極大値と極小値 関数の最高範囲と最低範囲を定義する関数のポイントを指します。関数の導関数を使用して、極大値と極小値を計算できます。極大値と極小値は、一次導関数テストと二次導関数テストの両方を使用して見つけることができます。

この記事では、極大値と極小値の概要、定義、重要な用語とその意味について説明します。また、数学および極小値を計算するさまざまな方法についても理解します。 微積分 。また、この記事の概念をより深く理解するために、さまざまな例題を解き、練習問題も提供します。

目次

• 極大値と極小値とは何ですか?
• 極大値と極小値の定義
• 極大値と極小値に関する用語
• 極大値と極小値を見つけるにはどうすればよいですか?
• 極大値と極小値の例

極大値と極小値とは何ですか?

極大値と極小値は、特定の間隔における最大値と最小値を指します。極大値は、 関数 特定の点の近くの値は、同じ点での関数の値よりも常に低くなります。極小値の場合、特定の点の近くの関数の値は、同じ点の関数の値よりも常に大きくなります。

簡単に言うと、関数が特定の間隔で最高値に達したときの点は極大値と呼ばれ、関数が特定の間隔で最低値に達したときの点は極小値と呼ばれます。

たとえば、丘陵地帯に行って丘の頂上に立った場合、その点は周囲の中で最も高い点にあるため、その点は局所マキシマ点と呼ばれます。同様に、川や海の最も低い点に立っている場合、その点は周囲の中で最も低い点にあるため、極小点と呼ばれます。

極大値と極小値の定義

極大値と極小値は、出力の最高値と最低値などの境界を把握するための関数の初期値です。極小値と極大値は極値とも呼ばれます。

ローカルマキシマ

極大点は、関数が特定の間隔内で最大値に達する関数上の点です。 f(a) の値が f(x) のすべての値以上である場合、関数 f (a) の点 (x = a) は極大値と呼ばれます。

バケットソート

数学的には、f (a) ≥ f (a -h) および f (a) ≥ f (a + h) (h> 0) の場合、a は極大点と呼ばれます。

極小値

極小点は、関数が特定の間隔内で最小値に達する関数上の点です。関数 f (a) の点 (x = a) は、f(a) の値が f(x) のすべての値以下である場合、極小値と呼ばれます。

数学的には、f (a) ≤ f (a -h) および f (a) ≤ f (a + h) (h> 0) の場合、a は極小点と呼ばれます。

極大値と極小値に関する用語

極大値と極小値に関連する重要な用語については、以下で説明します。

最大値

関数が x の入力値に対して最大出力値を与える場合。この x の値を最大値と呼びます。特定の範囲内で定義されている場合。そして、その点は呼び出されます ローカルマキシマ 。

絶対最大値

いずれかの関数が、関数の範囲全体に沿って x の入力値に対して最大出力値を与える場合。この x の値は絶対最大値と呼ばれます。

最小値

関数が x の入力値に対する最小出力値を与える場合。この x の値を最小値と呼びます。特定の範囲内で定義されている場合。次に、その点は呼び出されます 極小値 。

絶対最小値

いずれかの関数が、関数の範囲全体に沿って x の入力値に対する最小出力値を与える場合。 x の値は絶対最小値と呼ばれます。

反転点

指定された関数の範囲内の x の値が最高および最低の出力を示さない場合、それを反転点と呼びます。

もっと詳しく知る、 絶対最大値と最小値

極大値と極小値を見つけるには?

極大値と極小値は特定の範囲に対してのみ決定され、関数全体の最大値と最小値ではなく、関数の範囲全体には適用されません。

極大値と極小値を計算するには次の方法があります。これらは：

• 最初のステップでは、関数の導関数を取得します。

• 2 番目のステップでは、導関数をゼロに設定し、c の臨界点を計算します。

• 3番目のステップでは、 一次導関数 そして 二次導関数検定 極大値と極小値を決定します。

一次導関数テストとは何ですか?

まず、関数の傾きを与える関数の一次導関数を取得します。最大点に近づくにつれて関数の傾きは増加し、最大点でゼロになり、その後最大点から遠ざかるにつれて減少します。

極小点においても同様に、極小点に近づくにつれて曲線の傾きは減少し、極小点でゼロとなり、その後はそこから遠ざかるにつれて傾きが増加します。

開区間 I の臨界点 c で連続である関数 f(x) を考えます。f'(c) = 0 は臨界点 c = 0 での傾きを意味します。

臨界点 c 付近の f'(x) の性質を確認するには、一次導関数テストから極大値と極小値を決定する次の条件があります。これらの条件は次のとおりです。

• x が c を介して増加するにつれて f '(x) の符号が正から負に変化すると、f(c) は指定された範囲内のその関数の最大値を示します。したがって、点 c は、c の左側に十分近い任意の点で一次導関数 f '(x)> 0 であり、c の右側に十分近い任意の点で f '(x) <0 である場合、極大点です。

• x が c を介して増加するにつれて f '(x) の符号が負から正に変化すると、f(c) は指定された範囲内のその関数の最小値を示します。したがって、点 c は、c の右側に十分近い任意の点の一次導関数 f '(x) 0 であれば、極小点です。

• c を介して x が増加しても f'(x) の符号が大きく変化しない場合、点 c は関数の最高値 (極大値) と最低値 (極小値) を示しません。そのような場合、点 c は次のようになります。変曲点と呼ばれます。

について詳しく読む 最初の微分テスト 。

二次微分テストとは何ですか?

二次導関数テストは、特定の間隔内の関数の絶対最大値と絶対最小値を見つけるために使用されます。開区間 I の臨界点 c で連続である関数 f(x) を考えます。f'(c) = 0 は臨界点 c = 0 での傾きを意味します。ここで 2 次導関数 f をとります。関数の傾きを与える関数 f(x) の (x)。

f'(x) の性質を確認するには、二次導関数テストから極大値と極小値の値を決定する次の条件があります。これらの条件は次のとおりです。

• 一次導関数 f'(c) = 0、二次導関数 f(c) < 0 の場合、点 c は極大点です。 x= c の点が極大値となり、f(c) が f(x) の極大値になります。

• 一次導関数が f'(c) = 0、二次導関数が f(c)> 0 の場合、点 c は極小点です。x= c の点が極小点となり、f(c) が極小点になります。 f(x) の極小値。

• 一次導関数 f'(c) = 0、二次導関数 f(c) = 0 の場合、テストは失敗します。点 c は関数の最高値 (極大値) と最低値 (極小値) を示しません。 , このような場合、点 c は変曲点と呼ばれ、点 x = c は変曲点と呼ばれます。 変曲点。

また、チェックしてください

• デリバティブの適用
• 相対的な最大値と最小値
• 微分と積分の公式

極大値と極小値の例

例 1: 関数 f(x) = 2x の極大値と極小値を分析する ³ – 3倍 ² – 一次導関数テストを使用した 12x + 5。

解決：

与えられた関数は f(x) = 2x です³– 3倍²– 12x + 5

関数の一次導関数は f'(x) = 6x です²– 6x – 12、重要なポイントを見つけるために使用されます。

臨界点を見つけるには、f'(x) = 0;

6倍²– 6x – 12 = 0

6(x²– x – 2) = 0

6(x + 1)(x – 2) = 0

したがって、臨界点は x = -1 および x = 2 になります。

臨界点 x = -1 までの一次導関数の即点を解析します。ポイントは {-2, 0} です。

f'(-2) = 6(4 + 2 – 2) = 6(4) = +24 および f'(0) = 6(0 + 0 – 2) = 6(-2) = -12

導関数の符号は、x = -1 の左側に向かうほど正になり、右側に向かうほど負になります。したがって、x = -1 が極大値であることを示します。

ここで、臨界点 x = 2 までの一次導関数の即点を分析してみましょう。点は {1,3} です。

f'(1) = 6(1 -1 -2) = 6(-2) = -12 および f'(3) = 6(9 + -3 – 2) = 6(4) = +24

セレンを学ぶ

導関数の符号は、x = 2 の左に向かうほど負になり、右に向かうほど正になります。したがって、x = 2 が極小値であることを示します。

したがって、極大値は -1、極小値は 2 になります。

例 2: 関数 f(x) = -x の極大値と極小値を分析する ³ +6倍 ² 二次導関数テストを使用すると、-12x +10。

解決：

与えられた関数は f(x) = -x です³+6倍²-12x +10

関数の 1 次導関数は f'(x) = -x です。³+6倍²-12x +10、急所を見つけるために使用します。

臨界点を見つけるには、f'(x) = 0;

f'(x) = -3x²+ 12x -12 = 0

3(-x²+ 4x – 3) = 0

バツ²– 4x + 3 = 0

(x – 1)(x – 3) = 0

したがって、臨界点は x = 1 と x = 3 です。

セグメンテーションフォールトコアダンプ

ここで関数の 2 次導関数を取ります。

f(x) = 6x – 12

臨界点 x=1 で f(x) を評価します

f(1) = 6(1) – 12 = 6 – 12 = -6

f(1) <0 であるため、x = 1 は極大値に対応します。

臨界点 x = 3 で f(x) を評価します

f(3) = 6(3) – 12 = 18 – 12 = 6

f(3)> 0、したがって x = 3 は極小値に対応します。

ここで、重要なポイントで関数値を計算します。

f(1) = -(1)³+6(1)²-12(1) +10 = 3、したがって、極大値は (1, 3) になります。

f(3) = -(3)³+6(3)²-12(3) +10 = 1、したがって、極大値は (3, 1) になります。

極小値と極大値に関する練習問題

Q1. 関数 f(x) = 2×3 – 3x の極大値と極小値を求める²二次導関数テストを使用すると、-12x +5。

Q2. 関数 f(x) = – x の極大値と極小値を見つけて分析します。²二次導関数テストを使用して +4x -5。

Q3. 関数 f(x) = x の極大値と極小値を求める²一次導関数テストを使用すると、-4x +5。

Q4. 関数 f(x) = 3x の極大値と極小値を見つけて分析します。²一次導関数テストを使用すると、-12x +5。

Q5. 関数 f(x) = x の極大値と極小値を見つけて分析します。³– 6倍²一次導関数テストを使用すると、+9x + 15。

Q6. 関数 f(x) = 2x の極大値と極小値を見つけて分析します。³-9x²二次導関数テストを使用すると +12x +5。

極大値と極小値 – FAQ

ローカルマキシマとは何ですか?

関数が特定の間隔で最高値に達したとき、その点は局所最大値と呼ばれます。

極大値はどうやって見つけることができますか?

関数を微分し、傾きがゼロになる臨界値を見つけることで、極大値を見つけることができます。

ローカルミニマとは何ですか?

関数が特定の間隔で最低値に達したとき、その点は極小値と呼ばれます。

極大値と極小値を計算するにはどのような方法を使用できますか?

一次導関数テストと二次導関数テスト。

一次導関数テストと二次導関数テストの違いは何ですか?

一次導関数テストは lLcal 最大値と極小値の値を計算する近似法であり、二次導関数テストは極大値と極小値の値を計算する系統的で正確な方法です。

反転点の意味は何ですか?

指定された関数の範囲内の点の値が最大出力と最小出力を示さない場合、その点は反転点と呼ばれます。

極大値と極小値の使用法は何ですか?

特定の範囲内の関数の極値を見つけること。