巡回セールスマン問題 (TSP):
一連の都市と各都市間の距離が与えられた場合、問題は、すべての都市を 1 回だけ訪れて開始点に戻る最短ルートを見つけることです。ハミルトニアンサイクルとTSPの違いに注目してください。ハミルトン サイクル問題は、すべての都市を正確に 1 回訪れるツアーが存在するかどうかを調べることです。ここで、ハミルトニアン ツアーが存在することがわかります (グラフが完成しているため)。実際、そのようなツアーは多数存在します。問題は、最小重みのハミルトニアン サイクルを見つけることです。
たとえば、右図のグラフを考えてみましょう。グラフのTSPツアーは1-2-4-3-1です。ツアーのコストは 10+25+30+15 で 80 です。問題は有名な NP 困難問題です。この問題に対する多項式時間の既知の解決策はありません。以下は、巡回セールスマン問題に対するさまざまな解決策です。
素朴な解決策:
1) 都市 1 を開始点と終了点として考えます。
2) (n-1) 個をすべて生成します。都市の順列。
3) すべての順列のコストを計算し、最小コストの順列を追跡します。
4) 最小コストの順列を返します。
時間計算量: ?(n!)
動的プログラミング:
指定された頂点のセットを {1, 2, 3, 4,....n} とします。 1 を出力の開始点と終了点として考えます。他のすべての頂点 I (1 以外) について、始点として 1、終点として I を使用し、すべての頂点が 1 回だけ出現する最小コスト パスを見つけます。このパスのコストをコスト (i) とし、対応するサイクルのコストをコスト (i) + dist(i, 1) とします。ここで、dist(i, 1) は I から 1 までの距離です。最後に、すべての [cost(i) + dist(i, 1)] 値の最小値。ここまでは簡単そうに見えます。
ここで問題は、cost(i) をどうやって取得するかということです。動的計画法を使用してコスト(i)を計算するには、部分問題に関して何らかの再帰関係が必要です。
用語を定義しましょう C(S, i) は、セット S 内の各頂点を 1 回だけ訪問し、1 から始まり i で終わる最小コスト パスのコストです。 。サイズ 2 のすべてのサブセットから始めて、S がサブセットであるすべてのサブセットの C(S, i) を計算し、次にサイズ 3 のすべてのサブセット S について C(S, i) を計算します。すべてのサブセットに 1 が存在する必要があることに注意してください。
If size of S is 2, then S must be {1, i}, C(S, i) = dist(1, i) Else if size of S is greater than 2. C(S, i) = min { C(S-{i}, j) + dis(j, i)} where j belongs to S, j != i and j != 1.> 以下は、トップダウンの再帰的 + メモ化されたアプローチを使用した、問題に対する動的プログラミングの解決策です。
子供の頃のジャスミン・デイビス
サブセットを維持するために、ビットマスクを使用してサブセット内の残りのノードを表すことができます。ビットの方が処理が速く、グラフ内のノードが少ないため、ビットマスクを使用する方が適しています。
米国の州
例えば： -
10100 は、ノード 2 とノード 4 が処理されるためにセット内に残されていることを表します。
010010 は、ノード 1 と 4 がサブセットに残っていることを表します。
注: - グラフは 1 から始まるため、0 番目のビットは無視してください。
C++
#include> using> namespace> std;> // there are four nodes in example graph (graph is 1-based)> const> int> n = 4;> // give appropriate maximum to avoid overflow> const> int> MAX = 1000000;> // dist[i][j] represents shortest distance to go from i to j> // this matrix can be calculated for any given graph using> // all-pair shortest path algorithms> int> dist[n + 1][n + 1] = {> >{ 0, 0, 0, 0, 0 }, { 0, 0, 10, 15, 20 },> >{ 0, 10, 0, 25, 25 }, { 0, 15, 25, 0, 30 },> >{ 0, 20, 25, 30, 0 },> };> // memoization for top down recursion> int> memo[n + 1][1 << (n + 1)];> int> fun(>int> i,>int> mask)> > >// base case> >// if only ith bit and 1st bit is set in our mask,> >// it implies we have visited all other nodes already> >if> (mask == ((1 << i)> // Driver program to test above logic> int> main()> {> >int> ans = MAX;> >for> (>int> i = 1; i <= n; i++)> >// try to go from node 1 visiting all nodes in> >// between to i then return from i taking the> >// shortest route to 1> >ans = std::min(ans, fun(i, (1 << (n + 1)) - 1)> >+ dist[i][1]);> >printf>(>'The cost of most efficient tour = %d'>, ans);> >return> 0;> }> // This code is contributed by Serjeel Ranjan> |
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ジャワ
データ構造を試す
import> java.io.*;> import> java.util.*;> public> class> TSE {> >// there are four nodes in example graph (graph is> >// 1-based)> >static> int> n =>4>;> >// give appropriate maximum to avoid overflow> >static> int> MAX =>1000000>;> >// dist[i][j] represents shortest distance to go from i> >// to j this matrix can be calculated for any given> >// graph using all-pair shortest path algorithms> >static> int>[][] dist = {> >{>0>,>0>,>0>,>0>,>0> }, {>0>,>0>,>10>,>15>,>20> },> >{>0>,>10>,>0>,>25>,>25> }, {>0>,>15>,>25>,>0>,>30> },> >{>0>,>20>,>25>,>30>,>0> },> >};> >// memoization for top down recursion> >static> int>[][] memo =>new> int>[n +>1>][>1> << (n +>1>)];> >static> int> fun(>int> i,>int> mask)> >> >// base case> >// if only ith bit and 1st bit is set in our mask,> >// it implies we have visited all other nodes> >// already> >if> (mask == ((>1> << i)> >// Driver program to test above logic> >public> static> void> main(String[] args)> >{> >int> ans = MAX;> >for> (>int> i =>1>; i <= n; i++)> >// try to go from node 1 visiting all nodes in> >// between to i then return from i taking the> >// shortest route to 1> >ans = Math.min(ans, fun(i, (>1> << (n +>1>)) ->1>)> >+ dist[i][>1>]);> >System.out.println(> >'The cost of most efficient tour = '> + ans);> >}> }> // This code is contributed by Serjeel Ranjan> |
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Python3
n>=> 4> # there are four nodes in example graph (graph is 1-based)> # dist[i][j] represents shortest distance to go from i to j> # this matrix can be calculated for any given graph using> # all-pair shortest path algorithms> dist>=> [[>0>,>0>,>0>,>0>,>0>], [>0>,>0>,>10>,>15>,>20>], [> >0>,>10>,>0>,>25>,>25>], [>0>,>15>,>25>,>0>,>30>], [>0>,>20>,>25>,>30>,>0>]]> # memoization for top down recursion> memo>=> [[>->1>]>*>(>1> << (n>+>1>))>for> _>in> range>(n>+>1>)]> def> fun(i, mask):> ># base case> ># if only ith bit and 1st bit is set in our mask,> ># it implies we have visited all other nodes already> >if> mask>=>=> ((>1> << i) |>3>):> >return> dist[>1>][i]> ># memoization> >if> memo[i][mask] !>=> ->1>:> >return> memo[i][mask]> >res>=> 10>*>*>9> # result of this sub-problem> ># we have to travel all nodes j in mask and end the path at ith node> ># so for every node j in mask, recursively calculate cost of> ># travelling all nodes in mask> ># except i and then travel back from node j to node i taking> ># the shortest path take the minimum of all possible j nodes> >for> j>in> range>(>1>, n>+>1>):> >if> (mask & (>1> << j)) !>=> 0> and> j !>=> i>and> j !>=> 1>:> >res>=> min>(res, fun(j, mask & (~(>1> << i)))>+> dist[j][i])> >memo[i][mask]>=> res># storing the minimum value> >return> res> # Driver program to test above logic> ans>=> 10>*>*>9> for> i>in> range>(>1>, n>+>1>):> ># try to go from node 1 visiting all nodes in between to i> ># then return from i taking the shortest route to 1> >ans>=> min>(ans, fun(i, (>1> << (n>+>1>))>->1>)>+> dist[i][>1>])> print>(>'The cost of most efficient tour = '> +> str>(ans))> # This code is contributed by Serjeel Ranjan> |
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C#
q1 q2 q3 q4
using> System;> class> TSE> {> >// there are four nodes in example graph (graph is> >// 1-based)> >static> int> n = 4;> >// give appropriate maximum to avoid overflow> >static> int> MAX = 1000000;> >// dist[i][j] represents shortest distance to go from i> >// to j this matrix can be calculated for any given> >// graph using all-pair shortest path algorithms> >static> int>[, ] dist = { { 0, 0, 0, 0, 0 },> >{ 0, 0, 10, 15, 20 },> >{ 0, 10, 0, 25, 25 },> >{ 0, 15, 25, 0, 30 },> >{ 0, 20, 25, 30, 0 } };> >// memoization for top down recursion> >static> int>[, ] memo =>new> int>[(n + 1), (1 << (n + 1))];> >static> int> fun(>int> i,>int> mask)> > 3))> >return> dist[1, i];> > >// memoization> >if> (memo[i, mask] != 0)> >return> memo[i, mask];> >int> res = MAX;>// result of this sub-problem> >// we have to travel all nodes j in mask and end the> >// path at ith node so for every node j in mask,> >// recursively calculate cost of travelling all> >// nodes in mask> >// except i and then travel back from node j to node> >// i taking the shortest path take the minimum of> >// all possible j nodes> >for> (>int> j = 1; j <= n; j++)> >if> ((mask & (1 << j)) != 0 && j != i && j != 1)> >res = Math.Min(res,> >fun(j, mask & (~(1 << i)))> >+ dist[j, i]);> >return> memo[i, mask] = res;> >> >// Driver program to test above logic> >public> static> void> Main()> >{> >int> ans = MAX;> >for> (>int> i = 1; i <= n; i++)> >// try to go from node 1 visiting all nodes in> >// between to i then return from i taking the> >// shortest route to 1> >ans = Math.Min(ans, fun(i, (1 << (n + 1)) - 1)> >+ dist[i, 1]);> >Console.WriteLine(> >'The cost of most efficient tour = '> + ans);> >}> }> // This code is contributed by Tapesh(tapeshdua420)> |
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JavaScript
>// JavaScript code for the above approach> >// there are four nodes in example graph (graph is 1-based)> >let n = 4;> > >// give appropriate maximum to avoid overflow> >let MAX = 1000000;> >// dist[i][j] represents shortest distance to go from i to j> >// this matrix can be calculated for any given graph using> >// all-pair shortest path algorithms> >let dist = [> >[0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 10, 15, 20],> >[0, 10, 0, 25, 25], [0, 15, 25, 0, 30],> >[0, 20, 25, 30, 0],> >];> >// memoization for top down recursion> >let memo =>new> Array(n + 1);> >for> (let i = 0; i memo[i] = new Array(1 << (n + 1)).fill(0) } function fun(i, mask) // base case // if only ith bit and 1st bit is set in our mask, // it implies we have visited all other nodes already if (mask == ((1 << i) // Driver program to test above logic let ans = MAX; for (let i = 1; i <= n; i++) // try to go from node 1 visiting all nodes in // between to i then return from i taking the // shortest route to 1 ans = Math.min(ans, fun(i, (1 << (n + 1)) - 1) + dist[i][1]); console.log('The cost of most efficient tour ' + ans); // This code is contributed by Potta Lokesh> |
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Pythonで
>出力
The cost of most efficient tour = 80>
時間計算量 : O(n2※2n) ここで、O(n* 2n)は、一意のサブ問題/状態の最大数と、各状態の遷移 (コードのように for ループによる) の O(n) です。
補助スペース：O(n*2n）、 ここで、n はノード/シティの数です。
サイズ n のセットの場合、すべてのサブセットに n 番目が含まれないように、それぞれサイズ n-1 の n-2 個のサブセットを考慮します。上記の漸化関係を使用すると、動的計画ベースのソリューションを作成できます。最大でも O(n*2n) サブ問題があり、それぞれを解決するには直線的な時間がかかります。したがって、合計実行時間は O(n2※2n）。時間計算量は O(n!) よりもはるかに小さいですが、それでも指数関数的です。必要なスペースも指数関数的に増加します。したがって、このアプローチは、頂点の数がわずかに多い場合でも実行できません。巡回セールスマン問題の近似アルゴリズムについては間もなく説明します。
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参考文献:
http://www.lsi.upc.edu/~mjserna/docencia/algofib/P07/dynprog.pdf
http://www.cs.berkeley.edu/~vazirani/algorithms/chap6.pdf