の 逆行列 元の行列と乗算すると単位行列が得られる行列です。任意の行列 A について、その逆行列は A として表されます。^-1。

逆行列の定義、公式、逆行列の求め方、例など、逆行列について詳しく学びましょう。

目次

• 逆行列
• 逆行列に関連する用語
• 逆行列を見つけるには?
• 逆行列公式
• 逆行列法
• 2×2 行列の逆行列の例
• 逆行列の行列式
• 逆行列の性質
• 逆行列の解決例

逆行列

行列の逆行列は、指定された行列を乗算すると次の結果が得られる別の行列です。 乗法恒等式 。

行列 A とその逆行列の場合^-1、identity プロパティが保持されます。

A.A. ^-1 =A ^-1 A = 私

どこ 私 は単位行列です。

逆行列に関連する用語

以下にリストされている用語は、逆行列をより明確かつ簡単に理解するのに役立ちます。

特異行列

行列式の値が 0 である行列は特異行列と呼ばれます。つまり、 |A| の場合、任意の行列 A は特異行列と呼ばれます。 = 0。特異行列の逆行列は存在しません。

非特異行列

行列式の値がゼロ以外の行列は非特異行列と呼ばれます。つまり、 |A| の場合、任意の行列 A は非特異行列と呼ばれます。 ≠ 0。非特異行列の逆行列が存在します。

恒等行列

主対角要素を除くすべての要素がゼロである正方行列を単位行列と呼びます。これは I を使用して表されます。任意の行列 A と同様に、行列の単位要素です。

A×I = A

恒等行列の例は次のとおりです。

私_3×3= egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

これは 3×3 次の単位行列です。

続きを読む ：

• 恒等行列

逆行列を見つけるには?

数学で行列の逆行列を求めるには 2 つの方法があります。

• 行列式の使用
• 逆行列法の使用

逆行列公式

行列 A の逆行列、つまり A^-1は、行列の随伴をその行列式で割ることを含む、行列の公式の逆関数を使用して計算されます。

逆行列公式

A^{-1}=frac{ ext{Adj A}}

どこ、

• 形容詞 A = 行列 A の随伴、および
• |A| = 行列 A の行列式。

注記 : この式は正方行列でのみ機能します。

逆行列の公式を使用して逆行列を求めるには、次の手順に従います。

ステップ1： すべての A 要素のマイナーを決定します。

ステップ2： 次に、すべての要素の余因子を計算し、A の要素をそれぞれの余因子で置き換えて余因子行列を構築します。

ステップ 3: A の余因子行列を転置して、その随伴行列 (adj A と表記) を見つけます。

ステップ 4: adj A に A の行列式の逆数を掛けます。

さて、任意の非特異正方行列 A に対して、

あ ^-1 = 1 / |A| × 調整(A)

例： 逆行列を求めますA=left[egin{array}{ccc}4 & 3 & 86 & 2 & 51 & 5 & 9end{array} ight]公式を使って。

我々は持っています、A=left[egin{array}{ccc}4 & 3 & 86 & 2 & 51 & 5 & 9end{array} ight]

各要素の余因子を計算し、余因子行列の転置を取得することにより、行列 A の随伴を見つけます。

形容詞 A =left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight]

行列の行列式の値を求めます。

|A| = 4(18–25) – 3(54–5) + 8(30–2)

⇒ |A| = 49

したがって、行列の逆行列は次のようになります。

あ^-1=frac{1}{49}left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight]

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⇒ あ^-1=left[egin{array}{ccc}- frac{1}{7} & frac{13}{49} & – frac{1}{49}-1 & frac{4}{7} & frac{4}{7}\frac{4}{7} & – frac{17}{49} & – frac{10}{49}end{array} ight]

逆行列法

逆行列を見つけるには 2 つの逆行列方法があります。

1. 決定法
2. 基本的な変換方法

方法 1: 行列式方法

逆行列を求める最も重要な方法は、行列式を使用することです。

逆行列は、次の方程式を使用して求めることもできます。

あ ^-1 = adj(A) / det(A)

どこ、

• 形容詞(A) は行列 A の随伴であり、そして
• それは） 行列 A の行列式です。

行列 A の随伴を求めるには、A の余因子行列が必要です。次に、adjoint (A) は A の補因子行列の転置です。つまり、

adj (A) = [C _ij 】 ^T

• 行列の余因子、つまり C の場合_ij、次の式を使用できます。

C _ij = (-1) ^i+j それ(M _ij )

どこ M _ij を参照 (i、j) ^番目 マイナー行列の場合 私 ^番目 列と j ^番目 列が削除されます。

方法 2: 基本的な変換方法

基本変換法により逆行列を求めるには、以下の手順に従います。

ステップ1 ： 指定された行列を A = IA と書きます。ここで、I は A と同じ次数の単位行列です。

ステップ2 ： 単位行列が LHS で達成されるまで、行演算または列演算のシーケンスを使用します。また、I = BA が得られるように、RHS でも同様の基本演算を使用します。したがって、RHS 上の行列 B は行列 A の逆行列になります。

ステップ 3 : 基本的な操作を実行するときは、必ず行操作または列操作を使用してください。

初等演算を使用すると、2 × 2 行列の逆行列を簡単に見つけることができます。例を使ってこれを理解しましょう。

例： 2 × 2 の逆数、A = を求めます。egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}初歩的な操作を使って。

解決：

与えられる:

A = IA

egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}

さて、R₁⇢R₁/2

egin{bmatrix}1 & 1/2 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~A

R₂⇢R₂–R₁

egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 3/2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 -1/2 & 1end{bmatrix}~×~A

R₂⇢R₂23

egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0-1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A

R₁⇢R₁–R₂/2

egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A

したがって、行列の逆行列 A = egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix} は

あ^-1=egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}

2×2 行列の逆行列の例

2×2行列の逆行列は、上記で説明した方法とは別に、ショートカット法を使用して計算することもできます。 2 × 2 行列の逆行列を計算するショートカット方法を理解するために例を考えてみましょう。

与えられた行列 A =egin{bmatrix}a & b c & dend{bmatrix}

|A| わかっています。 = (ad – bc)

そして、adj A =egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix}

次に逆数の公式を使用します

あ^-1= (1 / |A|) × 調整 A

⇒ あ^-1=[1 / (ad – bc)] × egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix}

したがって、2 × 2 行列の逆行列が計算されます。

3X3 行列の逆行列の例

任意の 3×3 行列 A = を考えてみましょう。egin{bmatrix}a & b & c l & m & n p & q & rend{bmatrix}

3×3 行列の逆行列は、次の式を使用して計算されます。 逆行列の公式 、

あ ^-1 = (1 / |A|) × 調整 A

逆行列の行列式

逆行列の行列式は、元の行列の行列式の逆数です。つまり、

それは ^-1 ) = 1 / それ(A)

上記のステートメントの証明については、以下で説明します。

det(A × B) = det (A) × det(B) (すでにわかっています)

⇒ あ×あ^-1= I (逆行列プロパティによる)

⇒ それ(A×A^-1) = それ(私)

⇒ it(A) × it(A^-1) = det(I) [ただし、det(I) = 1]

⇒ it(A) × it(A^-1) = 1

⇒ それ(A^-1) = 1 / それ(A)

したがって、証明されました。

逆行列の性質

逆行列には次の特性があります。

• 任意の非特異行列 A について、 (A ^-1 ) ^-1 =A
• 任意の 2 つの非特異行列 A および B について、 (AB) ^-1 =B ^-1 あ ^-1
• 非特異行列の逆行列は存在しますが、特異行列の場合、逆行列は存在しません。
• 非特異値 A については、 (A ^T ) ^-1 = (A ^-1 ) ^T

関連している：

• 可逆行列
• 行列: プロパティと式
• 行列の数学的演算
• 行列の行列式
• 行列の行列式を見つけるにはどうすればよいですか?

逆行列の解決例

逆行列に関するいくつかの例題を解いてみましょう。

例 1: 逆行列を求めますold{A=left[egin{array}{ccc}2 & 3 & 11 & 1 & 22 & 3 & 4end{array} ight]}公式を使って。

解決：

我々は持っています、

A=left[egin{array}{ccc}2 & 3 & 11 & 1 & 22 & 3 & 4end{array} ight]

各要素の余因子を計算し、余因子行列の転置を取得することにより、行列 A の随伴を見つけます。

形容詞 A =left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight]

行列の行列式の値を求めます。

|A| = 2(4–6) – 3(4–4) + 1(3–2)

= –3

したがって、行列の逆行列は次のようになります。

あ^-1=frac{1}{-3}left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}frac{2}{3} & 3 & – frac{5}{3} & -2 & 1- frac{1}{3} & 0 & frac{1}{3}end{array} ight]

例 2: 式を使用して、行列 A=old{ の逆行列を求めます。}left[egin{array}{ccc}6 & 2 & 3 & 0 & 42 & 0 & 0end{array} ight]

解決：

我々は持っています、

A=left[egin{array}{ccc}6 & 2 & 3 & 0 & 42 & 0 & 0end{array} ight]

各要素の余因子を計算し、余因子行列の転置を取得することにより、行列 A の随伴を見つけます。

形容詞 A =left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight]

行列の行列式の値を求めます。

|A| = 6(0–4) – 2(0–8) + 3(0–0)

= 16

したがって、行列の逆行列は次のようになります。

あ^-1=frac{1}{16}left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}0 & 0 & frac{1}{2}\frac{1}{2} & – frac{3}{8} & – frac{3}{2} & frac{1}{4} & 0end{array} ight]

例 3: 逆行列 A= を求めます。old{left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 4 & 0 & 1end{array} ight] } 公式を使って。

解決：

我々は持っています、

A=left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 4 & 0 & 1end{array} ight]

各要素の余因子を計算し、余因子行列の転置を取得することにより、行列 A の随伴を見つけます。

形容詞 A =left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]

行列の行列式の値を求めます。

|A| = 1(1–0) – 2(0–0) + 3(0–0)

= 1

したがって、行列の逆行列は次のようになります。

あ^-1=frac{1}{1}left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]

例 4: 逆行列 A= を求めます。old{left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 32 & 1 & 43 & 4 & 1end{array} ight] } 公式を使って。

解決：

我々は持っています、

A=left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 32 & 1 & 43 & 4 & 1end{array} ight]

各要素の余因子を計算し、余因子行列の転置を取得することにより、行列 A の随伴を見つけます。

形容詞 A =left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight]

行列の行列式の値を求めます。

|A| = 1(1–16) – 2(2–12) + 3(8–3)

= 20

したがって、行列の逆行列は次のようになります。

あ^-1=frac{1}{20}left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}- frac{3}{4} & frac{1}{2} & frac{1}{4}\frac{1}{2} & – frac{2}{5} & frac{1}{10}\frac{1}{4} & frac{1}{10} & – frac{3}{20}end{array} ight]

逆行列に関するよくある質問

逆行列とは何ですか?

行列の逆数を逆行列といいます。非ゼロの行列式を持つ正方行列のみが可逆です。逆行列 B を持つ任意の正方行列 A について、その積は常に同じ次数の単位行列 (I) であると仮定します。

[A]×[B] = [I]

マトリックスとは何ですか?

行列は、定義された数の行と列に分割された数値の長方形の配列です。行列の行と列の数は、その次元または順序と呼ばれます。

2×2行列の逆行列とは何ですか?

任意の行列 A または次数 3×3 について、その逆行列は次の公式を使用して求められます。

あ ^-1 = (1 / |A|) × 調整 A

3×3行列の逆行列とは何ですか?

任意の正方 3×3 行列 (たとえば A) の逆行列は、A で示される同じ次数の行列です。^-1その積は次数 3×3 の恒等行列になります。

[A] _3×3 ×[A ^-1 】 _3×3 = [私] _3×3

行列の随伴と逆行列は同じですか?

いいえ、行列の随伴行列と行列の逆行列は同じではありません。

逆行列を使用するにはどうすればよいですか?

行列の逆行列は、行列形式の代数式を解くために使用されます。たとえば、AX = B を解く場合、A は係数行列、X は変数行列、B は定数行列です。ここで、変数行列は次のような逆演算を使用して求められます。

X = A ^-1 B

可逆行列とは何ですか?

逆行列が存在する行列は可逆行列と呼ばれます。可逆行列は、ゼロ以外の行列式を持つ行列です。

2 × 3 行列の逆行列が存在しないのはなぜですか?

正方行列の逆行列のみが存在します。 2 × 3 行列は正方行列ではなく長方形行列であるため、その逆行列は存在しません。

同様に、2 × 1 行列も正方行列ではなく長方形行列であるため、その逆行列は存在しません。

恒等行列の逆行列とは何ですか?

単位行列の逆行列は単位行列そのものです。これは、単位行列が次のように表されるためです。 私 （または 私 _n のために n × n 行列) は、主対角に沿ったすべての要素が 1 で、他のすべての要素が 0 である唯一の行列です。単位行列をそれ自体 (またはその逆行列) で乗算すると、単位行列が再び得られます。