あ 双曲線 は、2 つの無限の弓に似た、互いに鏡映する 2 つの枝を持つ平面内の滑らかな曲線です。直円錐を、その両半分が交差するような角度で平面と交差させて形成される円錐断面である。

方程式、公式、プロパティ、グラフ、導出など、双曲線について詳しく学びましょう。

双曲線

目次

• 双曲線とは何ですか?
• 双曲線の定義
• 双曲線方程式
• 双曲線の部分
• 双曲線の離心率
• 双曲線の標準方程式
• 双曲線の右辺
• 双曲線方程式の導出
• 双曲線の公式
• 双曲線のグラフ
• 共役双曲線
• 双曲線の性質
• 双曲線の補助円
• 長方形双曲線
• 双曲線のパラメトリック表現
• 双曲線クラス 11
• 双曲線に関する解決例
• 双曲線に関する練習問題

双曲線とは何ですか?

双曲線は、2 つの焦点からの距離の差が固定値である点の軌跡です。この差は、遠い焦点の距離から近い焦点の距離を引くことによって得られます。

P (x, y) が双曲線上の点であり、F、F’ が 2 つの焦点である場合、双曲線の軌跡は次のようになります。

PF – PF' = 2a

注記： イメージについては派生に追加された図を参照してください。

双曲線の定義

解析幾何学では、双曲線は、平面が二重直円錐の両方の半分をある角度で切断したときに作成される円錐断面の一種です。この交差により、互いの鏡像である 2 つの別々の境界のない曲線が生成され、双曲線が形成されます。

双曲線方程式

標準形式の双曲線の方程式は、その方向と、原点または別の点のどちらの中心にあるかによって異なります。ここでは、原点を中心とする双曲線の 2 つの主要な形式を示します。1 つは水平に開き、もう 1 つは垂直に開きます。

バツ ² /a ² - そして ² /b ² = 1

この方程式は、左右に開く双曲線を表します。点 (±a,0) は、x 軸上にある双曲線の頂点です。

双曲線の部分

双曲線は、二重直円錐を、円錐の両方の半分が結合されるような角度で平面で切断したときに展開される円錐断面です。これは、焦点、直角、直腸広角、離心率などの概念を使用して説明できます。

双曲線の離心率

双曲線の離心率は、焦点からの点の距離と準線からの垂直距離の比です。それは文字「」で示されます それは '。

• 双曲線の離心率は常に 1 より大きく、つまり e>1 です。
• 双曲線の離心率は次の式で簡単に求めることができます。

e = √[1 + (b ² /a ² )]

どこ、

• ある は長半径の長さです
• b は短軸の長さです

続きを読む： 偏心

双曲線の標準方程式

双曲線の標準方程式は次のとおりです。

old{frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1}

または

old{frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1}

双曲線には 2 つの標準方程式があります。これらの双曲線の方程式は、横軸と共役軸に基づいています。

jtextfield

• 双曲線の標準方程式は [(x²/a²） - （そして²/b²)] = 1、X 軸は横軸、Y 軸は共役軸です。
• さらに、双曲線の別の標準方程式は [(y²/a²）- （バツ²/b²)] = 1、Y 軸は横軸、X 軸は共役軸です。
• 中心(h, k)、X軸を横軸、Y軸を共役軸とする双曲線の標準方程式は、

old{frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}= 1}

• さらに、中心 (h, k)、Y 軸を横軸、X 軸を共役軸とする双曲線のもう 1 つの標準方程式は、次のようになります。

old{frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}= 1 }

双曲線の右辺

双曲線の直腸広角は、双曲線の焦点のいずれかを通り、双曲線の横軸に垂直な線です。広角直腸の端点は双曲線上にあり、その長さは 2b です²/a.

双曲線方程式の導出

座標が (x, y) である双曲線上の点 P を考えてみましょう。双曲線の定義から、2 つの焦点 F および F’ から点 P までの距離の差は 2a、つまり PF’-PF = 2a であることがわかります。

焦点の座標を F (c, o) および F '(-c, 0) とします。

ここで、座標距離公式を使用して、点 P (x, y) から焦点 F (c, 0) および F '(-c, 0) までの距離を求めることができます。

√[(x + c)²+ (および - 0)²] – √[(x – c)²+ (および - 0)²] = 2a

⇒ √[(x + c)²+と²] = 2a + √[(x – c)²+と²]

さて、両辺を二乗すると、次のようになります。

(x + c)²+と²= 4a²+ (x – c)²+と²+ 4a√[(x – c)²+と²]

⇒ 4cx – 4a²= 4a√[(x – c)²+と²]

⇒CX-A²= a√[(x – c)²+と²]

さて、両辺を二乗して単純化すると、次のようになります。

[（バツ²/a²） - （そして²/(c²–²))] = 1

私たちは持っています、c²= a²+b²したがって、これを上の式に代入すると、次のようになります。

バツ²/a²- そして²/b²= 1

したがって、双曲線の標準方程式が導出されます。

同様に、他の双曲線の標準方程式、つまり [y²/a²- バツ²/b²] = 1

双曲線の公式

次の双曲線公式は、双曲線の方程式、長軸と短軸、離心率、漸近線、頂点、焦点、半広角直腸などの双曲線のさまざまなパラメーターを求める際に広く使用されています。

どこ、

• （ バツ₀、そして₀) は中心点です
• ある は長半径です
• b は準短軸です。

双曲線のグラフ

双曲線は、互いに鏡像である 2 つの境界のない曲線を含む曲線です。双曲線のグラフは、その曲線を 2D 平面で示します。以下に示す標準方程式の双曲線グラフで、双曲線のさまざまな部分を観察できます。

双曲線の方程式	双曲線のグラフ	双曲線のパラメータ
frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1		中心の座標: (0, 0) 頂点の座標: (a, 0) および (-a, 0) 焦点の座標: (c, 0) および (-c, 0) 横軸の長さ = 2a 共役軸の長さ = 2b 直腸広背筋の長さ = 2b2/a 漸近線の方程式: y = (b/a) x および y = -(b/a) x 偏心率 (e) = √[1 + (b2/a2)]
frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1		中心の座標: (0, 0) 頂点の座標: (0, a) および (0, -a) 焦点の座標: (0, c) および (0, -c) 横軸の長さ = 2b 共役軸の長さ = 2a 直腸広背筋の長さ = 2b2/a 漸近線の方程式: y = (a/b) x および y = -(a/b) x 偏心率 (e) = √[1 + (b2/a2)]

共役双曲線

共役双曲線は、1 つの双曲線の横軸と共役軸がそれぞれ他の双曲線の共役軸と横軸となる 2 つの双曲線です。

(x の共役双曲線²/²） - （そして²/b²) = 1 は、

（バツ ² / ² ） - （そして ² /b ² ) = 1

どこ、

• ある は長半径です
• b は準短軸です
• それは は放物線の離心率です
• ある ² = b ² (それは ² − 1)

双曲線の性質

• 双曲線とその共役の離心率が e の場合、₁、および e₂それから、

(1と ₁ ² ) + (1 / e ₂ ² ) = 1

• 双曲線の焦点とその共役は共円であり、正方形の頂点を形成します。
• 双曲線は、直腸広背筋が同じであれば等しい。

双曲線の補助円

補助円とは、中心Cと直径を双曲線の横軸として描かれる円です。双曲線方程式の補助円は、

バツ ² +と ² = a ²

長方形双曲線

2a 単位の横軸と 2b 単位の共役軸が等しい長さの双曲線は、 長方形双曲線 と呼ばれます。つまり、直角双曲線では、

2a = 2b

⇒ a = b

長方形双曲線の方程式は次のように与えられます。

バツ ² - そして ² = a ²

注記： 長方形双曲線の離心率は√2です。

双曲線のパラメトリック表現

双曲線の補助円のパラメトリック表現は次のとおりです。

x = a秒θ、y = btanθ

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双曲線クラス 11

クラス 11 の数学では、双曲線の学習が解析幾何学の円錐曲線の一部を形成します。このレベルで双曲線を理解するには、その定義、標準方程式、特性、およびそれらに関連するさまざまな要素を調査する必要があります。

クラス 11 のカリキュラムには通常、これらの方程式と特性の導出、指定された方程式に基づいた双曲線のスケッチ、双曲線の要素と位置に関連する問題の解決が含まれます。これらの概念を習得すると、分析における強力な基盤が得られます。 幾何学 、学生が数学および関連分野でさらに勉強できるように準備します。

要約 – 双曲線

双曲線は、2 つの別々の曲線が生成されるような角度で平面が円錐と交差するときに形成される円錐断面の一種です。双曲線は鏡映対称性を特徴とし、それぞれが他方から離れる方向に湾曲した 2 つの切り離された枝で構成されます。これは、標準方程式を使用して座標平面内で数学的に定義できます。この方程式は、その向き (水平か垂直か)、およびその中心が原点にあるか別の点にあるかによって異なります。

標準的な形式は次のとおりです バツ ² /a ² - そして ² /b ² = 1 水平に開く双曲線の場合、 そして ² /a ² - バツ ² /b ² = 1 垂直方向に 1 つの開口部があり、(h,k) に移動された中心に対応するバリエーションがあります。双曲線の主な特徴には、頂点、つまり各枝の中心に最も近い点が含まれます。焦点、双曲線上の任意の点までの距離が一定の差を持つ点。そして漸近線、つまり枝が近づいても決して触れない線です。

双曲線の特性により、双曲線の軌道と挙動のモデリングと分析において、天文学、物理学、工学などのさまざまな分野で双曲線が重要になります。

双曲線に関する解決例

質問 1: 双曲線 x の離心率を求めてください。 ² /64 – そして ² /36 = 1。

解決：

双曲線の方程式はxです²/64 – そして²/36 = 0

与えられた方程式を双曲線 x の標準方程式と比較することによって²/a²- そして²/b²= 1、得られます

ある²= 64、b²= 36

⇒ a = 8、b = 6

我々は持っています、

双曲線の離心率 (e) = √(1 + b²/a²)

⇒ e = √(1 + 6²/8²)

⇒ e = √(1 + 36/64)

⇒ e = √(64 + 36)/64) = √(100/64)

⇒ e = 10/8 = 1.25

したがって、与えられた双曲線の離心率は 1.25 になります。

質問 2: 双曲線の方程式が [(x-4) の場合 ² /25] – [(y-3) ² /9] = 1、長軸、短軸、直腸広背筋の長さを求めます。

解決：

双曲線の方程式は [(x-4)²/25] – [(y-3)²/9] = 1

与えられた方程式を双曲線の標準方程式と比較することにより、(x – h)²/a²– (そして – k)²/b²= 1

ここで、x = 4 が長軸、y = 3 が短軸です。

ある²= 25 a = 5

b²= 9 b = 3

長軸の長さ = 2a = 2 × (5) = 10 単位

短軸の長さ = 2b = 2 × (3) = 6 単位

直腸広背筋の長さ = 2b²/a = 2(3)²/5 = 18/5 = 3.6 単位

質問 3: 双曲線方程式が [(x-6) の場合、頂点、漸近線、長軸、短軸、準線を求めてください。 ² /7 ² ]-[(y-2) ² /4 ² ] = 1。

解決：

双曲線の方程式は [(x-6)²/7²] – [(y-2)²/4²] = 1

与えられた方程式を双曲線の標準方程式と比較することにより、(x – h)²/a²– (そして – k)²/b²= 1

h = 6、k = 2、a = 7、b = 4

双曲線の頂点: (h + a, k) および (h – a, k) = (13, 2) および (-1, 2)

双曲線の長軸は x = h x = 6 です

双曲線の短軸は y = ky y = 2

双曲線の漸近線の方程式は次のとおりです。

y = k − (b / a)x + (b / a)h および y = k+ (b / a)x – (b / a)h

⇒ y = 2 – (4/7)x + (4/7)6 および y = 2 + (4/7)x – (4/7)6

⇒ y = 2 – 0.57x + 3.43 および y = 2 + 0.57x – 3.43

パイスパーク

⇒ y = 5.43 – 0.57x および y = -1.43 + 0.57x

双曲線の準線の方程式は x = ± a です。²/√(a²+b²)

⇒ x = ± 7²/√(7²+4²)

⇒ x=±49/√65

⇒ x = ± 6.077

質問 4: 直腸広葉樹がその共役軸の半分である双曲線の離心率を求めてください。

解決：

直腸広背筋の長さは共役軸の半分

双曲線の方程式を [(x²/²） - （そして²/b²)] = 1

共役軸 = 2b

広角直腸の長さ = (2b²/a)

与えられたデータから、(2b²/ a) = (1/2) × 2b

2b = a

我々は持っています、

双曲線の離心率 (e) = √[1 + (b²/a²)]

ここで、離心率の式に a = 2b を代入します。

⇒ e = √[1 + (b²/(2b)²]

⇒ e = √[1 + (b²/4b²)] = √(5/4)

⇒ e = √5/2

したがって、必要な偏心量は√5/2となります。

双曲線に関する練習問題

P1.頂点が (-3, 2) と (1, 2) で、焦点距離が 5 の双曲線の標準形の方程式を求めます。

P2。方程式 9x を使用して双曲線の中心、頂点、焦点を決定します。 ² – 4歳 ² = 36。

P3.方程式 (x – 2) の双曲線が与えられるとします。 ² /16 – (および + 1) ² /9 = 1、その中心、頂点、焦点の座標を見つけます。

P4.水平長軸、中心が (0, 0)、頂点が (5, 0)、焦点が (3, 0) である双曲線の方程式を書きます。

双曲線 – よくある質問

数学の双曲線とは何ですか?

固定点からの距離と固定線からの距離の比が 1 より大きい定数となるような平面上の点の軌跡を双曲線と呼びます。

双曲線の標準方程式とは何ですか?

双曲線の標準方程式は次のとおりです。

（バツ ² /a ² ） - （そして ² /b ² ) = 1

双曲線の離心率とは何ですか?

双曲線の離心率は、焦点からの点の距離と準線からの垂直距離の比です。双曲線の場合、離心率は常に 1 より大きくなります。

双曲線の離心の公式とは何ですか?

双曲線の離心率の公式は次のとおりです。 e = √(1 + (b ² /a ² ))

とは何ですか 焦点 双曲線の?

双曲線には 2 つの焦点があります。双曲線 (x²/a²） - （そして²/b²) = 1、焦点は (ae, 0) および (-ae, 0) によって与えられます。

双曲線の横軸とは何ですか?

双曲線の場合 (x²/a²） - （そして²/b²) = 1、横軸は x 軸に沿っています。その長さは 2a で与えられます。双曲線の中心と焦点を通る線を双曲線の横軸といいます。

双曲線の漸近線とは何ですか?

無限遠で双曲線と交わる双曲線に平行な線は、双曲線の漸近線と呼ばれます。

双曲線には漸近線がいくつありますか?

双曲線には 2 つの漸近線があります。漸近線は、無限遠で双曲線と交わる双曲線の接線です。

双曲線は何に使用されますか?

双曲線は、天文学、物理学、工学、経済学などのさまざまな分野で応用されています。これらは、衛星の軌道、無線送信パターン、砲兵の照準、財務モデリング、天体力学などの分野で使用されます。

標準形式における放物線と双曲線の違いは何ですか?

標準形式では、放物線の方程式には 1 と 2 の乗の項が含まれ、双曲線の方程式には 2 と -2 の乗の項が含まれます。また、放物線は焦点が 1 つであるのに対し、双曲線は焦点が 2 つあるという特徴があります。

双曲線グラフの基本方程式とは何ですか?

双曲線グラフの基本方程式は次のとおりです。

(x – h)²/²– (そして – k)²/b²= 1

または

(そして – k)²/b²– (x -h)²/²= 1

双曲線の種類とは何ですか?

双曲線は、その向きに基づいて、水平双曲線、垂直双曲線、斜双曲線の 3 つのタイプに分類できます。

双曲線方程式はどうやって特定するのでしょうか?

双曲線方程式には通常、次の両方の項が含まれます。 バツ そして そして の 2 乗の差を持つ変数 バツ そして そして これらの項の係数はそれぞれ正と負です。

双曲線のBの公式は何ですか?

双曲線方程式の標準形式では、 B は共役軸の長さを表し、その式は次のようになります。 B = 2 b 、 どこ b 共役軸に沿った中心から頂点までの距離です。

双曲線を描くにはどうすればよいですか?

双曲線を描画するには、通常、中心点をプロットすることから始め、次に、指定された方程式またはプロパティに基づいて頂点、焦点、漸近線、およびその他のキーポイントをマークします。最後に、これらの点をガイドとして使用して双曲線の曲線をスケッチします。