1対1の機能 または One-One Function は次のいずれかです 関数の種類 ドメインとコドメインにわたって定義され、ドメインとコドメインの間の特定の種類の関係を記述します。 1 対 1 関数は、単射関数とも呼ばれます。 1 対 1 関数は、次のような数学関数です。 それぞれの要素 ドメイン内で コドメイン内の固有の要素にマップします 。

この記事では、1 対 1 関数または 1 対 1 関数の概念を、その定義と概念を簡単に理解するのに役立つ例を含めて詳しく説明します。また、いくつかのサンプル問題について説明し、解くための練習問題もいくつか提供します。それでは、1 対 1 関数として知られる数学におけるこの重要な概念について学びましょう。

目次

• One to One関数とは何ですか?
• 1対1関数の例
• 1 対 1 関数のプロパティ
• One to One関数とOn関数
• 1 対 1 関数の解決例

One to One関数とは何ですか?

単射関数とも呼ばれる 1 対 1 関数は、A の異なる要素が B に関連する異なる要素を持つか、A の異なる要素が B に異なるイメージを持つ関数です。

関数に異なる画像がある場合、プリ画像が異なる場合にのみ 1 対 1 が可能であることを意味します。 B セットに異なる要素がある場合、つまり A セットにこれらが異なる要素がある場合にのみ可能であることを意味します。プレ画像。

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1対1の関数定義

セット「A」からセット「B」への関数「f」は、「A」の 2 つの要素が「B」の同じ要素にマップされていない場合、1 対 1 になります。

これら 2 つの図を考えてみましょう。図 A では、10 が 1 にマッピングされ、20 が 2 にマッピングされ、30 が 3 にマッピングされることがわかります。

ただし、図 B では、10 と 30 が 3 にマッピングされ、次に 20 が 1 にマッピングされることは明らかです。

図 A の各ドメインの個別の値に対応する要素がドメイン内にあるため、関数は 1 対 1 になります。 Bは1対1ではありません。

これは数学的に次のように表現できます。

f(a) = f(b) ⇒ a = b

1対1関数の例

• 恒等関数: 恒等関数は、1 対 1 関数の簡単な例です。入力を受け取り、出力と同じ値を返します。任意の実数 x について、恒等関数は次のように定義されます。

f(x) = x

すべての個別の入力 x は個別の出力 f(x) に対応し、1 対 1 の関数になります。

• 線形関数: 線形関数とは、変数の最高べき乗が 1 である関数です。次に例を示します。

f(x) = 2x + 3

x のどの値を選択しても、f(x) には一意の値が得られるため、これは 1 対 1 の関数です。

• 絶対値関数: 絶対値関数 f(x)=∣x∣ も 1 対 1 関数です。任意の実数 x に対して、絶対値関数は負ではない値を返し、x の値が異なると絶対値も異なります。

1 対 1 関数のそのような例の 1 つを証明してみましょう。

例: 関数 f(x) = 1/(x+2), x≠2 が 1 対 1 であることを証明します。

解決：

1 対 1 関数によれば、次のことがわかります。

f(a) = f(b)

a を x に、x を b に置き換えます

f(a) = 1/(a+2) 、 f(b) = 1/(b+2)

⇒ 1/(a+2) = 1/(b+2)

上式を交差乗算します

1(b+2)=1(a+2)

b+2=a+2

⇒ b=a+2-2

∴a=b

さて、a = b なので、この関数は 1 対 1 関数と言われます。

プロパティ 1 対 1 関数

f と g が 2 つの 1 対 1 関数であると考えてみましょう。プロパティは次のとおりです。

• f と g が両方とも 1 対 1 の場合、f ∘ g は単射性に従います。
• g ∘ f が 1 対 1 の場合、関数 f は 1 対 1 ですが、関数 g は 1 対 1 ではない可能性があります。
• f: X → Y は、関数 g, h : P → X が与えられたとき、f ∘ g = f ∘ h である場合に限り、1 対 1 であり、その場合、g = h になります。言い換えれば、one-one 関数はまさに集合の範疇集合における単型性です。
• f: X → Y が 1-1 で、P が X の部分集合である場合、f^-1(f(A)) = P。したがって、P はその画像 f(P) から取得できます。
• f: X → Y が 1-1 で、P と Q が両方とも X の部分集合である場合、f(P ∩ Q) = f(P) ∩ f(Q) となります。
• X と Y の両方が同じ要素数で制限されている場合、f が全射または関数上の場合に限り、f: X → Y は 1 対 1 になります。

1対1関数のグラフ

1 対 1 関数のグラフ表現の 1 つを見てみましょう

上の関数 f(x)= √x のグラフは、1 対 1 関数のグラフ表現を示しています。

水平線テスト

各水平線が複数の点でグラフと交差しない場合、関数は 1 対 1 です。

例として一次関数を使用してみましょう。これを f(x) と呼びます。つまり、 f(x) には逆関数があります。 f(x) に逆関数があるかどうかを判断するには、それが 1 対 1 関数であることを示す必要があり、それが水平線テストに合格することを示す必要があります。したがって、水平線を引いて f(x) が水平線に複数回接触する場合、それは f(x) が 1 対 1 関数ではなく、逆関数がないことを意味します。

上の例では、水平線と 1 点でのみ交差します。したがって、f(x) は 1 対 1 の関数であり、逆関数があることを意味します。

1 対 1 関数の逆関数

f をドメイン A と範囲 B を持つ 1 対 1 関数とします。その場合、f の逆関数は、f によって定義されるドメイン B と範囲 A を持つ関数になります。^-1B の任意の y に対して f(x)=y の場合に限り、(y) =x となります。関数は 1 対 1 の場合にのみ逆関数を持つことを常に覚えておいてください。最大の指数が奇数の場合、関数は 1 対 1 になります。ただし、最大の数値が偶数または絶対値の場合、これは 1 対 1 関数ではありません。

例: f(x)=3x+2 逆関数を求めます。

解決：

関数を y=f(x) の形式で書きます

⇒ y=3x+2

y 変数と x 変数を交換してみましょう

⇒ x=3y+2

y を x に関して解く

⇒ x-2=3y

方程式を 3 で割ります

⇒ (x-2)/3=3y/3

⇒ y=(x-2)/3

∴ f-1(x)=(x-2)/3

One to One関数とOn関数

One to One 関数と Onto 関数の主な違いを次の表に示します。

次の図は、one one と until function の明確な違いを示しています。

続きを読む、

• 機能
• 関数の種類
• 関係と機能

One to One 関数の問題を解決しました

1 対 1 関数を説明するために、いくつかの問題を解いてみましょう。

問題 1: 次の関数が 1 対 1 であるかどうかを判断してください: f(x) = 3x – 1

解決：

解決策 1: 1 対 1 かどうかを確認するには、2 つの異なる x 値が同じ y 値にマッピングされていないことを示す必要があります。

f(a) = f(b) (a ≠ b) と仮定します。

3a – 1 = 3b – 1

3a = 3b

a = b

f(a) = f(b) となる唯一の方法は a = b の場合であるため、この関数は実際には 1 対 1 です。

問題 2: 次の関数が 1 対 1 であるかどうかを判断してください: g(x) = x ²

解決：

解決策 2: 関数をグラフ化して水平線テストを使用します。水平線がグラフと複数回交差する場合、それは 1 対 1 ではありません。

g(x) = x^2 のグラフは上に開いた放物線です。どの水平線もグラフと 1 回しか交差しないため、この関数は 1 対 1 ではありません。

1対1関数に関する練習問題

問題 1: 次の関数が 1 対 1 であるかどうかを判断します。

• f(x) = 2x + 3
• g(x) = 3x²- 1
• h(x) =³√x

問題 2: 実数の集合から実数の集合に 1 対 1 になる関数を見つけます。

問題 3: 関数 g(x) = x が与えられると、²+ 1、ドメイン全体で 1 対 1 であるかどうかを判断します。

問題 4: 関数 h(x) = e を考えてみましょう。^バツ。 1対1の関数ですか？

問題 5: f(x) = 4x – 7 の逆関数を求め、その定義域を決定します。

問題 6: 関数 p(x) = √x が 1 対 1 であるかどうかを判断します。

問題 7: q(x) = x/2 の場合、関数の定義域と範囲を求めます。

問題 8: 関数 r(x) = sin (x) が区間 [0, π] にわたって 1 対 1 であるかどうかを確認します。

問題 9: 関数 s(x) = |x| を考えてみましょう。 1対1の関数ですか？

問題 10: 関数 t(x) = 1/x が 1 対 1 であるかどうかを判断し、その定義域を見つけます。

One to One 関数 – よくある質問

1. 1 対 1 関数とは何ですか?

1 対 1 関数は、そのドメイン内の各要素をそのコドメイン内の固有の要素にマップする数学関数です。つまり、ドメイン内の 2 つの異なる要素をコドメイン内の同じ要素にマップしません。

2. 関数が 1 対 1 であるかどうかを確認するにはどうすればよいですか?

水平線テストを使用できます。関数のグラフと複数回交差する水平線がない場合、それは 1 対 1 関数です。

3. 1 対 1 関数と on 関数の違いは何ですか?

1 対 1 関数は、ドメイン内の 2 つの異なる要素がコドメイン内の同じ要素にマッピングされないことを保証します。一方、全射関数としても知られる on 関数は、コドメイン内のすべての要素が少なくとも 1 つの要素にマッピングされることを保証します。ドメイン内の 1 つの要素。

4. すべての一次関数は 1 対 1 ですか?

いいえ、すべての線形関数が 1 対 1 であるわけではありません。たとえば、f(x) = 2x は 1 対 1 ですが、g(x) = 2x + 1 は 2 つの異なる x 値を同じ y 値にマッピングするため、1 対 1 ではありません (例: g(1) = 3)。そして g(2) = 5)。