この記事では、回路解析におけるフーリエ変換解析またはフーリエ変換について学びます。フーリエ変換は基本的に、信号をその構成周波数成分に分解する数学的演算です。簡単に言うと、信号を時間領域から周波数領域に変換します。時間ドメインは信号を時間の関数として表し、周波数ドメインは信号を周波数の関数として表します。

フーリエ変換

フーリエ変換は、回路がさまざまな周波数でどのように応答するかを確認できるため、さまざまな種類の回路の動作を分析するための驚くほど強力なツールです。これは、次のようなさまざまな種類のタスクに役立ちます。

• 任意の入力信号に対する回路の応答を解析します。 これを利用して、オーディオ信号やビデオ信号などの膨大な範囲の入力信号を処理できる回路を簡単に設計できます。
• 回路の共振周波数を特定する: 共振周波数は、回路が信号を増幅する周波数です。この情報は、フィルターや発振器など、特定の周波数で動作する回路を設計するために使用できます。
• 信号から不要な周波数成分を除去するフィルターを設計します。 フィルターは主に、信号からノイズや干渉を除去したり、特定の信号から特定の周波数成分を抽出したりするために使用されます。
• 回路の安定性を理解する: 安定した回路とは、単に発振したり発散したりしない回路のことです。フーリエ変換を使用すると、回路の周波数応答を調べるだけで回路の安定性を解析できます。

フーリエ変換は、信号処理、画像処理、量子力学など、他の多くの分野でも使用されます。

この記事では、回路解析におけるフーリエ変換に関連する次のトピックについて説明します。

• フーリエ変換の種類
• フーリエ変換の性質
• 回路解析におけるフーリエ変換の応用

概念を適切に理解するのに役立つ例や図についても説明します。

進化の理由を理解する

フーリエ変換は、19 世紀初頭にフランスの有名な数学者ジャンバティスト ジョゼフ フーリエによって初めて開発されました。彼は偏微分方程式である熱伝導方程式を解くことに深い興味を持っていました。フーリエは、初期温度分布をその構成成分であるサイン波とコサイン波に単純に分解するだけで方程式を解くことができることに気づきました。

それ以来、フーリエ変換は回路解析を含む物理学や工学の幅広い問題に適用されてきました。回路解析では、フーリエ変換を利用して、任意の入力信号に対する回路の応答を解析できます。

フーリエ変換の効果

フーリエ変換は回路解析に多くの重要な影響を与えます。まず、任意の入力信号に対する回路の応答を解析できるようになります。次に、回路の共振周波数を特定できるようになります。その後、3 番目では、信号から不要な周波数成分を除去するために使用するフィルターを設計できます。

フーリエ変換の公式

信号 x(t) のフーリエ変換は X(f) で表され、次のように定義されます。

X(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) e^{-j2pi ft} dt>

ここで、f はヘルツのパラメータにおける周波数です。

フーリエ変換式で使用される表記は次のとおりです。

• x(t) は時間領域信号です。
• X(f) は周波数領域信号です。
• j は虚数単位です。
• e −j2πft は複素指数関数です。

フーリエ変換の種類

フーリエ変換には主に 2 つのタイプがあります。

• 連続フーリエ変換 (CFT)
• 離散フーリエ変換 (DFT) 。

連続フーリエ変換 (CFT)

CFT は、基本的に、いつでも任意の値を取ることができる信号である連続時間信号に対して定義されます。

信号 x(t) の連続フーリエ変換 (CFT) は次のように定義できます。

X(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) e^{-j2pi ft} dt>

ここで、f はヘルツ単位の周波数です。

CFT 式で使用される表記は次のとおりです。

• x(t) は時間領域信号です。
• X(f) は周波数領域信号です。
• j は虚数単位です。
• e −j2πft は複素指数関数です。

CFTの導出

CFT は、周期信号のフーリエ級数から簡単に導出できます。周期 T の周期信号 x(t) のフーリエ級数は次の式で与えられます。

x(t) = sum_{n=-infty}^{infty} c_n e^{j2pi nfrac{t}{T}}>

ここ Cn は信号のフーリエ係数です。

CFT は、周期 T が無限大に近づくときのフーリエ級数の極限を取るだけで取得できます。この制限では、フーリエ係数は周波数の連続関数となり、フーリエ級数が CFT になります。

離散フーリエ変換 (DFT)

DFT は、特定の時間に特定の値のみを取る信号である離散時間信号に対して定義されます。

離散時間信号 x[n] の離散フーリエ変換 (DFT) は次のように定義できます。

X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2pi kn/N}>

ここで、k は周波数インデックス、N は特定の信号の長さです。

DFT 式で使用される表記は次のとおりです。

Javaのトリム文字列

• x[n] は離散時間信号です。
• X[k] は周波数領域信号です。
• j は虚数単位です。
• e −j2πkn/N
• は複素指数関数です。

DFT の導出

簡単に言うと、CFT は基本的に次のように定義されています。 連続時間信号 、DFT は次のように定義されています。 離散時間信号 。 DFT は、離散時間信号で動作するほとんどの電子回路と同様に、回路解析におけるフーリエ変換のタイプとして主に使用されます。

離散時間信号 x[n] の DFT は X[k] で表され、次のように定義されます。

X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2pi kn/N}>

ここで、k は周波数インデックス、N は信号の長さです。

DFT は、離散周波数で CFT をサンプリングするだけで CFT から導出できます。

X[k] = X(f = k/N)>

フーリエ変換の例と図

次の回路例を考えてみましょう。

簡単なRC回路

ここで、回路への入力は方形波で、出力はフィルターされた方形波です。ここで、入力方形波のフーリエ変換は、高調波周波数での一連のインパルスです。出力方形波のフーリエ変換は、高調波周波数での一連の減衰されたインパルスです。

以下の図は、入力信号と出力信号のフーリエ変換を示しています。

フーリエ変換 入力 出力

プロパティ

フーリエ変換には、次のような重要な特性が多数あります。

• 実信号のフーリエ変換は共役対称です。
• 信号の線形結合のフーリエ変換は、個々の信号のフーリエ変換の線形結合です。
• 時間シフトされた信号のフーリエ変換は、周波数シフトされた信号です。
• 周波数シフトされた信号のフーリエ変換は、時間シフトされた信号です。

特徴

信号のフーリエ変換には次の特性があります。

• 信号のフーリエ変換の大きさは、信号の周波数成分の振幅を表します。
• 信号のフーリエ変換の位相は、信号の周波数成分の位相を表します。

アプリケーション

フーリエ変換には、回路解析において次のような膨大な数の用途があります。

• 任意の入力信号に対する回路の特定の応答を分析します。
• 回路の共振周波数を特定します。
• 信号から不要な周波数成分を除去するフィルターを設計します。

長所と短所

フーリエ変換の長所と短所は次のとおりです。

シュエタ・ティワリ俳優

利点:

• フーリエ変換は、回路の周波数応答を解析するための最も強力なツールです。
• 信号から不要な周波数成分を除去するフィルターの設計に使用できます。

短所:

• フーリエ変換は、理解して使用するのがさらに複雑になる場合もあります。
• フーリエ変換は計算コストが高くなる可能性があります。

ラプラス変換とフーリエ変換の違い

基本的にフーリエ変換はラプラス変換とほとんど似ていますが、いくつかの重要な違いがあります。フーリエ変換は連続時間信号に対して定義されるということは、ラプラス変換が連続時間信号と離散時間信号の両方に対して定義されることを意味します。さらに、フーリエ変換は過渡信号の解析には適していませんが、ラプラス変換は過渡信号の解析に役立ちます。

順フーリエ変換と逆フーリエ変換

順フーリエ変換は、信号を時間領域から周波数領域に変換できます。逆フーリエ変換では、信号を周波数領域から時間領域に変換する必要があります。

逆フーリエ変換は次のように定義されます。

x(t) = int_{-infty}^{infty} X(f) e^{j2pi ft} df>

順サイン変換とフーリエコサイン変換

順サイン変換と順コサイン変換は、基本的にフーリエ変換の 2 つの変形です。順正弦変換は次のように定義されます。

S(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) sin(2pi ft) dt>

順方向コサイン変換は次のように定義されます。

C(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) cos(2pi ft) dt>

順サイン変換と順コサイン変換は、それぞれ偶数対称と奇数対称の信号を解析するのに非常に役立ちます。

結論

全体として、フーリエ変換は回路から解析までに最も重要なツールです。これにより、回路がさまざまな周波数にどのように応答するかを理解することができます。これは、電子回路の設計と解析にとってより重要です。フーリエ変換には、任意の入力信号に対する回路の応答の分析、特定の回路の共振周波数の特定、信号から不要な周波数成分を除去するフィルターの設計、信号の安定性の理解など、回路解析におけるさまざまな種類のアプリケーションがあります。回路。

フーリエ変換は、信号処理、画像処理、量子力学など、他の多くの分野でも使用されます。これは、幅広い用途に使用できる、非常に多用途で強力なツールです。

回路解析におけるフーリエ変換の重要性について、さらに注意を払って考えてみましょう。

Javaリストメソッド

• フーリエ変換を使用すると、線形回路と非線形回路を簡単に解析できます。
• フーリエ変換は、時間領域または周波数領域でさまざまな種類の回路を解析するために使用できます。
• フーリエ変換は、複数の入力と出力を持つ解析回路に使用できます。
• フーリエ変換は、フィードバック ループを備えた回路を解析するために使用できます。

フーリエ変換は、幅広い回路問題の解析に使用できる強力なツールです。これは回路エンジニアにとって不可欠なツールです。

よくある質問

1. フーリエ変換とラプラス変換の違いは何ですか?

ラプラスは CFT と DFT の両方に使用されますが、フーリエ変換には使用されません

2. 回路解析においてフーリエ変換が重要なのはなぜですか?

フーリエ変換は、回路の周波数応答を解析できるため、回路解析においてより重要です。周波数応答

3. 回路解析におけるフーリエ変換の応用にはどのようなものがありますか?

フーリエ変換は、次のような回路解析のさまざまなタスクに使用できます。

任意の入力信号に対する回路の応答を解析します。

回路の共振周波数を特定します。

信号から不要な周波数成分を除去するフィルターを設計します。

回路の安定性を理解する。