ヒープとは何ですか?
ヒープは完全なバイナリ ツリーであり、バイナリ ツリーはノードが最大 2 つの子を持つことができるツリーです。ヒープについて詳しく知る前に 完全なバイナリ ツリーとは何ですか?
完全な二分木とは、 最後のレベル、つまり葉ノードを除くすべてのレベルが完全に埋められ、すべてのノードが左寄せされる必要があるバイナリ ツリー。
例を通して理解しましょう。
上の図では、リーフ ノードを除くすべての内部ノードが完全に埋められていることがわかります。したがって、上記のツリーは完全な二分木であると言えます。
上の図は、リーフ ノードを除いてすべての内部ノードが完全に埋め込まれていることを示していますが、リーフ ノードは右側の部分に追加されています。したがって、上記のツリーは完全なバイナリ ツリーではありません。
Javaのif else文
注: ヒープ ツリーは、ルート ノードがその子と比較され、それに応じて配置される特別なバランスの取れたバイナリ ツリー データ構造です。
ツリー内でノードを配置するにはどうすればよいでしょうか?
ヒープには 2 つのタイプがあります。
- 最小ヒープ
- 最大ヒープ
最小ヒープ: 親ノードの値は、その子のいずれか以下である必要があります。
または
言い換えれば、最小ヒープは、すべてのノード i について、ノード i の値がルート ノードを除くその親の値以上であると定義できます。数学的には、次のように定義できます。
A[親(i)]<= a[i]< strong>
例を通して最小ヒープを理解しましょう。
上の図では、11 がルート ノードであり、ルート ノードの値は他のすべてのノード (左の子または右の子) の値より小さくなります。
最大ヒープ: 親ノードの値はその子ノード以上です。
または
言い換えれば、最大ヒープはすべてのノード i について定義できます。ノード i の値は、ルート ノードを除き、その親の値以下です。数学的には、次のように定義できます。
A[親(i)] >= A[i]
上記のツリーは、最大ヒープの特性を満たすため、最大ヒープ ツリーです。次に、最大ヒープの配列表現を見てみましょう。
最大ヒープの時間計算量
最大ヒープ内で必要な比較の合計数は、ツリーの高さに応じて異なります。完全な二分木の高さは常に記録されます。したがって、時間計算量も O(logn) になります。
最大ヒープでの挿入操作のアルゴリズム。
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// algorithm to insert an element in the max heap. insertHeap(A, n, value) { n=n+1; // n is incremented to insert the new element A[n]=value; // assign new value at the nth position i = n; // assign the value of n to i // loop will be executed until i becomes 1. while(i>1) { parent= floor value of i/2; // Calculating the floor value of i/2 // Condition to check whether the value of parent is less than the given node or not if(A[parent] <a[i]) { swap(a[parent], a[i]); i="parent;" } else return; < pre> <p> <strong>Let's understand the max heap through an example</strong> .</p> <p>In the above figure, 55 is the parent node and it is greater than both of its child, and 11 is the parent of 9 and 8, so 11 is also greater than from both of its child. Therefore, we can say that the above tree is a max heap tree.</p> <p> <strong>Insertion in the Heap tree</strong> </p> <p> <strong>44, 33, 77, 11, 55, 88, 66</strong> </p> <p>Suppose we want to create the max heap tree. To create the max heap tree, we need to consider the following two cases:</p> <ul> <li>First, we have to insert the element in such a way that the property of the complete binary tree must be maintained.</li> <li>Secondly, the value of the parent node should be greater than the either of its child.</li> </ul> <p> <strong>Step 1:</strong> First we add the 44 element in the tree as shown below:</p> <img src="//techcodeview.com/img/ds-tutorial/89/heap-data-structure-5.webp" alt="Heap Data Structure"> <p> <strong>Step 2:</strong> The next element is 33. As we know that insertion in the binary tree always starts from the left side so 44 will be added at the left of 33 as shown below:</p> <img src="//techcodeview.com/img/ds-tutorial/89/heap-data-structure-6.webp" alt="Heap Data Structure"> <p> <strong>Step 3:</strong> The next element is 77 and it will be added to the right of the 44 as shown below:</p> <img src="//techcodeview.com/img/ds-tutorial/89/heap-data-structure-7.webp" alt="Heap Data Structure"> <p>As we can observe in the above tree that it does not satisfy the max heap property, i.e., parent node 44 is less than the child 77. So, we will swap these two values as shown below:</p> <img src="//techcodeview.com/img/ds-tutorial/89/heap-data-structure-8.webp" alt="Heap Data Structure"> <p> <strong>Step 4:</strong> The next element is 11. The node 11 is added to the left of 33 as shown below:</p> <img src="//techcodeview.com/img/ds-tutorial/89/heap-data-structure-9.webp" alt="Heap Data Structure"> <p> <strong>Step 5:</strong> The next element is 55. To make it a complete binary tree, we will add the node 55 to the right of 33 as shown below:</p> <img src="//techcodeview.com/img/ds-tutorial/89/heap-data-structure-10.webp" alt="Heap Data Structure"> <p>As we can observe in the above figure that it does not satisfy the property of the max heap because 33<55, so we will swap these two values as shown below:< p> <img src="//techcodeview.com/img/ds-tutorial/89/heap-data-structure-11.webp" alt="Heap Data Structure"> <p> <strong>Step 6:</strong> The next element is 88. The left subtree is completed so we will add 88 to the left of 44 as shown below:</p> <img src="//techcodeview.com/img/ds-tutorial/89/heap-data-structure-12.webp" alt="Heap Data Structure"> <p>As we can observe in the above figure that it does not satisfy the property of the max heap because 44<88, so we will swap these two values as shown below:< p> <p>Again, it is violating the max heap property because 88>77 so we will swap these two values as shown below:</p> <p> <strong>Step 7:</strong> The next element is 66. To make a complete binary tree, we will add the 66 element to the right side of 77 as shown below:</p> <p>In the above figure, we can observe that the tree satisfies the property of max heap; therefore, it is a heap tree.</p> <p> <strong>Deletion in Heap Tree</strong> </p> <p>In Deletion in the heap tree, the root node is always deleted and it is replaced with the last element.</p> <p> <strong>Let's understand the deletion through an example.</strong> </p> <p> <strong>Step 1</strong> : In the above tree, the first 30 node is deleted from the tree and it is replaced with the 15 element as shown below:</p> <p>Now we will heapify the tree. We will check whether the 15 is greater than either of its child or not. 15 is less than 20 so we will swap these two values as shown below:</p> <p>Again, we will compare 15 with its child. Since 15 is greater than 10 so no swapping will occur.</p> <p> <strong>Algorithm to heapify the tree</strong> </p> <pre> MaxHeapify(A, n, i) { int largest =i; int l= 2i; int r= 2i+1; while(lA[largest]) { largest=l; } while(rA[largest]) { largest=r; } if(largest!=i) { swap(A[largest], A[i]); heapify(A, n, largest); }} </pre> <hr></88,></p></55,></p></a[i])>