積分公式 は、さまざまな積分問題を解くために使用される基本公式です。これらは、代数式、三角比、逆三角関数、対数関数と指数関数の積分を求めるために使用されます。これらの積分公式は、さまざまな関数の積分を求めるのに非常に役立ちます。

積分は微分の逆プロセスです。つまり、d/dx (y) = z の場合、∫zdx = y となります。任意の曲線を積分すると、曲線の下の面積が得られます。不定積分と定積分という 2 つの方法で積分を求めます。不定積分では積分に制限はありませんが、定積分では関数を積分する際の制限があります。

これらについて学びましょう 積分公式、 そして彼らの 分類、 この記事で詳しく説明します。

目次

• 積分微積分
• 積分公式とは何ですか?
• 三角関数の積分公式
• 逆三角関数の積分公式
• 高度な統合公式
• さまざまな積分公式
• 積分の応用
• 確定積分公式
• 不定積分の公式

積分微積分

積分法 積分の理論と応用を扱う微積分の分野です。積分を求めるプロセスは積分と呼ばれます。積分微積分は、関数の逆導関数を見つけるのに役立ちます。逆微分は関数の積分とも呼ばれます。で表されます ∫f(x)dx。 積分計算では、長さ、面積、体積などの合計値を扱います。積分を使用すると、特定のデータの特定の方程式の近似解を見つけることができます。積分計算には 2 種類の積分が含まれます。

• 不定 積分
• 定積分

積分公式とは何ですか?

積分公式は、次の一連の公式として広く提示されています。式には、基本的な積分公式、三角比の積分、逆三角関数、関数の積、およびいくつかの高度な積分公式セットが含まれます。統合とは、部分を結合して全体を見つける方法です。微分の逆演算です。したがって、基本的な積分公式は次のようになります。

∫ f'(x) dx = f(x) + C

積分公式

これを利用すると、以下の積分式が導出されます。

さまざまな積分の公式は次のとおりです。

1. d/dx {φ(x)} = f(x) ∫f(x) dx = φ(x) + C
2. ∫×ⁿdx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C、n ≠ -1
3. ∫(1/x) dx = 対数_それは|x| +C
4. ∫え^バツdx = e^バツ+C
5. ∫あ^バツdx = (a^バツ/ログ_それはa) + C

さらに、積分公式については以下の記事で説明します。

注記：

• d/dx [∫f(x) dx] = f(x)
• ∫k 。 f(x) dx = k ∫f(x) dx 、ここで k は定数です
• ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx

基本的な積分公式

積分問題を解くために使用される積分の基本公式のいくつかを以下で説明します。それらは積分の基本定理によって導出されます。基本的な積分公式のリストを以下に示します。

• ∫ 1 dx = x + C
• ∫×ⁿdx = x^{(n + 1)}/(n + 1)+ C
• ∫ 1/x dx = log |x| +C
• ∫と^バツdx = e^バツ+C
• ∫^バツdx = a^バツ/log a+ C
• ∫と^バツ[f(x) + f'(x)] dx = e^バツf(x) + C {ここで、f'(x) = d/dx[f(x)]}

積分公式の分類

積分公式は以下の機能に基づいてさまざまなカテゴリに分類されます。

• 有理関数
• 無理関数
• 双曲線関数
• 逆双曲線関数
• 三角関数
• 逆三角関数
• 指数関数
• 対数関数

三角関数の積分公式

三角関数の積分公式は、三角関数を含む積分方程式を解くために使用されます。三角関数および逆三角関数を含む積分公式のリストを以下に示します。

• ∫ cos x dx = sin x + C
• ∫ sin x dx = -cos x + C
• ∫秒²x dx = タン x + C
• ∫ コ秒²x dx = -cot x + C
• ∫ 秒 x タン x dx = 秒 x + C
• ∫ cosec x cot x dx = -cosec x + C
• ∫ Tan x dx = log |sec x| +C
• ∫ cot x dx = log |sin x| +C
• ∫ 秒 x dx = log |秒 x + タン x| +C
• ∫ cosec x dx = log |cosec x – cot x| +C

逆三角関数の積分公式

積分問題を解くために使用される逆三角関数のさまざまな積分公式を以下に示します。

• ∫1/√(1 – x²) dx = 罪^-1x + C
• ∫ -1/√(1 – x²) dx = cos^-1x + C
• ∫1/(1 + x²) dx = 黄褐色^-1x + C
• ∫ -1/(1 + x²) dx = コット^-1x + C
• ∫ 1/x√(x²– 1) dx = 秒^-1x + C
• ∫ -1/x√(x²– 1) dx = cosec^-1x + C

高度な統合公式

積分を解く上で非常に重要な他のいくつかの高度な積分公式については、以下で説明します。

• ∫1/(x²–²) dx = 1/2a log|(x – a)(x + a| + C
• ∫ 1/(a²- バツ²) dx =1/2a log|(a + x)(a – x)| +C
• ∫1/(x²+a²) dx = 1/タン^-1x/a + C
• ∫1/√(x²–²)dx = log |x +√(x²–²)| +C
• ∫ √(x²–²) dx = x/2 √(x²–²) -a²/2 log |x + √(x²–²)| +C
• ∫1/√(a²- バツ²) dx = 罪^-1x/a + C
• ∫√(a²- バツ²) dx = x/2 √(a²- バツ²) dx + a²/2なし^-1x/a + C
• ∫1/√(x²+a²) dx = log |x + √(x²+a²)| +C
• ∫ √(x²+a²) dx = x/2 √(x²+a²)+a²/2 log |x + √(x²+a²)| +C

さまざまな積分公式

さまざまな種類の積分問題を解決するには、さまざまな種類の積分法が使用されます。各メソッドは標準的な結果であり、公式とみなすことができます。この記事では、重要な方法のいくつかについて以下で説明します。 3 つの重要な統合方法を確認してみましょう。

• 部品による統合計算式
• 代入式による積分
• 部分分数公式による積分

部品による統合計算式

部品による統合 式は、特定の関数が 2 つの関数の積として簡単に記述できる場合に適用されます。数学で使用される部品による積分の公式は次のとおりです。

∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

例: ∫ xe を計算する ^バツ DX

解決：

∫ 車^バツdx の形式は ∫ f(x) g(x) dx

f(x) = x および g(x) = e とします。^バツ

∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C であることがわかります。

∫ 車^バツdx = x ∫e^バツdx – ∫( 1 ∫e^バツdx) dx+ c

= 車^バツ- それは^バツ+c

代入式による積分

代入式による積分 関数が別の関数の関数である場合に適用されます。つまり、I = ∫ f(x) dx とすると、x = g(t) となり、dx/dt = g'(t) となり、dx = g'(t)dt となります。

今、 I = ∫ f(x) dx = ∫ f(g(t)) g'(t) dt

例: ∫ (4x +3) を評価する ³ DX

解決：

u = (4x+3) ⇒ du = 4dx とします。

∫ (4x +3)³DX

最も近いJavaScript

= 1/4 ∫(u)³の

= 1/4。で⁴/5

= あなた⁴/20

=4x+3)⁴/20

部分分数公式による積分

部分分数による積分 この式は、P(x)/Q(x) の積分が必要で、P(x)/Q(x) が仮分数である場合、P(x) の次数が (<) 未満である場合に使用されます。 Q(x) の次数の場合、分数 P(x)/Q(x) は次のように書かれます。

P(x)/Q(x) = R(x) + P ₁ (x)/Q(x)

どこ

• 処方箋） は x の多項式です
• P ₁ (x)/Q(x) は適切な有理関数です

R(x) + P の積分₁(x)/ Q(x) は、上で説明した式を使用して簡単に計算できます。

積分の応用

積分公式は、さまざまなタスクに使用される数学の非常に便利な公式です。様々な 積分の応用 以下が含まれます:

• 曲線の長さを求める
• 曲線の下の領域を見つける
• 関数の近似値を求める
• オブジェクトなどのパスを決定する
• 曲線の下の領域を見つけるには
• 不規則な形状の表面積と体積を求めるには
• 質量中心または重心を見つけるには

これらの式は基本的に 2 つのカテゴリに分類されます。

• 定積分の公式
• 不定積分の公式

確定積分公式

定積分の公式は、積分の極限が与えられる場合に使用されます。定積分では、問題の解は定数値になります。一般に、定積分は次のように解かれます。

∫ _ある ^b f(x) dx = F(b) – F(a)

不定積分の公式

不定積分公式は、積分の極限が与えられない場合に不定積分を解くために使用されます。不定積分では、一般に C で表される積分定数を使用します。

∫f(x) = F(x) + C

積分公式に関連する記事:

• 不定積分
• 積分プロパティの定義
• 三角関数の積分

積分公式の例

例 1: 評価する

• ∫× ⁶ DX
• ∫1/x ⁴ DX
• ∫ ³ √x dx
• ∫3 ^バツ DX
• ∫4e ^バツ DX
• ∫(sin x/cos ² x) DX
• ∫(1/罪 ² x) DX
• ∫[1/√(4 – x ² )]dx
• ∫[1/3√(x ² – 9)] dx
• ∫(1 /cos x Tan x) dx

解決：

(i)∫x ⁶ DX

= (x⁶⁺¹)/(6 + 1) + C [∫x ⁿ dx = {x ⁿ⁺¹ /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x⁷/7) +C

(ii) ∫1/x ⁴ DX

= ∫x^-4DX [∫x ⁿ dx = {x ⁿ⁺¹ /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x^-4+1)/(-4 + 1) + C

= -(x^-3/ 3) +C

= -(1/3x³)+C

(iii) ∫ ³ √x dx

= ∫x^1/3DX [∫x ⁿ dx = {x ⁿ⁺¹ /(n+1)}+Cn≠-1]

= (x^(1/3)+1/((1/3)+1)+C

= x^4/3/ (4/3) + C

= (3/4)(x^4/3)+C

(iv) ∫3 ^バツ DX

= (3^バツ/ログ_それは3) +C [ ∫a ^バツ dx = (a ^バツ /ログ _それは a)+C]

(v) ∫4e ^バツ DX

= 4∫e^バツDX [∫k . f(x) dx = k f(x) dx 、ここで k は定数]

= 4 そして^バツ+C [∫e ^バツ dx = e ^バツ +C]

(vi) ∫(sin x/cos ² x) DX

= ∫[(sin x/cos x) .(1/cos x)] dx

= ∫tan x 。秒×DX [ ∫tan x .sec x dx = 秒 x + C ]

= 秒 x + C

(vii) ∫(1/sin ² x) DX

= ∫cosec²エックスDX [∫cosec ² x dx = -cot x + C ]

= -cot x + C

(viii) ∫[1/√(4 – x ² )]dx

= ∫[1/√(2²- バツ²)]dx [私たちはそれを知っています、dx = 罪 ^-1 (x/a) + C]

=なし^-1(x/2) + C

(ix) ∫[1/{3√(x ² – 9)}] dx

= ∫[1/{3√(x²- 3²)}] dx [それはわかっています、intfrac{1}{xsqrt{x^2-a^2}} dx = (1/a) 秒^-1(x/a) + C]

= (1/3)秒^-1(x/3) + C

(x) ∫(1 /cos x Tan x) dx

= ∫[cos x /(cos x sin x)] dx

= ∫(1/sin x) dx

= ∫cosec × dx [我々は、∫cosec x dx = log |cosec x – cot x| であることを知っています。 +C]

= log |cosec x – cot x| +C

例 2: ∫{e を評価する ^9ログ _それは ^バツ +と ^8ログ _それは ^バツ }/{そうです ^6ログ _それは ^バツ +と ^5ログ _それは ^バツ } dx

解決：

以来、 それは ^震える _それは ^バツ = x ^ある

∫{e ^9ログ _それは ^バツ +と ^8ログ _それは ^バツ }/{そうです ^6ログ _それは ^バツ +と ^5ログ _それは ^バツ } dx

= ∫{x⁹+×⁸}/{バツ⁶+×⁵} dx

= ∫[x⁸(x + 1)]/[x⁵(x + 1)] dx

=∫×⁸/バツ⁵DX

= ∫x³DX [それはわかっています、∫x ⁿ dx = {x ⁿ⁺¹ /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x⁴/4) + C

例 3: ∫ sin x + cos x dx を評価する

解決：

∫(sin x + cos x) dx

= ∫sin x dx + ∫cos x dx [∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx であることがわかっています]

= -cos x + sin x + C [私たちは、∫sin x dx = -cos x + C、∫cos x dx = sin x + C を知っています]

例 4: ∫4 を評価する ^x+2 DX

解決：

∫4 ^x+2 DX = ∫4^バツ。 4²DX

=∫16。 4^バツDX [ ∫k.f(x) dx = k∫f(x) dx であることがわかっています。ここで、k は定数です]

= 16∫ 4^バツDX [∫a ^バツ dx = (a ^バツ /ログ _それは a)+C]

= 16 (4^バツ/log 4) + C

例 5: ∫(x を評価する ² + 3x + 1) DX

解決：

∫(x ² + 3x + 1) DX

= ∫x²dx+ 3∫x dx + 1∫ x⁰DX [それはわかっています、∫x ⁿ dx = {x ⁿ⁺¹ /(n+1)}+Cn≠-1]

= [x²⁺¹/2+1] + 3[[x¹⁺¹/1+1]] + [x⁰⁺¹/0+1] + C

= [x³/3] + 3[x²/2] + x + C

例 6: ∫[4/(1 + cos 2x)] dx を評価する

解決：

1 + cos 2x = 2cos ² バツ

∫[4/(1 + cos 2x)] dx

= ∫[4/(2cos²x)] dx

= ∫(2/cos²x) DX

= ∫2秒²xdx

= 2∫秒²エックスDX [それはわかっています、∫秒 ² x dx = タン x + C ]

= 2 タン x + C

例 7: ∫(3cos x – 4sin x + 5 秒を評価する) ² x) DX

解決：

∫(3cos x – 4sin x + 5 秒 ² x) DX

= ∫3cos x dx – ∫4sin x dx + ∫5sec²エックスDX [∫k.f(x) dx = k ∫f(x) dx、k は定数]

= 3∫cos x dx – 4∫sin x dx + 5∫sec²エックスDX

= 3sin x – 4(-cos x) + 5 tan x + C

= 3sin x + 4cos x + 5tan x + C

積分公式の練習問題

P1. int x^2 , dx

P2。 int e^x , dx

P3. int frac{1}{x} , dx

P4. int sin(x) , dx

P5. int (2x^3 + 3x^2 + x + 1) , dx

積分公式に関する FAQ

すべての積分公式とは何ですか?

積分公式は、さまざまな積分問題を解くために使用される公式です。

• ∫ 1 dx = x + C
• ∫×ⁿdx = x^{(n + 1)}/(n + 1)+ C
• ∫ 1/x dx = log |x| +C
• ∫と^バツdx = e^バツ+C
• ∫^バツdx = a^バツ/log a+ C
• ∫と^バツ[f(x) + f'(x)] dx = e^バツf(x) + C {ここで、f'(x) = d/dx[f(x)]}

uvの積分公式とは何ですか?

uvの積分公式は、

∫uvdx = u∫vdx – ∫[d/dx(u) × ∫vdx] dx

数学における積分とは何を意味しますか?

関数 g(x) の導関数が f(x) の場合、f(x) の積分は g(x)、つまり ∫f(x)dx = g(x) となります。統合は次の記号で表されます。 ∫

積分式を使用して積分するにはどうすればよいですか?

積分は公式を使用して達成できます。

• 特定の次元でオブジェクトの小さな部分を定義し、無限回追加することで完全なオブジェクトを作成します。
• さまざまな次元に沿ってその小さな部分に対して積分公式を使用すると、完全なオブジェクトが得られます。

部位別積分公式とは何ですか？

部分別積分公式は、仮分数が与えられた積分を解くために使用されます。

積分公式の用途は何ですか?

積分公式は、さまざまな積分問題を解くために使用されます。私たちが日常生活で遭遇するさまざまな問題は、あらゆる物体の重心を見つけたり、ミサイル、ロケット、飛行機などの軌道を見つけたりするなど、統合の助けを借りて簡単に解決できます。