列数

逆行列

マトリックスとは、 逆行列 行列の -1 乗、つまり A-1 の場合は「A」。逆行列は、行列式がゼロ以外の正方行列に対してのみ計算されます。逆行列の公式は次のように与えられます。

あ^-1= adj(A)/det(A) = (1/|A|)(Adj A)、ここで |A|はゼロに等しくないはずです。つまり、行列 A は非特異である必要があります。

行列の逆プロパティ

• (A^-1)^-1=A
• (AB)^-1=B^-1あ^-1
• 非特異正方行列のみが逆行列を持つことができます。

行列の初歩的な演算

行列の初歩的な演算 線形方程式を解き、逆行列を見つけるために実行されます。基本的な操作は行間および列間です。行と列に対して実行される基本演算には 3 種類があります。これらの操作については以下で説明します。

行に対する基本的な操作には次のようなものがあります。

• 2列を入れ替える
• 行にゼロ以外の数値を乗算する
• 2 行の追加

列に対する基本的な操作は次のとおりです。

• 2つの列を入れ替える
• 列にゼロ以外の数値を乗算する
• 2 つの列を追加する

拡張マトリックス

2 つの行列の列を結合して形成された行列を 拡張マトリックス 。拡張行列は、基本的な行演算を実行し、一次方程式を解き、行列の逆行列を求めるために使用されます。例を通して理解しましょう。

行列 A = があるとします。egin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 a_2 & b_2 & c_2 a_3 & b_3 & c_3 end{bmatrix}、X =egin{bmatrix} x y z end{bmatrix}そしてB =egin{bmatrix} p_{1} p_{2} p_{3} end{bmatrix}次に、A と B の間に拡張行列が形成されます。A と B の拡張行列は次のように与えられます。

[A|B] =left[egin{array}lll a_1 & b_1 & c_1&p_1 a_2 & b_2 & c_2&p_2 a_3 & b_3 & c_3 &p_3end{array} ight]

行列を使用して一次方程式を解く

行列は線形方程式を解くために使用されます。線形方程式を解くには、3 つの行列を作成する必要があります。最初の行列は係数からなり、2 番目の行列は変数からなり、3 番目の行列は定数からなります。例を通して理解してみましょう。

として与えられた 2 つの方程式があるとします。₁x + b₁y = c₁そして₂x + b₂y = c₂。この場合、係数の最初の行列を形成します。仮に A = とします。egin{bmatrix}a_{1} & b_{1}a_{2} & b_{2}end{bmatrix}、2 番目の行列は変数のものです。X = とします。egin{bmatrix}xyend{bmatrix}3 番目の行列の係数は B =egin{bmatrix}c_{1}c_{2}end{bmatrix}この場合、行列方程式は次のように与えられます。

AX = B

月に何週間

⇒ X = A ^-1 B

どこ、

• あ は係数行列です
• バツ は変数行列です
• B は定数行列です

したがって、変数 X の値は、行列 A の逆数と B を乗算し、2 つの行列の等価積を行列 X と等化することで計算できることがわかります。

行列のランク

行列のランクは、行列の線形に独立した行または列の最大数によって与えられます。行列のランクは常に、行列内に存在する行または列の合計数以下になります。行列が非特異である場合、つまり行列式がゼロに等しくない場合、正方行列は線形に独立した行または列を持ちます。ゼロ行列には線形に独立した行や列がないため、そのランクはゼロです。

行列のランクは、行列を Row-Echelon Form に変換することで計算できます。行エシェロン形式では、行に対する基本操作を使用して、行に属するすべての要素をゼロに変換しようとします。演算後、少なくとも 1 つの非ゼロ要素を持つ行の合計数が行列のランクになります。行列 A のランクは ρ(A) で表されます。

行列の固有値と固有ベクトル

固有値は、行列形式の線形方程式に関連付けられたスカラーのセットです。固有値は、行列の特性根とも呼ばれます。固有値を使用してその点での方向を伝えることによって形成されるベクトルは、固有ベクトルと呼ばれます。固有値は固有ベクトルの大きさを変更します。他のベクトルと同様、固有ベクトルは線形変換では変化しません。

次数「n」の正方行列 A の場合、同じ次数で別の正方行列 A – λI が形成されます。ここで、I は単位行列、λ は固有値です。固有値 λ は方程式 Av = λv を満たします。ここで、v は非ゼロベクトルです。

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行列の式

行列の基本式については以下で説明します。

• あ^-1= adj(A)/|A|
• A(adj A) = (adj A)A = I、I は単位行列です
• |形動A| = |A|n-1 ここで、n は行列 A の次数です。
• adj(adj A) = |A|n-2A ここで、n は行列の次数です
• |adj(adj A)| = |A|^{(n-1)^2}
• adj(AB) = (adj B)(adj A)
• adj(A^p) = (adj A)^p
• adj(kA) = kn-1(adj A) ここで、k は任意の実数です
• adj(I) = 私
• 調整 0 = 0
• A が対称であれば、adj(A) も対称です
• A が対角行列の場合、adj(A) も対角行列になります
• A が三角行列の場合、adj(A) も三角行列になります。
• A が特異行列の場合、 |adj A| = 0
• (AB)^-1=B^-1あ^-1

続きを読む、

• 集合論
• 微積分
• 三角法

行列 JEE 電源に関する質問

Q1.各行のすべての要素の合計が 1 になり、各列のすべての要素の合計も 1 になる、集合 {0, 1} のエントリを持つ次数 5 の正方行列の数は次のようになります。

Q2. A を |adj(adj(adj A))| のような 3 × 3 行列とします。 = 12 ⁴ 。次に |A ^-1 A|に等しい、

Q3. αとβを実数とする。次のような 3 × 3 行列 A を考えます。 ² = 3A + αI。もし ⁴ = 21A + βI から、α と β の値を求めます。

Q4. A = [a]ij, aij ϵ Z ∩ [0, 4], 1 ≤ i, j ≤ 2 とします。すべてのエントリの合計が素数 p ϵ (2, 13) になるような行列 A の数は次のようになります。

Q5. A を |A| となるような n × n 行列としましょう。 = 2. 行列の行列式 Adj (2. Adj(2A ^-1 )) は 2 ⁸⁴ この場合、n は次と等しくなります。

マトリックス – よくある質問

数学における行列とは何ですか?

数学における行列は、特定の行と列に配置され、さまざまな演算を受ける数値または変数の長方形の配列です。

行列を解くには?

加算、減算、乗算、転置などのさまざまな演算の行列を解きます。これらの方法については、「行列の演算」というタイトルで説明します。

さまざまなタイプの行列とは何ですか?

さまざまなタイプの行列には、行行列、列行列、水平行列、垂直行列、正方行列、対角行列、ヌル行列、単位行列、三角行列、対称行列および斜対称行列、エルミート行列および斜エルミート行列などがあります。これらのタイプには、 「行列の種類」というタイトルで議論されました

マトリックスのランクとは何ですか?

行列のランクは、行列内に存在する線形に独立した行または列の数です。

行列の転置とは何ですか?

行列の転置とは、行の要素を列に、またはその逆に再配置することです。

逆行列を求める公式は何ですか?

行列の逆行列は、式 A を使用して求めることができます。^-1= (1/|A|)(adj A)

2 つの行列を乗算する条件は何ですか?

2 つの行列は、最初の行列の列数が 2 番目の行列の行数と等しい場合にのみ乗算できます。

2⨯2行列の行列式を求めるには?

2⨯2 行列の行列式は、行列の対角要素の積を減算することで求められます。

行列の主対角とは何ですか?

左上のエンティティから右下のエンティティに向かう正方行列の対角線は、行列の主対角線です。