45の約数は何ですか? 1、3、5、9、15、45。
どうやってその数字を思いついたのか不思議ですか？ファクタリング！より複雑なシステムの数学的基礎を提供するため、因数分解の方法を学ぶことが重要です。したがって、代数のテストの勉強をしている場合でも、SAT や ACT のブラッシュアップをしている場合でも、単に復習して高次の数学の因数分解の方法を覚えたい場合でも、これはあなたのためのガイドです。
ファクタリングとは何ですか?
ファクタリングというのは、 別の整数を掛けてターゲットの数値と等しくなるすべての整数を見つけるプロセス 。どちらの倍数も目標数の係数となります。
数値の因数分解は、単なる退屈な作業や、最終目標のない暗記のように思えるかもしれませんが、因数分解は、より複雑な数学的プロセスのバックボーンを構築するのに役立つテクニックです。
因数分解の方法を知らなければ、多項式や微積分を理解するのは（不可能ではないにしても）まったく困難であり、小切手を分割するなどの単純な作業さえも、頭の中で理解するのがはるかに難しくなります。
45 の因数は何ですか?ファクタリングの実践
この概念を視覚化するのは難しいかもしれないので、このプロセスの実際の動作を確認するために 45 のすべての因数を見てみましょう。 45 の因数は、掛け合わせると 45 に等しくなる数値のペアです。 :
1 & 45 (1 * 45 = 45 のため)
3 & 15 (3 * 15 = 45 のため)
5 & 9 (5 * 9 = 45 のため)
したがって、リスト形式では、 45 の因数は 1、3、5、9、15、45 です。 。
幸いなことに、因数分解に必要なのは、この画像の上部の 2 つの関数だけです (やったー!)
素因数分解と 45 の素因数
素数とは、1 より大きい任意の整数です。 のみ 1 とそれ自体で (均等に) 除算されます。最小の素数のリストは、2、3、5、7、11、13、17、19 ... などです。
プライム 因数分解 掛け合わせるとそのターゲット数に等しくなる、ターゲット数の素数因数を見つけることを意味します。 したがって、ターゲット数値として 45 を使用している場合、45 に等しくなるまで乗算する必要がある 45 の素因数だけを見つけたいと考えます。
上記の 45 の因数リストから、それらの因数の一部 (3 と 5) だけが素数であることがわかります。しかし、3 * 5 が成り立つこともわかっています。 ない つまり、3 * 5 は不完全な素因数分解です。
を見つける最も簡単な方法は、 完了 特定のターゲット数値の素因数分解では、本質的に「逆さま」の除算を使用し、各結果に適合する最小の素数だけで除算します。
例えば：
ターゲット数値 (45) を、それを因数分解できる最小の素数で割ります。この場合は 3 です。
最終的には 15 になります。次に、15 を因数分解できる最小の素数で割ります。この場合もまた 3 です。
最終的には 5 という結果になります。次に、5 を因数分解できる最小の素数で割ります。この場合は5です。
これで 1 が残ったので完了です。
素因数分解は、「外側」のすべての数値を掛け合わせたものになります。掛け合わせると、結果は 45 になります。 (注: 1 は素数ではないため、1 は含めません)。
45 の最終的な素因数分解は 3 * 3 * 5 です。
別の種類のプライム。
任意の数の因数を計算する
要因を考えると、 最も早い方法は因子を見つけることです ペア 先ほどと同じように、45 のすべての因数を調べました。ペアを見つけると、最小因数と最大因数の両方を同時に見つけることになるため、作業が半分になります。
さて、ターゲット数値を因数分解するために必要なすべての因数のペアを計算する最も速い方法は、ターゲット数値の予備根 (または平方根と最も近い整数への切り捨て) を見つけて、その数値を計算値として使用することです。 停止 小さな要因を見つけるポイント。
なぜ？なぜなら、小さい因子の因子ペアを見つけることによって、平方より大きい因子はすべてすでに見つかっているからです。そして、平方根よりも大きい因数を見つけようとする場合にのみ、これらの因数を繰り返すことになります。
今はわかりにくいと思われても心配しないでください。例を使って、同じ要素を再度見つけることで時間を無駄にしない方法を示します。
それでは、64 のすべての因数を見つけるための実際のメソッドを見てみましょう。
まず、64の平方根を求めます。
√64 = 8
今、私たちは知っています のみ 1 ～ 8 の整数に焦点を当てて、すべての因子ペアの前半を見つけます。
#1: 最初の因数のペアは 1 と 64 になります
#2: 64 は偶数なので、次の因数のペアは 2 と 32 になります。
#3: 64 を 3 で均等に割ることはできないため、3 は因数ではありません。
#4: 64/4 = 16 したがって、次の因数のペアは 4 & 16 になります。
#5: 64 は 5 で割り切れないため、5 は 64 の因数ではありません。
#6: 6 は 64 に均等にならないため、6 は 64 の因数ではありません。
#7: 7 は 64 で均等にならないため、7 は 64 の因数ではありません。
#8: 8 * 8 (8 の 2 乗) は 64 に等しいため、8 は 64 の因数です。
8 は 64 の平方根なので、ここで終了します。因数の検索を続ける場合は、以前の因数のペア (16、32、64) から大きい数を繰り返すだけになります。
64 の因数の最終リストは、1、2、4、8、16、32、および 64 です。
因子（アヒルの子のような）は常にペアで優れています。
因子検索のショートカット
では、どうすればできるか見てみましょう 素早く ターゲット数値の最小の因数 (したがって因数のペア) を見つけます。以下に、1 ～ 11 の数字が特定の数字の因数であるかどうかを判断するための役立つトリックをいくつか概説しました。
1) 数値を因数分解したいときはいつでも、1 とターゲットの数値 (たとえば、45 を因数分解する場合は 1 & 45) の 2 つの因数からすぐに始めることができます。任意の数値 (0 以外) は常に 1 を乗じて等しくなります。 1 意志 いつも 要因になる。
2) 目標数値が偶数の場合、次の因数は目標数値の 2.5 になります。 数値が奇数の場合は、2 で均等に割ることができないことが自動的にわかるため、2 は因数にはなりません。 (実際、ターゲット数値が奇数の場合、偶数の因数は存在しません。)
3) 数値が 3 で割り切れるかどうかを調べる簡単な方法は、対象の数値の桁を合計することです。 3 が桁の合計の係数である場合、3 はターゲット数値の係数でもあります。
たとえば、目標数値が 117 で、それを因数分解する必要があるとします。ターゲット数値 (117) の桁を加算することで、3 が因数であるかどうかを判断できます。
1 + 1 + 7 = 9
文字列をjsonオブジェクトに変換
3は3掛ける9になるので、3は117に均等に入ることができます。
117/3 = 39
3 と 39 は 117 の因数です。
4) 目標数値 ターゲット数が偶数の場合、因数は 4 のみになります 。そうである場合は、以前の因子ペアの結果を調べることで、4 が因子であるかどうかを判断できます。ターゲット数値を 2 で割ったときに結果が依然として偶数である場合、ターゲット数値も 4 で割り切れます。そうでない場合、ターゲット数値は 4 の因数を持ちません。
例えば：
18/2 = 9。9 は奇数なので、18 は 4 で割り切れません。
56/2 = 28。28 は偶数なので、56 は 4 で割り切れます。
5) 5は 5 または 0 の数字で終わるすべての数値の因数 。ターゲットが他の数字で終わる場合、係数は 5 になりません。
6) 6 は常にターゲット数値の因数になります ターゲット数値に 2 と 3 の両方の因数がある場合 。そうでない場合、6 は係数になりません。
7） 残念ながら、 7 が因数であるかどうかを見つけるための近道はありません 7の倍数を覚える以外の数字について。
8) ターゲットの場合 数値には 2 と 4 の因数はなく、8 の因数もありません 。因数 2 と 4 がある場合、 かもしれない 因数は 8 ですが、それを確認するには除算する必要があります (残念ながら、それ以上に 8 の倍数を覚えておくための巧妙なトリックはありません)。
9) 9 が因数であるかどうかは、次のようにして判断できます。 ターゲット番号の数字を加算する 。合計が 9 の倍数になる場合、ターゲット数値には係数として 9 が含まれます。
例えば：
42 → 4 + 2 = 6。6 は 9 で割り切れないため、9 は 42 の因数ではありません。
72→ 7 + 2 = 9。9 は 9 で割り切れるので (当然です!)、9 は 72 の因数です。
10) ターゲットの場合 数字は0で終わります の場合、係数は常に 10 になります。そうでない場合、10 は係数になりません。
十一） 目標数値が 両方の桁が繰り返される 2 桁の数字 (22、33、66、77...) の場合、因数は 11 になります。 3 桁以上の数値の場合は、その数値が 11 で割り切れるかどうかを自分でテストする必要があります。
12 歳以上) この時点で、小さな因数を見つけて因数のペアを作成することで、12、13、14 などの大きな数字をすでに見つけているでしょう。そうでない場合は、ターゲット数に分割して手動でテストする必要があります。
素早い因数分解テクニックを学ぶことで、これらの厄介な部分をすべて適切な位置に配置できるようになります。
45 の要素を覚えるためのヒント
45 の因数をすべて記憶することが目標の場合は、因数のペアを見つけるために上記のテクニックをいつでも使用できます。
45 の平方根は、6 と 7 の間のどこかにあります (6^2 = 36 および 7^2 = 49)。 6 に切り捨てます。これが、テストに必要な最小の数値になります。
最初のペアは自動的に 1 と 45 になることがわかります。また、45 は奇数であるため、2、4、6 は因数にならないこともわかります。
4 + 5 = 9 なので、3 が因数になります (45/3 = 15 なので、15 も因数になります)。
そして最後に、45 は 5 で終わるので、5 が因数になります (45/5 = 9 であるため、9 も同様です)。
これは次のことを示しています いつでもできます 把握する リスト内の正確な数字を覚えていなくても、45 の因数を非常に迅速に計算できます。
または、45 の要素すべてを具体的に覚えておきたい場合は、次のように覚えておいてもよいでしょう。 45 を因数分解するには、必要なのは最小の 3 つの奇数 (1、3、5) だけです。 。次に、それらを対応する倍数と組み合わせて 45 (45, 15, 9) を取得します。
結論: ファクタリングが重要な理由
因数分解は高度な数学的思考の基礎を提供するため、因数分解の方法を学ぶことは、現在および将来の数学的取り組みの両方に役立ちます。
初めて学習する場合でも、因子の知識を更新するために時間を割いている場合でも、これらのプロセスを理解するための手順を踏むこと (および因子を最も効率的に取得する方法のコツを知ること) は、目的の場所に到達するのに役立ちます。数学的な生活に取り入れてください。
ハッピーファクタリング！