sinの積分x -cos(x) に定数 (C) を加えたものです。サインカーブの下の領域を表します。この関数は周期的な性質があるため、2π ラジアンごとに繰り返されます。この記事では、sin 関数の積分について説明し、その公式、証明、および特定の定積分を求める際の応用例を示します。さらに、解決された問題やよくある質問についても記載されています。
目次
罪xのインテグラルとは？
x に関する sin(x) の積分は、-cos(x) に定数 (C) を加えたものです。これは、-cos(x) を x に関して微分すると、sin(x) が得られることを意味します。積分定数 (C) は、元の関数に存在する可能性のある追加の定数値を表します。
sin x の積分は、正弦曲線の下にある面積を物理的に表します。
学ぶ、
- 数学における微積分
- 数学における統合
罪の積分×公式
サイン関数の積分 ∫ sin(x) dx は、-cos(x) + C に等しくなります。ここで、C は積分定数です。
∫sin(x) dx = -cos(x) + C
ここで、cos(x) はコサイン関数であり、定数の導関数はゼロであるため、C は逆導関数に追加される定数を表します。
Sin x の積分の図的意味
( a ) から ( b ) までの sin(x) の積分は、この区間内の曲線の下の面積を計算するという点でグラフィカルに重要です。定積分法と幾何学的法の両方を使用して、グラフィックの重要性を調べてみましょう。
定積分法
( a ) から ( b ) までの sin(x) の積分は、次の式で与えられます。
これは、曲線 sin(x) と ( a ) から ( b ) までの x 軸の間の符号付き領域を表します。
幾何学的手法
( a ) から ( b ) までの sin(x) のグラフを考えてみましょう。曲線の下の領域は 2 つの領域に分割できます。
- ポジティブエリア: sin(x) が正の領域 (x 軸の上)。これは、曲線の下の領域がプラスになることに貢献します。
- ネガティブエリア: sin(x) が負の領域 (x 軸の下)。これは、曲線の下の負の領域に寄与します。
総面積は、これらの正の面積と負の面積の代数和です。
例：
( a = 0 ) から ( b = π/2 ) までの sin(x) の曲線の下の面積を求めます。
定積分法を使用すると、次のようになります。
∫0p/2sin x = [-cos x]0p/2= -cos(π/2) – (-cos 0) = 0 + 1 = 1
これは曲線の下の符号付き領域です。
幾何学的な方法を使用すると、次のようになります。
0 から (π/2) までの sin(x) のグラフは円の 4 分の 1 であり、面積は確かに 1 です。
代入法による罪×証明の統合
代入法を使用して sin(x) の積分を求めるには、積分を考えてみましょう。
三角積分の一般的な置換の 1 つは、u を三角関数内の式と等しくすることです。この場合、u = cos(x) とします。次に、dx に関して du を計算します。
du/dx = -sin(x)
ここで、dx を解きます。
dx = -1/sin(x) du
ここで、u と dx を u に関して元の積分に代入します。
sin(x) の積分 dx = ∫ sin(x) (-1/sin(x) du)
式を簡略化します。
sin(x) の積分 dx = -∫ du
ここで u に関して積分します。
sin(x) の積分 dx = -u + C
ここで、cos(x) として定義された u を元に戻します。
sin(x) の積分 dx = -cos(x) + C
したがって、置換法を使用すると、導関数による証明と同じ結果が得られます。 sin(x) の積分は -cos(x) + C です。ここで、C は積分定数です。
Sin x の定積分
a から b までの sin(x) の定積分は次のように表されます。
∫ b ある sin(x) dx = [-cos(b) -(-cos(a)]
x 軸の上下の領域の方向を考慮して、x = a と x = b の間の正弦曲線の下の正味領域を計算します。
学ぶ、 定積分
Sin の積分 x 0 から 円周率
0 から π までの sin(x) の積分を求めるには、反微分を使用できます。 sin(x) の逆導関数は -cos(x) です。この逆微分を 0 から π まで評価すると、次のようになります。
∫0円周率sin(x) dx = [-cos(π) – (-cos(0))]
∫0円周率sin(x) dx = [-(-1) + 1]
cos(π) は -1、cos(0) は 1 であるため、式は次のように単純化されます。
∫0円周率sin(x) dx = 1 + 1 = 2
したがって、sin(x) の 0 から π までの積分は 2 に等しくなります。これは、sin(x) 曲線と x = 0 から x = π までの x 軸の間の符号付き領域を表します。
Sinの積分×0から 円周率 /2
定積分は、指定された区間にわたる曲線と x 軸の間の符号付き面積を表します。
積分は次のように与えられます。
∫0p/2sin(x) dx
逆導関数 -cos(x) を使用して積分を評価します。
cos(x) |[0 ～ π/2]
次に、π/2 を -cos(x) に代入します。
cos(π/2) – (-cos(0))
cos(π/2) = 0 および cos(0) = 1 であることを思い出してください。これらの値を次のように置き換えます。
-(0) – (-1)
簡略化する：
0 + 1 = 1
0 から π/2 までの sin(x) の定積分は 1 に等しくなります。これは、x = 0 から x = π/2 までの正弦曲線と x 軸の間の符号付き領域が 1 であることを意味します。
また、チェックしてください
- Cos x の積分
- Tan xの統合
- 積分公式
Sin x の積分 – 解決例
例 1: sin2(x) の積分を求めます
解決：
なしの場合2(x) の場合は、cos(2x) を含む式を使用できます。
∫罪2(x) dx = ∫(1 – cos(2x))/2 dx
2 つの部分に分割します。
= (1/2)∫dx – (1/2)∫cos(2x) dx
dx の積分はまさに x です。 cos(2x) の積分には、sin(2x) の公式の使用が含まれます。次のようになります。
= (1/2)x – (1/4)sin(2x) + C
2 つの結果を結合し、元の積分内の潜在的な定数を考慮して定数 C を追加します。
(1/2)x – (1/4)sin(2x) + C
例 2: 正弦の積分を求めます 3 バツ。
解決：
x に関して 3 乗したサインの積分は次のように記述できます。
∫罪3エックスDX
三角恒等式を使用して以下を簡素化します。
それなし3x = [1 – cos2(x)] sin(x)
∫[1 – cos2(x)] sin(x) dx
用語を分散して分離します。
∫[sin x – sin x。コス2(x)]dx
各項を個別に統合します。
C++で順序付けされていないマップ-cos(x) + 1/3 cos3x + C
ここで、( C )は積分定数を表します。
例 3: sin x の積分を求める -1
解決：
sin(x) の積分-1逆正弦関数を使って表現できます。積分は次の式で与えられます。
∫1/sin x = -ln|cosec x + cot x| +C
ここで、(C) は積分定数です。
例 4: sin x の積分を求める 2
解決：
x に関する sin²(x) の積分は、三角関数の恒等式を使用して解くことができます。
∫sin2x dx = 1/2∫(1 – cos(2x)dx
ここで、各項を個別に統合します。
1/2 ∫(1−cos(2x))dx = 1/2 (∫1dx−∫cos(2x)dx)
= 1/2 [x – 1/2 sin(2x)] + C
ここで ( C ) は積分定数です。
例 5: sin x の積分を求める -3
解決：
sin(x)の積分-3(x) に関しては、三角関数の置換が含まれます。これを解決する方法は次のとおりです。
u = sin(x) とすると、du = cos(x)dx
次に、これらを積分に代入します。
∫sin(x)−3dx = ∫u−3の
ここで、(u) に関して積分します。
∫う−3あなた＝あなた−2/−2 + C
u = sin(x) を使用して (x) を元に代入します。
∫sin(x)−3dx = -1/2sin2x + C
したがって、sin(x) の積分-3(x) に関しては -1/2sin2x 、ここで (C) は積分定数です。
例 6: sin 逆数 x の積分を求める
解決：
sinの積分を求めるには-1(x) (x) に関しては部分積分が使えます。部分ごとの積分の公式は次のとおりです。
∫udv=uv−∫vdu
あなた = 罪-1(x) および dv = dx
ここで、(du) と (v) を見つけます。
du = frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx v = x
部品ごとの積分公式を適用します。
int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) – int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx 次に、右側の残りの項を積分します。 (t = 1 – x とすることで置換を使用できます)2)、その後 (dt = -2x , dx):
int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx = -frac{1}{2} int frac{1}{sqrt{t}} , dt = √t + C
ここで、(x) を元に代入します。
= -sqrt{1 – x^2} + C すべてを一緒に入れて：
int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) + sqrt{1 – x^2} + C ここで、(C) は積分定数です。
例 7: x sin 2x dx の積分を求める
解決：
(x) に関する xsin(2x) の積分を求めるには、部分積分を使用できます。部分ごとの積分の公式は次のように与えられます。
∫udv = uv − ∫vdu
u = x および dv = sin(2x)dx
ここで、(du) と (v) を見つけます。
du = dx および v = -1/2cos(2x)
部品ごとの積分公式を適用します。
∫x.sin (2x) dx = −1/2.x.cos (2x) − ∫−1/2 cos(2x) dx
次に、右側の残りの項を積分します。 -1/2cos(2x) の積分は、(u = 2x) として、単純な代入を使用して求めることができます。
∫−1/2 cos(2x)dx = −1/4 sin(2x)
この結果を元の方程式に代入します。
-1/2x cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C
したがって、(x) に関する xsin(2x) の積分は、-1/2x cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C になります。ここで、(C) は積分定数です。
例 8: sin x cos 2x の積分を求める
解決：
(x) に関する sin(x) cos(2x) の積分を求めるには、部分積分を使用できます。部品ごとの積分の公式は次のとおりです。
∫udv = uv − ∫vdu
u = sin(x) および dv = cos(2x)dx
ここで、(du) と (v) を見つけます。
du = cos(x) dx および v = 1/2 sin(2x)
部品ごとの積分公式を適用します。
∫sin(x).cos(2x)dx = 1/2sin(x)sin(2x) − ∫1/2sin(2x)cos(x)dx
次に、右側の残りの項を積分します。パーツごとの統合を再度使用できます。
∫1/2 sin(2x)cos(x)dx = 1/4 cos(2x)cos(x) − ∫1/4 cos(2x)sin(x)dx
積分が管理可能になるまでプロセスを続けます。単純化すると、最終結果が得られます。
1/2 sin(x)sin(2x) – 1/8 cos(X) cos(2x) + 1/8 sin(X) cos(2x) + C
ここで、(C) は積分定数です。
罪の積分 x – 練習問題
Q1. 0 から pi までの正弦の積分を求めます。
Q2. -π/2 から π/2 までの正弦の積分を計算します。
Q3. x に関するサインとコサインの積分の値を求めます。
Q4. 0 から π/3 までの sin(2x) の積分を計算します。
Q5. x に関する sin(3x) の逆微分を求めます。
Q6. π から 2π までの sin(2x) の積分を計算します。
Q7.関数正弦二乗を x に関して積分します。
Q8. -π/4 から π/4 までの正弦二乗の積分を計算します。
Sin x のインテグラル – よくある質問
罪xのインテグラルとは？
sin x の積分は -cos x です
罪xとは何ですか？
Sin(x) は、直角三角形の斜辺の長さと角度の反対側の長さの比を表す三角関数です。
罪の範囲xとは何ですか？
Sin x の範囲は [-1, 1] です。
Sin x の積分と微分とは何ですか?
sin x の積分は -cos x で、si x の微分は cos x です。
Sin x と Cos x の積分とは何ですか?
sin x の積分は -cos x + C、cos x の微分は sin x です。
Sin 2x のインテグラルとは何ですか?
sin 2x の積分は (-cos2x)/2 + c です。