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標準偏差 – 式、例、計算方法

標準偏差 統計の分散の尺度です。標準偏差の式は、平均値からのデータ値の偏差を見つけるために使用されます。つまり、平均値に対するデータセット内のすべての値の分散を見つけるために使用されます。確率変数の標準偏差を計算するには、さまざまな標準偏差の式があります。

この記事では、について学びます 標準偏差とは何か、標準偏差の公式、標準偏差の計算方法、標準偏差の例について詳しく説明します。



目次

標準偏差とは何ですか?

標準偏差は、データ ポイントの平均値に対するデータ ポイントの分散度として定義されます。これは、データ ポイントの値がデータ ポイントの平均値に対してどのように変化するかを示し、データ サンプル内のデータ ポイントの変化についても示します。

データセットの特定のサンプルの標準偏差は、次の平方根としても定義されます。 分散 データセットの。 平均偏差 n 個の値のうちの (x とします)1、 バツ2、 バツ3、 …、 バツn) は、平均からの各値の差の二乗和を取ることによって計算されます。



平均偏差 = 1/n∑ 私 n （バツ 私 - バツ） 2

標準偏差

平均偏差は、データのばらつきを知るために使用されます。偏差の程度が低いほど、観測値 xi が平均値に近く、落ち込みが小さいことがわかります。一方、偏差の程度が高いほど、観測値 xi が平均値から遠く、分散が高いことがわかります。



同等のJava

標準偏差の定義

標準偏差は、セット内のデータ ポイントがどのように分散しているかを理解するために統計で使用される尺度です。 平均 価値。これはデータの変動の範囲を示し、個々のデータ ポイントが平均からどれだけ離れているかを示します。

チェック： 統計で標準偏差を見つけるにはどうすればよいですか?

標準偏差の計算式

標準偏差は、統計データの広がりを測定するために使用されます。統計データがどのように分散されているかがわかります。 標準偏差を計算する式 すべてのデータセットの平均位置からの偏差を見つけるために使用されます。標準偏差の計算方法や、 標準偏差の計算方法 。特定のデータセットの標準偏差を求めるために使用される標準偏差の式が 2 つあります。彼らです、

  • 母集団標準偏差の計算式
  • 標準偏差の計算式サンプル

どこ、

  • s は母集団標準偏差です
  • バツ 私 私はですか 番目 観察
  • x̄ はサンプル平均値です
  • N は観測値の数です

どこ、

  • σ は母集団標準偏差です
  • バツ私私はですか番目観察
  • μ は母集団の平均です
  • N は観測値の数です

両方の式が同じに見え、分母のスライドのみが変化していることに注意することは明らかです。 サンプルの場合の分母は n-1 しかし、の場合には 人口はNです。 最初は分母 サンプル標準偏差 式には n しかし、この式の結果は適切ではありませんでした。そこで修正が加えられ、 n は n-1 に置き換えられます。この補正はベッセル補正と呼ばれます その結果、最も適切な結果が得られました。

続きを読む： 分散と標準偏差の違い

標準偏差の計算式

標準偏差の計算に使用される式については、以下の図で説明します。

標準偏差の計算式

標準偏差を計算するにはどうすればよいですか?

一般に、標準偏差について話すとき、 母集団標準偏差 。特定の値のセットの標準偏差を計算する手順は次のとおりです。

ステップ1： 次の式を使用して観測値の平均を計算します。

(平均 = 観測値の合計/観測値の数)

ステップ2： データ値の平均からの差の二乗を計算します。

(データ値 – 平均)2

ステップ 3: 二乗差の平均を計算します。

(分散 = 差の二乗和 / 観測値の数)

ステップ 4: 分散の平方根を計算します。これにより標準偏差が得られます。

(標準偏差 = √分散)

分散とは何ですか

分散は基本的に、データセットがどの程度分散しているかを示します。すべてのデータ ポイントが同じであれば、分散はゼロになります。 ゼロ以外の分散は正とみなされます 。 分散が低いということは、データ ポイントが平均 (または平均) に近く、かつ相互に近いことを意味します。 分散が大きいということは、データ ポイントが平均から、また相互から分散していることを意味します。 簡単に言うと、分散は各データ ポイントが平均からどれだけ離れているかを二乗した平均です。

分散と偏差の違い

側面分散偏差（標準偏差）
意味データセット内の広がりの尺度。平均からの平均距離の尺度。
計算平均との差の二乗の平均。分散の平方根。
シンボルσ^2 (シグマ二乗)σ（シグマ）
解釈平均からのデータポイントの平均二乗偏差を示します。平均からのデータポイントの平均距離を示します。

チェック：

分散の公式

データセットの分散を計算する式は次のとおりです。

分散 (σ^2) = Σ [(x – μ)^2] / N

どこ：

  • Σはsummation（足し算）を表します
  • x は個々のデータ ポイントを表します
  • μ (μ) はデータセットの平均 (平均) です。
  • N はデータポイントの総数です


分散を計算するにはどうすればよいですか?

データセットの分散を計算する手順は次のとおりです。

ステップ1： 平均 (平均) を計算します。

データセット内のすべての値を合計し、値の合計数で割ります。これにより平均 (μ) が得られます。

平均 (μ) = (すべての値の合計) / (値の合計数)

ステップ 2: 平均からの二乗差を求める:

データセット内の各値について、最初のステップで計算された平均をその値から引き、結果を 2 乗します。これにより、各値の二乗差が得られます。

各値の二乗差 = (値 – 平均)^2

ステップ 3: 二乗差の平均を計算します。

前の手順で計算された差の二乗をすべて合計し、データセット内の値の合計数で割ります。これにより分散 (σ^2) が得られます。

分散 (σ^2) = (すべての差の二乗和) / (値の総数)

チェック： 分散と標準偏差

グループ化されていないデータの標準偏差

仮定平均法
  • ステップ偏差の方法

    • 実平均法による標準偏差

    実際の平均による標準偏差法では、基本的な平均公式を使用して、指定されたデータの平均を計算します。 この平均値を使用して、指定されたデータ値の標準偏差を求めます。 この方法では、次の式を使用して平均を計算します。

    μ = (観測値の合計)/(観測値の数)

    そして 次に、標準偏差の式を使用して標準偏差が計算されます。

    σ = √(∑ 私 n （バツ 私 - バツ） 2 /n)

    例: データセットの標準偏差を求めます。 X = {2、3、4、5、6}

    解決：

    考えると、

    • n = 5
    • バツ私= {2、3、4、5、6}

    私たちは知っています、

    平均(μ) = (観測値の合計)/(観測値の数)

    ⇒ μ = (2 + 3 + 4 + 5 + 6)/5

    ⇒ μ = 4

    p2= ∑私n（バツ私- バツ）2/n

    ⇒ p2= 1/n[(2 – 4)2+ (3 – 4)2+ (4 – 4)2+ (5 – 4)2+ (6 – 4)2]

    ⇒ p2= 10/5 = 2

    したがって、σ = √(2) = 1.414

    仮定平均法による標準偏差

    x の値が非常に大きい場合、グループ化されたデータの平均を見つけるのは面倒な作業であるため、任意の値 (A) を平均値として仮定し、通常の方法を使用して標準偏差を計算しました。 n 個のデータ値のグループ ( x1、 バツ2、 バツ3、 …、 バツn)、仮定された平均は A で、偏差は次のようになります。

    d 私 = x 私 –A

    今、 仮定される平均の式は、

    σ = √(∑ 私 n (d 私 ) 2 /n)

    ステップ偏差法による標準偏差

    ステップ偏差法を使用して、グループ化されたデータの標準偏差を計算することもできます。上記の方法と同様に、この方法でも、仮定された平均 (たとえば A) として任意のデータ値を選択します。 次に、すべてのデータ値の偏差を計算します (x 1 、 バツ 2 、 バツ 3 、 …、 バツ n )、d 私 = x 私 –A

    次のステップでは、 次を使用してステップ偏差 (d’) を計算します。

    d’ = d/i

    どこ ' 私 「」はすべての「d」値の共通因子です

    それから、 標準偏差の式は、

    σ = √[(∑(d’) 2 /n) – (∑d’n) 2 ]×私

    どこ ' n ‘ はデータ値の合計数です

    離散グループ化データの標準偏差

    まずグループ化されたデータで度数表を作成し、その後、さらなる計算を行いました。離散的にグループ化されたデータの場合、標準偏差は次の 3 つの方法を使用して計算することもできます。

    • 実平均法
    • 仮定平均法
    • ステップ偏差法

    離散周波数分布に基づく標準偏差の式

    特定のデータセットについて、n 個の値 (x1、 バツ2、 バツ3、 …、 バツn) であり、それらに対応する周波数は (f1、f2、f3、…、fn) 次に、その標準偏差が次の式を使用して計算されます。

    σ = √(∑ 私 n f 私 （バツ 私 - バツ） 2 /n)

    どこ、

    • n は合計周波数 (n = f1+ f2+ f3+…+ fn)
    • バツ はデータの平均値です

    例: 指定されたデータの標準偏差を計算します。

    バツ私

    f私

    101
    43
    65
    81

    解決：

    平均 (x̄) = ∑(f私バツ私)/∑(f私)

    ⇒ 平均値 (μ) = (10×1 + 4×3 + 6×5 + 8×1)/(1+3+5+1)

    ⇒ 平均値 (μ) = 60/10 = 6

    n = ∑(f私) = 1+3+5+1 = 10

    バツ私f私f私バツ私（バツ私- バツ）（バツ私- バツ）2f私（バツ私- バツ）2
    1011041616
    4312-2412
    6530000
    818248

    今、

    σ = √(∑ 私 n f 私 （バツ 私 - バツ） 2 /n)

    ⇒ σ = √[(16 + 12 + 0 +8)/10]

    ⇒ σ = √(3.6) = 1.897

    標準微分(σ) = 1.897

    d 私 = x 私 –A

    ここで、仮定平均法による標準偏差の式は、

    σ = √[(∑(f 私 d 私 ) 2 /n) – (∑f 私 d 私 /n) 2 ]

    どこ、

    • ' f ‘ はデータ値 x の頻度です
    • ' n ‘は合計周波数です [n = ∑(f 私 )]

    次のステップでは、 次を使用してステップ偏差 (d’) を計算します。

    d’ = d/i

    どこ ' 私 「すべての共通因子です」 d 「値」

    それから、 標準偏差の式は、

    σ = √[(∑(fd’) 2 /n) – (�’/n) 2 ]×私

    どこ ' n ‘ はデータ値の合計数です

    連続グループ化データの標準偏差

    連続的なグループ化データの場合、離散データ式を使用して各クラスをその中点 (x として) に置き換えることで、標準偏差を簡単に計算できます。私) そして通常は数式を計算します。

    各クラスの中間点は次の式を使用して計算されます。

    バツ 私 (中点) = (上限 + 下限)/2

    例えば、 表に示すように連続グループ化データの標準偏差を計算します。

    クラス0-1010-2020-3030-40

    周波数(f私)

    		2422

    実平均法

    • 仮定平均法
    • ステップ偏差法

    上記のいずれかの方法を使用して標準偏差を見つけることができます。ここでは実際の平均法を使用して標準偏差を求めます。

    上記の質問に対する解決策は、

    クラス5-1515-2525-3535-45
    バツ私10二十3040

    周波数(f私)

    		2422

    平均 (x̄) = ∑(f私バツ私)/∑(f私)

    ⇒ 平均値 (μ) = (10×2 + 20×4 + 30×2 + 40×2)/(2+4+2+2)

    ⇒ 平均値 (μ) = 240/10 = 24

    n = ∑(f私) = 2+4+2+2 = 10

    バツ私f私

    f私バツ私

    （バツ私- バツ）

    （バツ私- バツ）2

    f私（バツ私- バツ）2

    102二十14196392
    二十480-41664
    3026063672
    4028016256512

    今、

    σ = √(∑ 私 n f 私 （バツ 私 - バツ） 2 /n)

    ⇒ σ = √[(392 + 64 + 72 +512)/10]

    ⇒ σ = √(104) = 10,198

    標準微分(σ) = 10,198

    同様に、他の方法を使用して、連続的にグループ化されたデータの標準偏差を見つけることもできます。

    チェック： 個々の系列の標準偏差

    確率分布の標準偏差

    考えられるすべての結果の確率は一般に等しく、与えられた実験の実験確率を見つけるために多くの試行が必要です。

    • 正規分布の場合、平均の期待値は 0 で、標準偏差は 1 です。
    • 二項分布の場合、標準偏差は次の式で求められます。

    σ = √(npq)

    どこ、

    • n は試行回数です
    • p は裁判の成功確率です
    • q は試行の失敗確率 (q = 1 – p)
    • ポアソン分布の場合、標準偏差は次の式で求められます。

    σ = √λt

    どこ、

    • 私 は平均成功数です
    • t 指定された時間間隔です

    確率変数の標準偏差

    ランダム変数 は、サンプル空間でのランダム実験の考えられる結果を示す数値です。 確率変数の標準偏差を計算すると、確率変数の確率分布と期待値との乖離の度合いがわかります。

    を使用しております 確率変数を表す関数としての X、Y、Z。 確率変数の確率は P(X) で示され、期待値はμ記号で示されます。

    次に、確率分布の標準偏差は次の式を使用して求められます。

    σ = √(∑ (x 私 –m) 2 ×P(X)/n)

    Javaで文字列をintに変換する方法

    続きを読む、

    標準偏差の計算式の例

    例 1: 次のデータの標準偏差を求めます。

    バツ私

    5

    12

    15

    f私

    2

    4

    3

    解決：

    まず、次のような表を作成して、その後の値を簡単に計算できるようにします。

    バツ私

    f私

    バツ私×f私

    バツ私-m

    (Xi-μ)2

    f×(X私-m)2

    5

    2

    10

    -6,375

    40.64

    81.28

    12

    3

    36

    0.625

    0.39

    1.17

    15

    3

    4つ。

    3,625

    13.14

    Javaメソッド

    39.42

    合計

    8

    91

    121.87

    平均 (μ) = ∑(f 私 バツ 私 )/∑(f 私 )

    ⇒ 平均値 (μ) = 91/8 = 11.375

    σ = √(∑ 私 n f 私 （バツ 私 –m) 2 /n)

    ⇒ σ = √[(121.87)/(8)]

    ⇒ σ = √(15.234)

    ⇒ σ = 3.90

    標準微分(σ) = 3.90

    解決：

    クラス

    習

    f私

    f×Xi

    Xi-μ

    (Xi – μ)2

    f×(X私–m)2

    0-10

    5

    3

    15

    -15

    225

    675

    10-20

    15

    6

    90

    -5

    25

    150

    20-30

    25

    4

    100

    5

    25

    100

    30-40

    35

    2

    70

    15

    225

    450

    40-50

    4つ。

    1

    4つ。

    25

    625

    625

    合計

    16

    320

    2000年

    平均 (μ) = ∑(fi xi)/∑(fi)

    ⇒ 平均値 (μ) = 320/16 = 20

    σ = √(∑ 私 n f 私 （バツ 私 –m) 2 /n)

    ⇒ σ = √[(2000)/(16)]

    ⇒ σ = √(125)

    ⇒ σ = 11.18

    標準微分(σ) = 11.18

    チェック： 離散系列の標準偏差の計算方法

    の包括的なコレクションについては、 数学の公式 さまざまな学年レベルやコンセプトにわたって、techcodeview.com をフォローし続けてください。

    また、以下を確認してください。

    標準偏差の計算式 Excel

    • 簡単計算：Excelの組み込み関数を使用STDEV.P>人口全体またはSTDEV.S>サンプル用です。
    • ステップバイステップ ガイド: データ セットを 1 つの列に入力し、次のように入力します。=STDEV.S(A1:A10)>(A1:A10 をデータ範囲に置き換えます) 新しいセルでサンプルの標準偏差を取得します。
    • 視覚補助: Excel のグラフ ツールを利用して、標準偏差とともにデータのばらつきを視覚的に表します。

    チェック： 度数分布系列における標準偏差の計算方法

    標準偏差の式の統計

    • 中心となる概念: 標準偏差は、一連の値の変動または分散の量を測定します。
    • 重要な洞察: 標準偏差が低い場合は、値が平均に近い傾向があることを示し、標準偏差が高い場合は、値が広い範囲に分散していることを示します。
    • 統計的有意性: 特に仮説検定や実験データ分析において、グループ間の差異が偶然によるものであるかどうかを判断するために使用されます。

    結論 – 標準偏差

    標準偏差は、データセット内の変動性または一貫性に関する貴重な情報を提供します。データの分布を理解し、存在する変動レベルに基づいて情報に基づいた意思決定を行うために、統計、金融、科学などのさまざまな分野で広く使用されています。

    標準偏差に関するよくある質問

    統計における標準偏差とは何ですか?

    標準偏差は、特定のデータセットの平均値に対するデータ値の変動性を定義します。これは、偏差の平均の二乗の平方根として定義されます。

    標準偏差を計算するにはどうすればよいですか?

    標準偏差は次の式を使用して計算されます。

    σ =なぜ標準偏差が使用されるのでしょうか?

    標準偏差はさまざまな目的で使用されますが、その重要な用途としては次のようなものがあります。

    • 平均値に対するデータ値の変動性を見つけるために使用されます。
    • データの偏差の範囲を求めるために使用されます。
    • データセットの指定された値の最大ボラティリティを予測します。

    標準偏差と分散の違いは何ですか?

    分散は平均から偏差の二乗の平均を取ることによって計算されますが、標準偏差は分散の平方根です。それらのもう 1 つの違いは、単位にあります。標準偏差は元の値と同じ単位で表され、分散は単位で表されます。2。

    実平均法
  • 仮定平均法
  • ステップ偏差法

    • 標準偏差がマイナスになることはありますか?

    いいえ、式で負になる可能性のあるすべての項が 2 乗されていることがわかるように、標準偏差が負になることはありません。

    標準偏差とは何ですか? 例を挙げて説明します。

    標準偏差は、データセットの特定の値の変動または分散の尺度です。

    例： 1、2、3、4 の平均を求めるには

    データの平均 = 13/4 = 3.25

    標準偏差 = √[(3.25-1)2 + (3-3.25)2 + (4-3.25)2 + (5-3.25)2]/4 = √2.06 = 1.43

    標準偏差の計算式とは何ですか?

    標準偏差の式は、

    フリップフロップ

    標準偏差 (σ) = √[ Σ(x – μ) 2 /N]

    標準偏差が1のとき?

    1 で平均が 0 の標準偏差は、標準正規分布と呼ばれます。

    最初の 10 個の自然数の標準偏差とは何ですか?

    最初の 10 個の自然数の標準偏差は 2.87 です

    40、42、48 の標準偏差とは何ですか?

    40、42、48 の標準偏差は 3.399 です。

    標準偏差から何がわかるでしょうか?

    標準偏差は、正規分布の広がりの尺度です。標準偏差は、データ セットの平均値を中心としたデータ セットの広がりを示します。